función de transferencia óptica

La función de transferencia óptica ( FTO ) de un sistema óptico, como una cámara , un microscopio , el ojo humano o un proyector, describe su contraste de imagen en función de la escala. Su magnitud representa el contraste de la imagen del patrón de intensidad armónica , , en función de la frecuencia espacial, , mientras que su argumento complejo indica un desfase en el patrón periódico. Los ingenieros ópticos utilizan la función de transferencia óptica para describir cómo la óptica proyecta la luz del objeto o escena sobre una película fotográfica , un detector , la retina , una pantalla o, simplemente, el siguiente elemento de la cadena de transmisión óptica. ${\displaystyle 1+\cos(2\pi \nu \cdot x)}$${\displaystyle \nu }$

Formalmente, la función de transferencia óptica se define como la transformada de Fourier de la función de dispersión puntual (PSF, es decir, la respuesta impulsional de la óptica, la imagen de una fuente puntual). Como transformada de Fourier, la OTF suele ser de valor complejo; sin embargo, es de valor real en el caso común de una PSF simétrica respecto a su centro. En la práctica, el contraste de imagen, dado por la magnitud o el módulo de la función de transferencia óptica, es de suma importancia. Esta función derivada se conoce comúnmente como función de transferencia de modulación ( MTF ).

La imagen de la derecha muestra las funciones de transferencia óptica para dos sistemas ópticos diferentes en los paneles (a) y (d). El primero corresponde al sistema de imagen ideal, limitado por difracción , con una pupila circular . Su función de transferencia disminuye aproximadamente de forma gradual con la frecuencia espacial hasta alcanzar el límite de difracción, en este caso a 500 ciclos por milímetro o un período de 2 μm. Dado que este sistema de imagen captura características periódicas tan pequeñas como este período, se podría decir que su resolución es de 2 μm. ^{[ 1 ]} El panel (d) muestra un sistema óptico que está desenfocado. Esto conduce a una fuerte reducción del contraste en comparación con el sistema de imagen limitado por difracción. Se puede ver que el contraste es cero alrededor de 250 ciclos/mm, o períodos de 4 μm. Esto explica por qué las imágenes para el sistema desenfocado (e,f) son más borrosas que las del sistema limitado por difracción (b,c). Cabe destacar que, si bien el sistema desenfocado presenta un contraste muy bajo a frecuencias espaciales cercanas a 250 ciclos/mm, el contraste a frecuencias espaciales justo por debajo del límite de difracción de 500 ciclos/mm es comparable al del sistema ideal. Una observación detallada de la imagen en el panel (f) muestra que la imagen de las grandes densidades radiales cerca del centro del objetivo radial es relativamente nítida.

Dado que la función de transferencia óptica ^{[ 2 ]} (OTF) se define como la transformada de Fourier de la función de dispersión puntual (PSF), generalmente es una función de valor complejo de la frecuencia espacial . La proyección de un patrón periódico específico se representa mediante un número complejo cuyo valor absoluto y argumento complejo son proporcionales al contraste relativo y a la traslación de la proyección proyectada, respectivamente.

A menudo, la reducción del contraste es lo que más interesa y la traslación del patrón puede ignorarse. El contraste relativo viene dado por el valor absoluto de la función de transferencia óptica, una función comúnmente denominada función de transferencia de modulación ( MTF ). Sus valores indican cuánto del contraste del objeto se captura en la imagen en función de la frecuencia espacial. La MTF tiende a disminuir con el aumento de la frecuencia espacial de 1 a 0 (en el límite de difracción); sin embargo, la función a menudo no es monótona . Por otro lado, cuando también es importante la traslación del patrón, el argumento complejo de la función de transferencia óptica puede representarse como una segunda función de valor real, comúnmente denominada función de transferencia de fase ( PhTF ). La función de transferencia óptica de valor complejo puede considerarse como una combinación de estas dos funciones de valor real:

${\displaystyle \mathrm {OTF} (\nu )=\mathrm {MTF} (\nu )e^{i\,\mathrm {PhTF} (\nu )}}$

dónde

${\displaystyle \mathrm {MTF} (\nu )=\left\vert \mathrm {OTF} (\nu )\right\vert ,}$

${\displaystyle \mathrm {PhTF} (\nu )=\mathrm {arg} (\mathrm {OTF} (\nu )),}$

y representa la función de argumento complejo, mientras que es la frecuencia espacial del patrón periódico. En general, es un vector con una frecuencia espacial para cada dimensión, es decir, también indica la dirección del patrón periódico. ${\displaystyle \mathrm {arg} (\cdot )}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \nu }$

