Rejilla modular

En la rama de las matemáticas llamada teoría del orden , un retículo modular es un retículo que satisface la siguiente condición de autodualidad :

Ley modular: $a \leq b$ implica $a \lor (x \land b) = (a \lor x) \land b$

donde $x, a, b$ son elementos arbitrarios en el retículo, ≤ es el orden parcial , y ∨ y ∧ (llamados unir y encontrar respectivamente) son las operaciones del retículo. Esta formulación enfatiza una interpretación en términos de proyección sobre el subretículo $[a, b]$ , un hecho conocido como el teorema del isomorfismo del diamante . ^{[ 1 ]} Una condición alternativa pero equivalente expresada como una ecuación (ver más abajo) enfatiza que los retículos modulares forman una variedad en el sentido del álgebra universal .

Los retículos modulares surgen de forma natural en álgebra y en muchas otras áreas de las matemáticas. En estos casos, la modularidad es una abstracción del segundo teorema de isomorfismo . Por ejemplo, los subespacios de un espacio vectorial (y, más generalmente, los submódulos de un módulo sobre un anillo ) forman un retículo modular.

En una red no necesariamente modular, aún puede haber elementos $b$ para los cuales la ley modular se cumple en relación con elementos arbitrarios $x$ y $a$ (para $a \leq b$ ). Dicho elemento se denomina elemento modular derecho . De manera aún más general, la ley modular puede cumplirse para cualquier $a$ y un par fijo $(x, b)$ . Dicho par se denomina par modular , y existen diversas generalizaciones de modularidad relacionadas con esta noción y con la semimodularidad .

Las retículas modulares a veces se denominan retículas de Dedekind en honor a Richard Dedekind , quien descubrió la identidad modular en varios ejemplos motivadores .

Fondo

La ley modular puede verse como una ley asociativa restringida que conecta las dos operaciones reticulares de manera similar a como la ley asociativa λ(μ x ) = (λμ) x para espacios vectoriales conecta la multiplicación en el campo y la multiplicación escalar .

La restricción $a \leq b$ es claramente necesaria, ya que se deduce de $a \leq a \lor (x \land b) = (a \lor x) \land b \leq b$ . En otras palabras, ningún retículo con más de un elemento satisface el consecuente no restringido de la ley modular.

Es fácil ver ^{[ 2 ]} que $a \leq b$ implica $a \lor (x \land b) \leq (a \lor x) \land b$ en cada red. Por lo tanto, la ley modular también puede enunciarse como

Ley modular (variante): $a \leq b$ implica $(a \lor x) \land b \leq a \lor (x \land b)$ .

La ley modular puede expresarse como una ecuación que debe cumplirse incondicionalmente. Dado que $a \leq b$ implica $a = a \land b$ y dado que $a \land b \leq b$ , sustituimos $a$ por $a \land b$ en la ecuación que define la ley modular para obtener:

Identidad modular: $(a \land b) \lor (x \land b) = ((a \land b) \lor x) \land b$ .

Esto demuestra que, utilizando la terminología del álgebra universal , los retículos modulares forman una subvariedad de la variedad de retículos. Por lo tanto, todas las imágenes homomórficas, subretículos y productos directos de retículos modulares son, a su vez, modulares.

Ejemplos

El retículo de submódulos de un módulo sobre un anillo es modular. Como caso particular, el retículo de subgrupos de un grupo abeliano también es modular.

El retículo de subgrupos normales de un grupo es modular. Sin embargo, en general, el retículo de todos los subgrupos de un grupo no es modular. Por ejemplo, el retículo de subgrupos del grupo diedral de orden 8 no es modular.

La red no modular más pequeña es la red "pentágono" N ₅ que consta de cinco elementos 0, 1, x , a , b tales que 0 < x < b < 1, 0 < a < 1, y a no es comparable a x ni a b . Para esta red,

x ∨ ( a ∧ b ) = x ∨ 0 = x < b = 1 ∧ b = ( x ∨ a ) ∧ b

se cumple, contradiciendo la ley modular. Cada retículo no modular contiene una copia de N ₅ como subretículo. ^{[ 3 ]}

Propiedades

Todo retículo distributivo es modular. ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} Por el contrario, un retículo es distributivo si y solo si $x\vee (y\wedge z)\geq (x\vee y)\wedge z$ a pesar de $x,y,z$ . ^{[ 6 ]}

Una propiedad útil para demostrar que un retículo no es modular es la siguiente:

