Función lambda modular

En matemáticas , la función lambda modular λ(τ) ^{[ nota 1 ]} es una función holomorfa altamente simétrica en el semiplano superior complejo . Es invariante bajo la acción lineal fraccionaria del grupo de congruencia Γ (2) y genera el campo de funciones del cociente correspondiente, es decir, es un Hauptmodul para la curva modular X (2). Sobre cualquier punto τ, su valor puede describirse como una razón cruzada de los puntos de ramificación de una doble cubierta ramificada de la recta proyectiva por la curva elíptica. $\mathbb {C} /\langle 1,\tau \rangle$ , donde el mapa se define como el cociente por la involución [ − 1].

La expansión q, donde $q=e^{\pi i\tau }$ es el nome , está dado por:

\lambda (\tau )=16q-128q^{2}+704q^{3}-3072q^{4}+11488q^{5}-38400q^{6}+\dots

( secuencia A115977 en el OEIS )

Al simetrizar la función lambda bajo la acción canónica del grupo simétrico S ₃ sobre X (2), y luego normalizarla adecuadamente, se obtiene una función en el semiplano superior que es invariante bajo el grupo modular completo. $\operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ y, de hecho, es el j-invariante modular de Klein .

Propiedades modulares

La función $\lambda (\tau)$ es invariante bajo el grupo generado por ^{[ 1 ]}

{\displaystyle \tau \mapsto \tau +2\

Los generadores del grupo modular actúan mediante ^{[ 2 ]}

{\displaystyle \tau \mapsto \tau +1\

{\displaystyle \tau \mapsto -{\frac {1}{\tau }}\

En consecuencia, la acción del grupo modular en $\lambda (\tau)$ es la del grupo anarmónico , dando los seis valores de la razón cruzada : ^{[ 3 ]}

\left\lbrace {\lambda ,{\frac {1}{1-\lambda }},{\frac {\lambda -1}{\lambda }},{\frac {1}{\lambda }},{\frac {\lambda }{\lambda -1}},1-\lambda }\right\rbrace \ .

Relaciones con otras funciones

Es el cuadrado del módulo elíptico, ^{[ 4 ]} es decir, $\lambda (\tau )=k^{2}(\tau )$ En términos de la función eta de Dedekind $\eta (\tau )$ y funciones theta , ^{[ 4 ]}

\lambda (\tau )={\Bigg (}{\frac {{\sqrt {2}}\,\eta ({\tfrac {\tau }{2}})\eta ^{2}(2\tau )}{\eta ^{3}(\tau )}}{\Bigg )}^{8}={\frac {16}{\left({\frac {\eta (\tau /2)}{\eta (2\tau )}}\right)^{8}+16}}={\frac {\theta _{2}^{4}(\tau )}{\theta _{3}^{4}(\tau )}}

y,

{\frac {1}{{\big (}\lambda (\tau ){\big )}^{1/4}}}-{\big (}\lambda (\tau ){\big )}^{1/4}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\eta ({\tfrac {\tau }{4}})}{\eta (\tau )}}\right)^{4}=2\,{\frac {\theta _{4}^{2}({\tfrac {\tau }{2}})}{\theta _{2}^{2}({\tfrac {\tau }{2}})}}

donde ^{[ 5 ]}

\theta _{2}(\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi i\tau (n+1/2)^{2}}

\theta _{3}(\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi i\tau n^{2}}

\theta _{4}(\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{\pi i\tau n^{2}}

En términos de los semiperíodos de las funciones elípticas de Weierstrass , sea $[\omega _{1},\omega _{2}]$ ser un par fundamental de períodos con $\tau ={\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}$ .

e_{1}=\wp \left({\frac {\omega _{1}}{2}}\right),\quad e_{2}=\wp \left({\frac {\omega _{2}}{2}}\right),\quad e_{3}=\wp \left({\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}\right)

tenemos ^{[ 4 ]}

\lambda ={\frac {e_{3}-e_{2}}{e_{1}-e_{2}}}\,.