La respuesta impulsional de un sistema óptico bien enfocado es una distribución de intensidad tridimensional con un máximo en el plano focal, y puede medirse registrando una serie de imágenes mientras se desplaza el detector axialmente. En consecuencia, la función de transferencia óptica tridimensional se define como la transformada de Fourier tridimensional de la respuesta impulsional. Si bien normalmente solo se utiliza una sección unidimensional, o a veces bidimensional, la función de transferencia óptica tridimensional puede mejorar la comprensión de microscopios como el microscopio de iluminación estructurada.

Mediante la definición de función de transferencia , debería indicar la fracción de luz que se detectó del objeto fuente puntual. Sin embargo, normalmente el contraste relativo a la cantidad total de luz detectada es lo más importante. Por lo tanto, es práctica común normalizar la función de transferencia óptica a la intensidad detectada, por lo tanto . ${\displaystyle \mathrm {OTF} (0)=\mathrm {MTF} (0)}$${\displaystyle \mathrm {MTF} (0)\equiv 1}$

En general, la función de transferencia óptica depende de factores como el espectro y la polarización de la luz emitida, así como de la posición de la fuente puntual. Por ejemplo, el contraste y la resolución de la imagen suelen ser óptimos en el centro y disminuyen hacia los bordes del campo de visión. Cuando se produce una variación significativa, la función de transferencia óptica puede calcularse para un conjunto de posiciones o colores representativos.

A veces resulta más práctico definir las funciones de transferencia basándose en un patrón binario de franjas blancas y negras. La función de transferencia para un patrón periódico blanco y negro de igual ancho se denomina función de transferencia de contraste (CTF) . ^{[ 3 ]}

Un sistema de lentes perfecto proporciona una proyección de alto contraste sin alterar el patrón periódico; por lo tanto, la función de transferencia óptica es idéntica a la función de transferencia de modulación. Normalmente, el contraste disminuye gradualmente hasta cero en un punto definido por la resolución de la óptica. Por ejemplo, un sistema de imagen óptica perfecto, sin aberraciones y con una apertura de f/4 , utilizado a una longitud de onda visible de 500 nm, tendría la función de transferencia óptica representada en la figura de la derecha.

La función de transferencia óptica unidimensional de un sistema de imágenes limitado por difracción es idéntica a su función de transferencia de modulación.

Objetivo radiográfico captado mediante un sistema de imagen con limitación de difracción.

Función de transferencia e imagen de ejemplo de un sistema de imagen ideal, libre de aberraciones ópticas (limitado por difracción).

En la gráfica se observa que el contraste disminuye gradualmente hasta llegar a cero a una frecuencia espacial de 500 ciclos por milímetro. En otras palabras, la resolución óptica de la proyección de la imagen es de 1/500 ^de milímetro, lo que corresponde a un tamaño de detalle de 2 micrómetros. Por encima de 500 ciclos por milímetro, el contraste de este sistema de imagen, y por lo tanto su función de transferencia de modulación, es cero. En consecuencia, para este dispositivo de imagen en particular, los radios se vuelven cada vez más borrosos hacia el centro hasta fusionarse en un disco gris sin resolución.

Cabe señalar que, en ocasiones, la función de transferencia óptica se expresa en unidades del espacio del objeto o de la muestra , ángulo de observación, ancho de la película o normalizada al máximo teórico. La conversión entre unidades suele ser una cuestión de multiplicación o división. Por ejemplo, un microscopio normalmente magnifica todo entre 10 y 100 veces, y una cámara réflex generalmente reduce el tamaño de los objetos a una distancia de 5 metros entre 100 y 200 veces.

La resolución de un dispositivo de imagen digital no solo está limitada por la óptica, sino también por el número de píxeles, y más concretamente, por su distancia de separación. Como explica el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon , para igualar la resolución óptica del ejemplo dado, los píxeles de cada canal de color deben estar separados por 1 micrómetro, la mitad del periodo de 500 ciclos por milímetro. Un mayor número de píxeles en el mismo tamaño de sensor no permitirá la resolución de detalles más finos. Por otro lado, cuando el espaciado entre píxeles es mayor que 1 micrómetro, la resolución se verá limitada por la separación entre ellos; además, el aliasing puede provocar una mayor reducción de la fidelidad de la imagen.