Un retículo

G

es modular si y solo si, para cualesquiera

a, b, c \in G

,

{\Big (}(c\leq a){\text{ y }}(a\wedge b=c\wedge b){\text{ y }}(a\vee b=c\vee b){\Big )}\Rightarrow (a=c)

Bosquejo de la demostración: Sea G modular y sea válida la premisa de la implicación. Entonces, utilizando la absorción y la identidad modular:

c = ( c ∧ b ) ∨ c = ( a ∧ b ) ∨ c = a ∧ ( b ∨ c ) = a ∧ ( b ∨ a ) = a

Para la otra dirección, supongamos que la implicación del teorema se cumple en G. Sean a , b , c elementos cualesquiera de G, tales que c ≤ a . Sea x = ( a ∧ b ) ∨ c , y = a ∧ ( b ∨ c ). De la desigualdad modular se deduce inmediatamente que x ≤ y . Si demostramos que x ∧ b = y ∧ b , x ∨ b = y ∨ b , entonces, usando la suposición, x = y debe cumplirse. El resto de la demostración consiste en manipulaciones rutinarias con ínfimos, supremos y desigualdades.

Retículos modulares finitos

Dilworth (1954) demostró que, en todo retículo modular finito, el número de elementos irreducibles por unión es igual al número de elementos irreducibles por intersección. De forma más general, para cada $k$ , el número de elementos del retículo que cubren exactamente a otros $k$ elementos es igual al número de elementos que son cubiertos por exactamente otros $k$ elementos. ^{[ 7 ]}

Un retículo finito $G$ es modular si y solo si es graduado y la función de rango $ρ$ satisface $\rho (a)+\rho (b)=\rho (a\vee b)+\rho (a\wedge b)$ a pesar de $a,b\in G$ . ^{[ 8 ]}

Ejemplos de retículos modulares finitos incluyen los retículos booleanos finitos y los retículos de subespacios de espacios vectoriales finitos. ^{[ 8 ]}

Teorema de isomorfismo de diamante

Para cualesquiera dos elementos a y b de un retículo modular, se pueden considerar los intervalos [ a ∧ b , b ] y [ a , a ∨ b ]. Estos intervalos están conectados por aplicaciones que preservan el orden.

φ: [ a ∧ b , b ] → [ a , a ∨ b ] y

ψ: [ a , a ∨ b ] → [ a ∧ b , b ]

que se definen por φ( x ) = x ∨ a y ψ( y ) = y ∧ b .

En una red modular, las aplicaciones φ y ψ indicadas por las flechas son isomorfismos inversos entre sí.
Fallo del teorema de isomorfismo del diamante en una red no modular.

La composición ψφ es una aplicación que preserva el orden del intervalo [ a ∧ b , b ] en sí mismo y que también satisface la desigualdad ψ(φ( x )) = ( x ∨ a ) ∧ b ≥ x . El ejemplo muestra que esta desigualdad puede ser estricta en general. Sin embargo, en un retículo modular, la igualdad se cumple. Dado que el dual de un retículo modular también es modular, φψ es también la identidad en [ a , a ∨ b ], y por lo tanto las dos aplicaciones φ y ψ son isomorfismos entre estos dos intervalos. Este resultado se conoce a veces como el teorema del isomorfismo del diamante para retículos modulares. Un retículo es modular si y solo si el teorema del isomorfismo del diamante se cumple para cada par de elementos.

El teorema de isomorfismo de diamante para retículos modulares es análogo al segundo teorema de isomorfismo en álgebra, y es una generalización del teorema de retículo .

Pares modulares y conceptos relacionados

En cualquier retículo, un par modular es un par ( a, b ) de elementos tal que para todo x que satisface a ∧ b ≤ x ≤ b , tenemos ( x ∨ a ) ∧ b = x , es decir, si se cumple la mitad del teorema de isomorfismo de diamante para el par. ^[⁹^] Un elemento b de un retículo se llama elemento modular derecho si ( a, b ) es un par modular para todos los elementos a , y un elemento a se llama elemento modular izquierdo si ( a, b ) es un par modular para todos los elementos b . ^[¹⁰^]

Una red con la propiedad de que si ( a, b ) es un par modular, entonces ( b, a ) también lo es, se llama red M-simétrica . ^{[ 11 ]} Por lo tanto, en una red M-simétrica, todo elemento modular derecho es también modular izquierdo, y viceversa. Dado que una red es modular si y solo si todos los pares de elementos son modulares, es evidente que toda red modular es M-simétrica. En la red _N5descrita anteriormente, el par ( b, a ) es modular, pero el par ( a, b ) no lo es. Por lo tanto, N5 no es M-simétrica. La red hexagonal centrada _S7 es M-simétrica pero no modular. Dado que _N5es una subred de S7 , se deduce que las redes M - _simétricas no forman una subvariedad de la variedad de redes _.