Dado que los tres valores de semiperíodo son distintos, esto demuestra que $\lambda$ no toma el valor 0 o 1. ^{[ 4 ]}

La relación con el invariante j es ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}

j(\tau )={\frac {256(1-\lambda (1-\lambda ))^{3}}{(\lambda (1-\lambda ))^{2}}}={\frac {256(1-\lambda +\lambda ^{2})^{3}}{\lambda ^{2}(1-\lambda )^{2}}}\ .

que es el j -invariante de la curva elíptica de la forma de Legendre $y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )$

Dado $m\in \mathbb {C} \setminus \{0,1\}$ , dejar

\tau =i{\frac {K\{1-m\}}{K\{m\}}}

dónde $K$ es la integral elíptica completa de primera especie con parámetro $m=k^{2}$ . Entonces

\lambda (\tau )=m.

ecuaciones modulares

La ecuación modular de grado $p$ (dónde $p$ es un número primo ) es una ecuación algebraica en $\lambda (p\tau )$ y $\lambda (\tau )$ . Si $\lambda (p\tau )=u^{8}$ y $\lambda (\tau )=v^{8}$ , las ecuaciones modulares de grados $p=2,3,5,7$ son, respectivamente, ^{[ 8 ]}

(1+u^{4})^{2}v^{8}-4u^{4}=0,

u^{4}-v^{4}+2uv(1-u^{2}v^{2})=0,

u^{6}-v^{6}+5u^{2}v^{2}(u^{2}-v^{2})+4uv(1-u^{4}v^{4})=0,

(1-u^{8})(1-v^{8})-(1-uv)^{8}=0.

La cantidad $v$ (y por lo tanto $u$ ) puede considerarse como una función holomorfa en el semiplano superior. $\operatorname {Im} \tau >0$ :

{\begin{aligned}v&=\prod _{k=1}^{\infty }\tanh {\frac {(k-1/2)\pi i}{\tau }}={\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}{\frac {\sum _{k\in \mathbb {Z} }e^{(2k^{2}+k)\pi i\tau }}{\sum _{k\in \mathbb {Z} }e^{k^{2}\pi i\tau }}}\\&={\cfrac {{\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}}{1+{\cfrac {e^{\pi i\tau }}{1+e^{\pi i\tau }+{\cfrac {e^{2\pi i\tau }}{1+e^{2\pi i\tau }+{\cfrac {e^{3\pi i\tau }}{1+e^{3\pi i\tau }+\ddots }}}}}}}}\end{aligned}}

Desde $\lambda (i)=1/2$ , las ecuaciones modulares se pueden utilizar para dar valores algebraicos de $\lambda (pi)$ para cualquier primo $p$ . ^{[ nota 2 ]} Los valores algebraicos de $\lambda (ni)$ También se dan en ^{[ 9 ]}^{[ nota 3 ]}

\lambda (ni)=\prod _{k=1}^{n/2}\operatorname {sl} ^{8}{\frac {(2k-1)\varpi }{2n}}\quad (n\,{\text{even}})

\lambda (ni)={\frac {1}{2^{n}}}\prod _{k=1}^{n-1}\left(1-\operatorname {sl} ^{2}{\frac {k\varpi }{n}}\right)^{2}\quad (n\,{\text{odd}})

dónde $\operatorname {sl}$ es el seno de la lemniscata y $\varpi$ es la constante de la lemniscata .

Lambda-estrella

Definición y cálculo de lambda-estrella

La función $\lambda ^{*}(x)$ ^{[ 10 ]} (donde $x\in \mathbb {R} ^{+}$ ) da el valor del módulo elíptico $k$ , para la cual la integral elíptica completa de primera clase $K(k)$ y su contraparte complementaria $K({\sqrt {1-k^{2}}})$ están relacionados por la siguiente expresión:

{\frac {K\left[{\sqrt {1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]}{K[\lambda ^{*}(x)]}}={\sqrt {x}}

Los valores de $\lambda ^{*}(x)$ se puede calcular de la siguiente manera:

\lambda ^{*}(x)={\frac {\theta _{2}^{2}(i{\sqrt {x}})}{\theta _{3}^{2}(i{\sqrt {x}})}}

\lambda ^{*}(x)=\left[\sum _{a=-\infty }^{\infty }\exp[-(a+1/2)^{2}\pi {\sqrt {x}}]\right]^{2}\left[\sum _{a=-\infty }^{\infty }\exp(-a^{2}\pi {\sqrt {x}})\right]^{-2}

\lambda ^{*}(x)=\left[\sum _{a=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} [(a+1/2)\pi {\sqrt {x}}]\right]\left[\sum _{a=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} (a\pi {\sqrt {x}})\right]^{-1}

Las funciones $\lambda ^{*}$ y $\lambda$ están relacionados entre sí de esta manera:

\lambda ^{*}(x)={\sqrt {\lambda (i{\sqrt {x}})}}

Propiedades de la estrella lambda

Cada $\lambda ^{*}$ El valor de un número racional positivo es un número algebraico positivo :

\lambda ^{*}(x)\in {\overline {\mathbb {Q} }}_{+}\quad \forall x\in \mathbb {Q} ^{+}.