Un sistema de imágenes imperfecto y con aberraciones podría tener la función de transferencia óptica que se muestra en la siguiente figura.

La parte real de la función de transferencia óptica de un sistema de imagen imperfecto y con aberraciones.

La función de transferencia de modulación de un sistema de imagen imperfecto y con aberraciones.

La imagen de un objetivo radial captada por un sistema óptico con aberraciones.

Función de transferencia e imagen de ejemplo de un sistema de imagen óptica f/4 a 500 nm con aberración esférica con coeficiente de Zernike estándar de 0,25.

En el sistema de lentes ideal, el contraste se anula a una frecuencia espacial de 500 ciclos por milímetro. Sin embargo, a frecuencias espaciales más bajas, el contraste es considerablemente menor que el del sistema perfecto del ejemplo anterior. De hecho, el contraste se anula en varias ocasiones incluso para frecuencias espaciales inferiores a 500 ciclos por milímetro. Esto explica las bandas circulares grises en la imagen de los radios que se muestra en la figura anterior. Entre las bandas grises, los radios parecen invertir su color, pasando de negro a blanco y viceversa ; esto se conoce como inversión de contraste, directamente relacionada con el cambio de signo en la parte real de la función de transferencia óptica, y se manifiesta como un desplazamiento de medio período para algunos patrones periódicos.

Si bien podría argumentarse que la resolución tanto del sistema ideal como del imperfecto es de 2 μm, o 500 LP/mm, es evidente que las imágenes de este último son menos nítidas. Una definición de resolución más acorde con la calidad percibida utilizaría la frecuencia espacial en la que aparece el primer cero, 10 μm, o 100 LP/mm. Las definiciones de resolución, incluso para sistemas de imagen perfectos, varían considerablemente. La función de transferencia óptica proporciona una descripción más completa e inequívoca.

Los sistemas ópticos, y en particular las aberraciones ópticas, no siempre presentan simetría rotacional. Por lo tanto, los patrones periódicos con diferente orientación pueden visualizarse con distinto contraste, incluso si su periodicidad es la misma. En consecuencia, las funciones de transferencia óptica o de modulación suelen ser funciones bidimensionales. Las siguientes figuras muestran el equivalente bidimensional del sistema ideal y del sistema imperfecto descritos anteriormente, para un sistema óptico con aberración de trébol , una aberración sin simetría rotacional.

Las funciones de transferencia óptica no siempre son de valor real. Los patrones periódicos pueden variar en cualquier magnitud, dependiendo de la aberración del sistema. Esto suele ocurrir con las aberraciones no simétricas rotacionales. El tono de los colores de las gráficas de superficie en la figura anterior indica la fase. Se observa que, mientras que para las aberraciones simétricas rotacionales la fase es 0 o π, y por lo tanto la función de transferencia es de valor real, para la aberración no simétrica rotacional la función de transferencia tiene un componente imaginario y la fase varía continuamente.

Mientras que la resolución óptica , tal como se usa comúnmente en referencia a los sistemas de cámaras, describe solo la cantidad de píxeles en una imagen y, por lo tanto, la capacidad de mostrar detalles finos, la función de transferencia describe la capacidad de los píxeles adyacentes para cambiar de negro a blanco en respuesta a patrones de frecuencia espacial variable y, por lo tanto, la capacidad real de mostrar detalles finos, ya sea con contraste total o reducido. Una imagen reproducida con una función de transferencia óptica que disminuye a altas frecuencias espaciales aparecerá borrosa en lenguaje cotidiano.

Tomando como ejemplo un sistema de vídeo de alta definición (HD) actual, con 1920 x 1080 píxeles, el teorema de Nyquist establece que, en un sistema ideal, debería ser posible resolver completamente (con transiciones reales de negro a blanco) un total de 1920 líneas alternas blancas y negras combinadas, lo que se conoce como una frecuencia espacial de 1920/2 = 960 pares de líneas por ancho de imagen, o 960 ciclos por ancho de imagen (también son posibles definiciones en términos de ciclos por unidad de ángulo o por milímetro, pero generalmente son menos claras cuando se trata de cámaras y más apropiadas para telescopios, etc.). En la práctica, esto dista mucho de ser así, y las frecuencias espaciales que se aproximan a la tasa de Nyquist generalmente se reproducirán con amplitud decreciente, de modo que los detalles finos, aunque se pueden ver, se reducen considerablemente en contraste. Esto da lugar a la interesante observación de que, por ejemplo, una imagen de televisión de definición estándar obtenida mediante un escáner de película que utiliza sobremuestreo , como se describe más adelante, puede parecer más nítida que una imagen de alta definición tomada con una cámara con una función de transferencia de modulación deficiente. Ambas imágenes muestran una diferencia interesante que a menudo pasa desapercibida: la primera presenta un contraste completo en los detalles hasta cierto punto, pero luego carece de detalles realmente finos, mientras que la segunda sí contiene detalles más finos, pero con un contraste tan reducido que parece inferior en general.