La simetría M no es una noción autodual. Un par modular dual es un par que es modular en la red dual , y una red se denomina dualmente M-simétrica o M ^* -simétrica si su dual es M-simétrica. Se puede demostrar que una red finita es modular si y solo si es M-simétrica y M ^* -simétrica. La misma equivalencia se aplica a redes infinitas que satisfacen la condición de cadena ascendente (o la condición de cadena descendente).

Varias nociones menos importantes también están estrechamente relacionadas. Un retículo es simétrico transversalmente si para cada par modular ( a, b ) el par ( b, a ) es dualmente modular. La simetría transversal implica simetría M, pero no simetría M ^* . Por lo tanto, la simetría transversal no es equivalente a la simetría transversal dual. Un retículo con un elemento mínimo 0 es simétrico perpendicularmente si para cada par modular ( a, b ) que satisface a ∧ b = 0 el par ( b, a ) también es modular.

Historia

La definición de modularidad se debe a Richard Dedekind , quien publicó la mayoría de los artículos relevantes después de su jubilación. En un artículo publicado en 1894, estudió retículos, a los que denominó grupos duales ( en alemán : Dualgruppen ), como parte de su "álgebra de módulos " y observó que los ideales satisfacen lo que hoy conocemos como la ley modular. También observó que, para los retículos en general, la ley modular es equivalente a su dual.

En otro artículo de 1897, Dedekind estudió el retículo de divisores con mcd y mcm como operaciones, de modo que el orden del retículo viene dado por la divisibilidad. ^{[ 12 ]} En una digresión, introdujo y estudió formalmente los retículos en un contexto general. ^{[ 12 ]}^{: 10–18} Observó que el retículo de submódulos de un módulo satisface la identidad modular. Llamó a tales retículos grupos duales de tipo módulo ( Dualgruppen vom Modultypus ). También demostró que la identidad modular y su dual son equivalentes. ^{[ 12 ]}^{: 13}

En el mismo artículo, Dedekind también investigó la siguiente forma más fuerte ^{[ 12 ]}^{: 14} de la identidad modular, que también es autodual: ^{[ 12 ]}^{: 9}

( x ∧ b ) ∨ ( a ∧ b ) = [ x ∨ a ] ∧ b .

Llamó a los retículos que satisfacen esta identidad grupos duales de tipo ideal ( Dualgruppen vom Idealtypus ). ^{[ 12 ]}^{: 13} En la literatura moderna, se les conoce más comúnmente como retículos distributivos . Dio ejemplos de un retículo que no es modular y de un retículo modular que no es de tipo ideal. ^{[ 12 ]}^{: 14}

Un artículo publicado por Dedekind en 1900 tenía como tema central las retículas: describió la retícula modular libre generada por tres elementos, una retícula con 28 elementos (véase la imagen). ^{[ 13 ]}

Véase también

Grafo modular , una clase de grafos que incluye los diagramas de Hasse de retículos modulares.
Retículo de Young-Fibonacci , un retículo modular infinito definido sobre cadenas de los dígitos 1 y 2.
Red ortomodular
Red supersoluble
Grupo Iwasawa