$K(\lambda ^{*}(x))$ y $E(\lambda ^{*}(x))$ (la integral elíptica completa de segundo tipo ) puede expresarse en forma cerrada en términos de la función gamma para cualquier $x\in \mathbb {Q} ^{+}$ , como demostraron Selberg y Chowla en 1949. ^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}

La siguiente expresión es válida para todos $n\in \mathbb {N}$ :

{\sqrt {n}}=\sum _{a=1}^{n}\operatorname {dn} \left[{\frac {2a}{n}}K\left[\lambda ^{*}\left({\frac {1}{n}}\right)\right];\lambda ^{*}\left({\frac {1}{n}}\right)\right]

dónde $\operatorname {dn}$ es la función elíptica de Jacobi delta amplitudinis con módulo $k$ .

Conociendo uno $\lambda ^{*}$ valor, esta fórmula se puede utilizar para calcular relacionado $\lambda ^{*}$ valores: ^{[ 9 ]}

\lambda ^{*}(n^{2}x)=\lambda ^{*}(x)^{n}\prod _{a=1}^{n}\operatorname {sn} \left\{{\frac {2a-1}{n}}K[\lambda ^{*}(x)];\lambda ^{*}(x)\right\}^{2}

dónde $n\in \mathbb {N}$ y $\operatorname {sn}$ es la función elíptica de Jacobi sinus amplitudinis con módulo $k$ .

Otras relaciones:

\lambda ^{*}(x)^{2}+\lambda ^{*}(1/x)^{2}=1

[\lambda ^{*}(x)+1][\lambda ^{*}(4/x)+1]=2

\lambda ^{*}(4x)={\frac {1-{\sqrt {1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}}{1+{\sqrt {1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}}}=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin[\lambda ^{*}(x)]\right\}^{2}

\lambda ^{*}(x)-\lambda ^{*}(9x)=2[\lambda ^{*}(x)\lambda ^{*}(9x)]^{1/4}-2[\lambda ^{*}(x)\lambda ^{*}(9x)]^{3/4}

${\begin{aligned}&a^{6}-f^{6}=2af+2a^{5}f^{5}\,&\left(a=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)&\left(f=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(25x)}{1-\lambda ^{*}(25x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)\\&a^{8}+b^{8}-7a^{4}b^{4}=2{\sqrt {2}}ab+2{\sqrt {2}}a^{7}b^{7}\,&\left(a=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)&\left(b=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(49x)}{1-\lambda ^{*}(49x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)\\&a^{12}-c^{12}=2{\sqrt {2}}(ac+a^{3}c^{3})(1+3a^{2}c^{2}+a^{4}c^{4})(2+3a^{2}c^{2}+2a^{4}c^{4})\,&\left(a=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)&\left(c=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(121x)}{1-\lambda ^{*}(121x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)\\&(a^{2}-d^{2})(a^{4}+d^{4}-7a^{2}d^{2})[(a^{2}-d^{2})^{4}-a^{2}d^{2}(a^{2}+d^{2})^{2}]=8ad+8a^{13}d^{13}\,&\left(a=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)&\left(d=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(169x)}{1-\lambda ^{*}(169x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)\end{aligned}}$

Invariantes de clase de Ramanujan

Invariantes de clase de Ramanujan $G_{n}$ y $g_{n}$ se definen como ^{[ 13 ]}

G_{n}=2^{-1/4}e^{\pi {\sqrt {n}}/24}\prod _{k=0}^{\infty }\left(1+e^{-(2k+1)\pi {\sqrt {n}}}\right),

g_{n}=2^{-1/4}e^{\pi {\sqrt {n}}/24}\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-e^{-(2k+1)\pi {\sqrt {n}}}\right),

dónde $n\in \mathbb {Q} ^{+}$ . Para tal $n$ Los invariantes de clase son números algebraicos. Por ejemplo

g_{58}={\sqrt {\frac {5+{\sqrt {29}}}{2}}},\quad g_{190}={\sqrt {({\sqrt {5}}+2)({\sqrt {10}}+3)}}.