Aunque normalmente se piensa en una imagen como plana o bidimensional, el sistema de imagen produce una distribución de intensidad tridimensional en el espacio de la imagen que, en principio, puede medirse. Por ejemplo, un sensor bidimensional podría trasladarse para capturar una distribución de intensidad tridimensional. La imagen de una fuente puntual también es una distribución de intensidad tridimensional (3D) que puede representarse mediante una función de dispersión puntual 3D. Como ejemplo, la figura de la derecha muestra la función de dispersión puntual 3D en el espacio del objeto de un microscopio de campo amplio (a) junto con la de un microscopio confocal (c). Aunque se utiliza el mismo objetivo de microscopio con una apertura numérica de 1,49, es evidente que la función de dispersión puntual confocal es más compacta tanto en las dimensiones laterales (x,y) como en la axial (z). Se podría concluir, con razón, que la resolución de un microscopio confocal es superior a la de un microscopio de campo amplio en las tres dimensiones.

Una función de transferencia óptica tridimensional se puede calcular como la transformada de Fourier tridimensional de la función de dispersión puntual 3D. Su magnitud, codificada por colores, se representa en los paneles (b) y (d), que corresponden a las funciones de dispersión puntual mostradas en los paneles (a) y (c), respectivamente. La función de transferencia del microscopio de campo amplio tiene un soporte que es la mitad del del microscopio confocal en las tres dimensiones, lo que confirma la menor resolución del microscopio de campo amplio previamente observada. Nótese que, a lo largo del eje z , para x  =  y  = 0, la función de transferencia es cero en todas partes excepto en el origen. Este cono faltante es un problema bien conocido que impide el seccionamiento óptico mediante un microscopio de campo amplio. ^{[ 4 ]}

La función de transferencia óptica bidimensional en el plano focal se puede calcular mediante la integración de la función de transferencia óptica tridimensional a lo largo del eje z . Aunque la función de transferencia tridimensional del microscopio de campo amplio (b) es cero en el eje z para z  ≠ 0, su integral, la transferencia óptica bidimensional, alcanza un máximo en x  =  y  = 0. Esto solo es posible porque la función de transferencia óptica tridimensional diverge en el origen x  =  y  =  z  = 0. Los valores de la función a lo largo del eje z de la función de transferencia óptica tridimensional corresponden a la función delta de Dirac .

La mayoría del software de diseño óptico tiene funcionalidad para calcular la función de transferencia óptica o de modulación de un diseño de lente. Los sistemas ideales como los de los ejemplos aquí se calculan fácilmente de forma numérica utilizando software como Julia , GNU Octave o Matlab , y en algunos casos específicos incluso de forma analítica. La función de transferencia óptica se puede calcular siguiendo dos enfoques: ^{[ 5 ]}

1. como la transformada de Fourier de la función de dispersión de punto incoherente , o
2. como la autocorrelación de la función pupilar del sistema óptico

Matemáticamente, ambos enfoques son equivalentes. Los cálculos numéricos suelen realizarse de forma más eficiente mediante la transformada de Fourier; sin embargo, el cálculo analítico puede resultar más manejable utilizando el método de autocorrelación.

Dado que la función de transferencia óptica es la transformada de Fourier de la función de dispersión puntual , y esta última es el cuadrado absoluto de la función de pupila transformada inversamente de Fourier , la función de transferencia óptica también puede calcularse directamente a partir de la función de pupila . Del teorema de convolución se deduce que la función de transferencia óptica es, de hecho, la autocorrelación de la función de pupila . ^{[ 5 ]}

La función de pupila de un sistema óptico ideal con una apertura circular es un disco de radio unitario. La función de transferencia óptica de dicho sistema se puede calcular geométricamente a partir del área de intersección entre dos discos idénticos a una distancia de , donde es la frecuencia espacial normalizada a la frecuencia transmitida más alta. ^{[ 2 ]} En general, la función de transferencia óptica se normaliza a un valor máximo de uno para , por lo que el área resultante debe dividirse por . ${\displaystyle 2\nu }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \nu =0}$${\displaystyle \pi }$