Notas

↑ "¿Por qué son importantes las retículas modulares?" . Mathematics Stack Exchange . Consultado el 17 de septiembre de 2018 .
↑ Lo siguiente es cierto para cualquier red: $a \lor (x \land b) \leq (a \lor x) \land (a \lor b)$ . Además, siempre que $a \leq b$ , entonces $a \lor b = b$ .
↑ Blyth, TS (2005). "Retículos modulares" . Retículos y estructuras algebraicas ordenadas . Universitext. Londres: Springer. Teorema 4.4. doi : 10.1007/1-84628-127-X_4 . ISBN 978-1-85233-905-0.
↑ Blyth, TS (2005). "Retículos modulares" . Retículos y estructuras algebraicas ordenadas . Universitext. Londres: Springer. pág. 65. doi : 10.1007/1-84628-127-X_4 . ISBN 978-1-85233-905-0.
↑ En un retículo distributivo, se cumple lo siguiente: $(a\wedge b)\vee (x\wedge b)=((a\wedge b)\vee x)\wedge ((a\wedge b)\vee b)$ . Además, la ley de absorción, $(a\wedge b)\vee b=b$ Esto es cierto para cualquier red. Sustituyendo esto por el segundo término conjuntivo del lado derecho de la ecuación anterior, se obtiene la identidad modular.
↑ Birkhoff, Garrett (31 de diciembre de 1940). Teoría de retículos . Publicaciones del Coloquio. Vol. 25. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. Ex II.6.3. doi : 10.1090/coll/025 . ISBN 978-0-8218-1025-5.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
↑ Dilworth, RP (1954), "Demostración de una conjetura sobre retículos modulares finitos", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 60 (2): 359– 364, doi : 10.2307/1969639 , JSTOR 1969639 , MR 0063348 Reimpreso en Bogart, Kenneth P.; Freese, Ralph; Kung, Joseph PS, eds. (1990), "Proof of a Conjecture on Finite Modular Lattices", The Dilworth Theorems: Selected Papers of Robert P. Dilworth , Contemporary Mathematicians, Boston: Birkhäuser, pp. 219–224 , doi : 10.1007/978-1-4899-3558-8_21 , ISBN 978-1-4899-3560-1
1 2 Stanley, Richard (2012). Combinatoria enumerativa, vol . 1. Estudios de matemáticas avanzadas de Cambridge. Vol. 49 (2.ª ed.). Cambridge University Press . §3.3.
↑ El término francés para par modular es couple modulaire . Un par ( a, b ) se llama paire modulaire en francés si tanto ( a, b ) como ( b, a ) son pares modulares.
↑ El término «elemento modular» ha sido definido de diversas maneras por diferentes autores para referirse a un elemento modular derecho ( Stern (1999 , p. 74) ), un elemento modular izquierdo ( Orlik y Terao (1992 , Definición 2.25) ), un elemento modular tanto izquierdo como derecho (o modular derecho dual) ( Sagan (1999) , Schmidt (1994 , p. 43) ), o que satisface una condición de rango modular ( Stanley (2007 , Definición 4.12) ). Estas nociones son equivalentes en un retículo semimodular, pero no en general.
↑ Algunos autores, por ejemplo Fofanova (2001), se refieren a dichas redes como redes semimodulares . Dado que toda red con simetría M es semimodular y lo contrario se cumple para redes de longitud finita, esto solo puede generar confusión en el caso de redes infinitas.
^ Dedekind , Richard ( 1897 ), " Über Zerlegungen von Zahlen durch ihre grössten gemeinsamen Theiler" ( PDF ) , Festschrift der Herzogl. Technischen Hochschule Carolo-Wilhelmina bei Gelegenheit der 69. Versammlung Deutscher Naturforscher und Ärzte en Braunschweig , Friedrich Vieweg und Sohn
^ Dedekind, Richard (1900), "Über die von drei Moduln erzeugte Dualgruppe" , Mathematische Annalen , 53 (3): 371– 403, doi : 10.1007/BF01448979 , S2CID 122529830

Referencias

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Fofanova, T. S. (2001) [1994], "Retículo semimodular" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
Maeda, Shûichirô ( 1965), "Sobre la simetría de la relación modular en redes atómicas" , Revista de Ciencias de la Universidad de Hiroshima , 29 : 165–170
Orlik, Peter ; Terao, Hiroaki (1992), Disposiciones de hiperplanos , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 300, Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-3-662-02772-1 , ISBN 978-3-642-08137-8
Rota, Gian-Carlo (1997), "Las múltiples vidas de la teoría de retículos" (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 44 (11): 1440–1445 , ISSN 0002-9920
Skornyakov, L. A. (2001) [1994], "Retículo modular" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
Sagan, Bruce (1999), "Por qué los factores polinomiales característicos", Bulletin of the American Mathematical Society , 36 (2): 113– 133, arXiv : math/9812136 , doi : 10.1090/S0273-0979-99-00775-2
Schmidt, Roland (1994), Redes de subgrupos de grupos , Exposiciones de Gruyter en Matemáticas, vol. 14, Walter de Gruyter & Co., doi : 10.1515/9783110868647 , ISBN 3-11-011213-2
Stanley, Richard P. (2007), "Una introducción a las configuraciones hiperplanas", Combinatoria geométrica , Serie de matemáticas IAS/Park City, vol. 13, Sociedad Matemática Americana, págs. 389–496 , ISBN 978-0-8218-3736-8
Stern, Manfred (1999), Semimodular lattices , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-46105-4
Weisstein, Eric W., "Retículo modular" , MathWorld—Un recurso web de Wolfram , consultado el 26 de noviembre de 2024.