Las identidades con los invariantes de clase incluyen ^{[ 14 ]}

G_{n}=G_{1/n},\quad g_{n}={\frac {1}{g_{4/n}}},\quad g_{4n}=2^{1/4}g_{n}G_{n}.

Los invariantes de clase están estrechamente relacionados con las funciones modulares de Weber. ${\mathfrak {f}}$ y ${\mathfrak {f}}_{1}$ Estas son las relaciones entre lambda-estrella y los invariantes de clase:

G_{n}=\sin\{2\arcsin[\lambda ^{*}(n)]\}^{-1/12}=1{\Big /}\left[{\sqrt[{12}]{2\lambda ^{*}(n)}}{\sqrt[{24}]{1-\lambda ^{*}(n)^{2}}}\right]

g_{n}=\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(n)]\}^{-1/12}={\sqrt[{12}]{[1-\lambda ^{*}(n)^{2}]/[2\lambda ^{*}(n)]}}

\lambda ^{*}(n)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan[g_{n}^{-12}]\right\}={\sqrt {g_{n}^{24}+1}}-g_{n}^{12}

Otras apariciones

Teorema del pequeño Picard

La función lambda se utiliza en la demostración original del teorema de Little Picard , que establece que una función entera no constante en el plano complejo no puede omitir más de un valor. Este teorema fue demostrado por Picard en 1879. ^{[ 15 ]} Supongamos, si es posible, que f es entera y no toma los valores 0 y 1. Dado que λ es holomorfa, tiene una inversa holomorfa local ω definida fuera de 0, 1, ∞. Consideremos la función z → ω( f ( z )). Por el teorema de monodromía, esta es holomorfa y mapea el plano complejo C al semiplano superior. A partir de esto, es fácil construir una función holomorfa de C al disco unitario, que por el teorema de Liouville debe ser constante. ^{[ 16 ]}

Luz de la luna

La función $\tau \mapsto 16/\lambda (2\tau )-8$ es el Hauptmodul normalizado para el grupo $\Gamma _{0}(4)$ y su expansión q $q^{-1}+20q-62q^{3}+\dots$ , (secuencia A007248 en el OEIS ) donde $q=e^{2\pi i\tau }$ , es el carácter graduado de cualquier elemento en la clase de conjugación 4C del grupo monstruo que actúa sobre el álgebra de vértices del monstruo .

Notas a pie de página

^ Chandrasekharan (1985) p.115
^ Chandrasekharan (1985) p.109
^ Chandrasekharan (1985) p.110
^ Chandrasekharan ( 1985 ) p.108
^ Chandrasekharan (1985) p.63
^ Chandrasekharan (1985) p.117
↑ Rankin (1977) págs. 226–228
↑ Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (1987). Pi y la media móvil simple: Un estudio en teoría analítica de números y complejidad computacional (Primera ed.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7.págs. 103–109, 134
^ Jacobi , Carl Gustav Jacob (1829). Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (en latín).pág. 42
↑ Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (1987). Pi y la media móvil simple: Un estudio en teoría analítica de números y complejidad computacional (Primera ed.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7.pág. 152
↑ Chowla, S.; Selberg, A. (1949). " Sobre la función zeta de Epstein (I)" . Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 35 (7): 373. doi : 10.1073/PNAS.35.7.371 . PMC 1063041. S2CID 45071481 .
↑ Chowla, S.; Selberg, A. "Sobre la función zeta de Epstein" . EuDML . págs. 86–110 .
↑ Berndt, Bruce C.; Chan, Heng Huat; Zhang, Liang-Cheng (6 de junio de 1997). "Invariantes de clase de Ramanujan, fórmula límite de Kronecker y ecuaciones modulares" . Transactions of the American Mathematical Society . 349 (6): 2125–2173 .
^ Eymard, Pedro; Lafon, Jean-Pierre (1999). Autour du nombre Pi (en francés). HERMANO. ISBN 2705614435.pág. 240
^ Chandrasekharan (1985) p.121
^ Chandrasekharan (1985) p.118