El área de intersección se puede calcular como la suma de las áreas de dos segmentos circulares idénticos : , donde es el ángulo del segmento circular. Sustituyendo y usando las igualdades y , la ecuación para el área se puede reescribir como . Por lo tanto, la función de transferencia óptica normalizada viene dada por: ${\displaystyle \theta /2-\sin(\theta )/2}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle |\nu |=\cos(\theta /2)}$${\displaystyle \sin(\theta )/2=\sin(\theta /2)\cos(\theta /2)}$${\displaystyle 1=\nu ^{2}+\sin(\arccos(|\nu |))^{2}}$${\displaystyle \arccos(|\nu |)-|\nu |{\sqrt {1-\nu ^{2}}}}$

${\displaystyle \operatorname {OTF} (\nu )={\frac {2}{\pi }}\left[\cos ^{-1}(|\nu |)-|\nu |{\sqrt {1-\nu ^{2}}}\right]}$para y 0 en caso contrario.${\displaystyle |\nu |<1}$

Un análisis más detallado se puede encontrar en ^{[ 5 ]} y ^{[ 2 ] : 152–153.}

La función de transferencia óptica unidimensional se puede calcular como la transformada discreta de Fourier de la función de dispersión lineal. Estos datos se grafican en función de la frecuencia espacial . En este caso, se ajusta un polinomio de sexto orden a la curva de MTF frente a la frecuencia espacial para mostrar la tendencia. Se determina la frecuencia de corte del 50 % para obtener la frecuencia espacial correspondiente. De esta manera, se determina la posición aproximada del punto de enfoque óptimo de la unidad bajo prueba a partir de estos datos.

La transformada de Fourier de la función de dispersión lineal (LSF) no se puede determinar analíticamente mediante las siguientes ecuaciones:

${\displaystyle \operatorname {MTF} ={\mathcal {F}}\left[\operatorname {LSF} \right]\qquad \qquad \operatorname {MTF} =\int f(x)e^{-i2\pi \,xs}\,dx}$

Por lo tanto, la transformada de Fourier se aproxima numéricamente utilizando la transformada discreta de Fourier . ^{[ 6 ]}${\displaystyle {\mathcal {DFT}}}$

${\displaystyle \operatorname {MTF} ={\mathcal {DFT}}[\operatorname {LSF} ]=Y_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}y_{n}e^{-ik{\frac {2\pi }{N}}n}\qquad k\in [0,N-1]}$

dónde

• ${\displaystyle Y_{k}\,}$= el valor de la MTF${\displaystyle k^{\text{o}}}$
• ${\displaystyle N\,}$= número de puntos de datos
• ${\displaystyle n\,}$= índice
• ${\displaystyle k\,}$= término de los datos LSF${\displaystyle k^{\text{o}}}$
• ${\displaystyle y_{n}\,}$= posición del píxel${\displaystyle n^{\text{o}}\,}$
• ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$

${\displaystyle e^{\pm ia}=\cos(a)\,\pm \,i\sin(a)}$

${\displaystyle \operatorname {MTF} ={\mathcal {DFT}}[\operatorname {LSF} ]=Y_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}y_{n}\left[\cos \left(k{\frac {2\pi }{N}}n\right)-i\sin \left(k{\frac {2\pi }{N}}n\right)\right]\qquad k\in [0,N-1]}$

A continuación, se representa gráficamente la MTF en función de la frecuencia espacial y, a partir de ese gráfico, se pueden determinar todos los datos relevantes relativos a esta prueba.

En aperturas numéricas elevadas, como las que se encuentran en la microscopía, es importante considerar la naturaleza vectorial de los campos que transportan la luz. Al descomponer las ondas en tres componentes independientes correspondientes a los ejes cartesianos, se puede calcular una función de dispersión puntual para cada componente y combinarlas en una función de dispersión puntual vectorial . De manera similar, se puede determinar una función de transferencia óptica vectorial como se muestra en ( ^{[ 7 ]} ) y ( ^{[ 8 ]} ).

La función de transferencia óptica no solo es útil para el diseño de sistemas ópticos, sino que también resulta valiosa para caracterizar los sistemas fabricados.