Enlaces externos

"Retículo modular" . PlanetMath .
Secuencia OEIS A006981 (Número de retículos modulares sin etiquetar con n elementos)
Generador de retículos modulares gratuito. Una aplicación web de código abierto basada en navegador que puede generar y visualizar algunos retículos modulares gratuitos.

[1] "¿Por qué son importantes las retículas modulares?" . Mathematics Stack Exchange . Consultado el 17 de septiembre de 2018 .

[2] Lo siguiente es cierto para cualquier red: $a \lor (x \land b) \leq (a \lor x) \land (a \lor b)$ . Además, siempre que $a \leq b$ , entonces $a \lor b = b$ .

[:0-3] Blyth, TS (2005). "Retículos modulares" . Retículos y estructuras algebraicas ordenadas . Universitext. Londres: Springer. Teorema 4.4. doi : 10.1007/1-84628-127-X_4 . ISBN 978-1-85233-905-0.

[4] Blyth, TS (2005). "Retículos modulares" . Retículos y estructuras algebraicas ordenadas . Universitext. Londres: Springer. pág. 65. doi : 10.1007/1-84628-127-X_4 . ISBN 978-1-85233-905-0.

[5] En un retículo distributivo, se cumple lo siguiente: $(a\wedge b)\vee (x\wedge b)=((a\wedge b)\vee x)\wedge ((a\wedge b)\vee b)$ . Además, la ley de absorción, $(a\wedge b)\vee b=b$ Esto es cierto para cualquier red. Sustituyendo esto por el segundo término conjuntivo del lado derecho de la ecuación anterior, se obtiene la identidad modular.

[6] Birkhoff, Garrett (31 de diciembre de 1940). Teoría de retículos . Publicaciones del Coloquio. Vol. 25. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. Ex II.6.3. doi : 10.1090/coll/025 . ISBN 978-0-8218-1025-5.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )

[7] Dilworth, RP (1954), "Demostración de una conjetura sobre retículos modulares finitos", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 60 (2): 359– 364, doi : 10.2307/1969639 , JSTOR 1969639 , MR 0063348 Reimpreso en Bogart, Kenneth P.; Freese, Ralph; Kung, Joseph PS, eds. (1990), "Proof of a Conjecture on Finite Modular Lattices", The Dilworth Theorems: Selected Papers of Robert P. Dilworth , Contemporary Mathematicians, Boston: Birkhäuser, pp. 219–224 , doi : 10.1007/978-1-4899-3558-8_21 , ISBN 978-1-4899-3560-1

[EC1-8] 1 2 Stanley, Richard (2012). Combinatoria enumerativa, vol . 1. Estudios de matemáticas avanzadas de Cambridge. Vol. 49 (2.ª ed.). Cambridge University Press . §3.3.

[9] El término francés para par modular es couple modulaire . Un par ( a, b ) se llama paire modulaire en francés si tanto ( a, b ) como ( b, a ) son pares modulares.

[10] El término «elemento modular» ha sido definido de diversas maneras por diferentes autores para referirse a un elemento modular derecho ( Stern (1999 , p. 74) ), un elemento modular izquierdo ( Orlik y Terao (1992 , Definición 2.25) ), un elemento modular tanto izquierdo como derecho (o modular derecho dual) ( Sagan (1999) , Schmidt (1994 , p. 43) ), o que satisface una condición de rango modular ( Stanley (2007 , Definición 4.12) ). Estas nociones son equivalentes en un retículo semimodular, pero no en general.

[11] Algunos autores, por ejemplo Fofanova (2001), se refieren a dichas redes como redes semimodulares . Dado que toda red con simetría M es semimodular y lo contrario se cumple para redes de longitud finita, esto solo puede generar confusión en el caso de redes infinitas.

[Dedekind.1897-12] Dedekind , Richard ( 1897 ), " Über Zerlegungen von Zahlen durch ihre grössten gemeinsamen Theiler" ( PDF ) , Festschrift der Herzogl. Technischen Hochschule Carolo-Wilhelmina bei Gelegenheit der 69. Versammlung Deutscher Naturforscher und Ärzte en Braunschweig , Friedrich Vieweg und Sohn

[13] Dedekind, Richard (1900), "Über die von drei Moduln erzeugte Dualgruppe" , Mathematische Annalen , 53 (3): 371– 403, doi : 10.1007/BF01448979 , S2CID 122529830

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