Referencias

Notas

↑ $\lambda (\tau )$ no es una función modular (según la definición de Wikipedia), pero toda función modular es una función racional en $\lambda (\tau )$ Algunos autores utilizan una definición no equivalente de "funciones modulares".
↑ Para cualquier potencia prima , podemos iterar la ecuación modular de grado $p$ Este proceso se puede utilizar para dar valores algebraicos de $\lambda (ni)$ para cualquier $n\in \mathbb {N} .$
↑ $\operatorname {sl} a\varpi$ es algebraico para cada $a\in \mathbb {Q} .$

Otro

Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. , eds. (1972), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables , Nueva York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-61272-0, Zbl 0543.33001
Chandrasekharan, K. (1985), Funciones elípticas , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 281, Springer-Verlag , págs. 108-121 , ISBN 3-540-15295-4, Zbl 0575.33001
Conway, John Horton ; Norton, Simon (1979), "Monstrous moonshine", Bulletin of the London Mathematical Society , 11 (3): 308–339 , doi : 10.1112/blms/11.3.308 , MR 0554399 , Zbl 0424.20010
Rankin, Robert A. (1977), Formas y funciones modulares , Cambridge University Press , ISBN 0-521-21212-X, Zbl 0376.10020
Reinhardt, WP; Walker, PL (2010), "Función modular elíptica" , en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248 .

Borwein, JM y Borwein, PB Pi y la AGM: Un estudio de teoría analítica de números y complejidad computacional. Nueva York: Wiley, págs. 139 y 298, 1987.

Conway, JH y Norton, SP " Monstrous Moonshine ". Bull. London Math. Soc. 11, 308-339, 1979.

Selberg, A. y Chowla, S. "Sobre la función zeta de Epstein." J. reine angew. Math. 227, 86-110, 1967.

Enlaces externos

Función lambda modular en Fungrim

[C115-2] Chandrasekharan (1985) p.115

[C109-3] Chandrasekharan (1985) p.109

[C110-4] Chandrasekharan (1985) p.110

[C108-5] Chandrasekharan ( 1985 ) p.108

[C63-6] Chandrasekharan (1985) p.63

[C117-7] Chandrasekharan (1985) p.117

[8] Rankin (1977) págs. 226–228

[9] Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (1987). Pi y la media móvil simple: Un estudio en teoría analítica de números y complejidad computacional (Primera ed.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7.págs. 103–109, 134

[Jacobi-11] Jacobi , Carl Gustav Jacob (1829). Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (en latín).pág. 42

[13] Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (1987). Pi y la media móvil simple: Un estudio en teoría analítica de números y complejidad computacional (Primera ed.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7.pág. 152

[14] Chowla, S.; Selberg, A. (1949). " Sobre la función zeta de Epstein (I)" . Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 35 (7): 373. doi : 10.1073/PNAS.35.7.371 . PMC 1063041. S2CID 45071481 .

[15] Chowla, S.; Selberg, A. "Sobre la función zeta de Epstein" . EuDML . págs. 86–110 .

[16] Berndt, Bruce C.; Chan, Heng Huat; Zhang, Liang-Cheng (6 de junio de 1997). "Invariantes de clase de Ramanujan, fórmula límite de Kronecker y ecuaciones modulares" . Transactions of the American Mathematical Society . 349 (6): 2125–2173 .

[17] Eymard, Pedro; Lafon, Jean-Pierre (1999). Autour du nombre Pi (en francés). HERMANO. ISBN 2705614435.pág. 240

[18] Chandrasekharan (1985) p.121

[19] Chandrasekharan (1985) p.118

[1] $\lambda (\tau )$ no es una función modular (según la definición de Wikipedia), pero toda función modular es una función racional en $\lambda (\tau )$ Algunos autores utilizan una definición no equivalente de "funciones modulares".

[10] Para cualquier potencia prima , podemos iterar la ecuación modular de grado $p$ Este proceso se puede utilizar para dar valores algebraicos de $\lambda (ni)$ para cualquier $n\in \mathbb {N} .$

[12] $\operatorname {sl} a\varpi$ es algebraico para cada $a\in \mathbb {Q} .$

[ nota 1 ]

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ nota 2 ]

[ 9 ]

[ nota 3 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]