La función de transferencia óptica se define como la transformada de Fourier de la respuesta impulsional del sistema óptico, también conocida como función de dispersión puntual . Esta función se obtiene fácilmente capturando primero la imagen de una fuente puntual y aplicando la transformada discreta de Fourier bidimensional a la imagen muestreada. Dicha fuente puntual puede ser, por ejemplo, una luz brillante detrás de una pantalla con un orificio, una microesfera fluorescente o metálica , o simplemente un punto pintado en una pantalla. El cálculo de la función de transferencia óptica mediante la función de dispersión puntual es versátil, ya que permite caracterizar completamente la óptica con variaciones espaciales y aberraciones cromáticas repitiendo el procedimiento para diversas posiciones y espectros de longitud de onda de la fuente puntual.

Cuando se puede asumir que las aberraciones son espacialmente invariantes, se pueden utilizar patrones alternativos para determinar la función de transferencia óptica, como líneas y bordes. Las funciones de transferencia correspondientes se denominan función de dispersión lineal y función de dispersión de borde, respectivamente. Estos objetos extendidos iluminan más píxeles en la imagen y pueden mejorar la precisión de la medición debido a la mayor relación señal-ruido. En este caso, la función de transferencia óptica se calcula como la transformada discreta de Fourier bidimensional de la imagen dividida por la del objeto extendido. Normalmente se utiliza una línea o un borde blanco y negro.

La transformada de Fourier bidimensional de una línea que pasa por el origen es una línea ortogonal a ella y que también pasa por el origen. Por lo tanto, el divisor es cero para todas las dimensiones excepto una. En consecuencia, la función de transferencia óptica solo puede determinarse para una dimensión utilizando una única función de dispersión lineal (LSF). Si es necesario, la función de transferencia óptica bidimensional puede determinarse repitiendo la medición con líneas en diferentes ángulos.

La función de dispersión de línea se puede obtener mediante dos métodos diferentes. Se puede obtener directamente a partir de una aproximación de línea ideal proporcionada por una muestra de prueba de ranura, o bien se puede derivar de la función de dispersión de borde, que se analiza en la siguiente subsección.

La transformada de Fourier bidimensional de un borde también es distinta de cero solo en una línea, ortogonal al borde. Esta función a veces se denomina función de dispersión de borde (ESF). ^{[ 9 ] [ 10 ]} Sin embargo, los valores en esta línea son inversamente proporcionales a la distancia desde el origen. Aunque las imágenes de medición obtenidas con esta técnica iluminan una gran área de la cámara, esto beneficia principalmente la precisión en bajas frecuencias espaciales. Al igual que con la función de dispersión de línea, cada medición solo determina un único eje de la función de transferencia óptica, por lo que son necesarias mediciones repetidas si no se puede asumir que el sistema óptico sea simétrico rotacionalmente.

Como se muestra en la figura de la derecha, un operador define un área rectangular que abarca el borde de una imagen de prueba con forma de filo de cuchillo, retroiluminada por un cuerpo negro . El área rectangular se define como aproximadamente el 10 % del área total del fotograma. Los datos de píxeles de la imagen se transforman en una matriz bidimensional ( intensidad y posición de píxeles ). La amplitud (intensidad de píxeles) de cada línea dentro de la matriz se normaliza y se promedia. Esto da como resultado la función de dispersión de borde.

${\displaystyle \operatorname {ESF} ={\frac {X-\mu }{\sigma }}\qquad \qquad \sigma \,={\sqrt {\frac {\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}-\mu \,)^{2}}{n}}}\qquad \qquad \mu \,={\frac {\sum _{i=0}^{n-1}x_{i}}{n}}}$

dónde

• ESF = la matriz de salida de datos de intensidad de píxeles normalizados
• ${\displaystyle X\,}$= la matriz de entrada de datos de intensidad de píxeles
• ${\displaystyle x_{i}\,}$= el i ^-ésimo elemento de${\displaystyle X\,}$
• ${\displaystyle \mu \,}$= el valor promedio de los datos de intensidad de píxeles
• ${\displaystyle \sigma \,}$= la desviación estándar de los datos de intensidad de píxeles
• ${\displaystyle n\,}$= número de píxeles utilizados en promedio

La función de dispersión lineal es idéntica a la primera derivada de la función de dispersión de borde, ^{[ 11 ]} que se diferencia utilizando métodos numéricos . En caso de que sea más práctico medir la función de dispersión de borde, se puede determinar la función de dispersión lineal de la siguiente manera:

${\displaystyle \operatorname {LSF} ={\frac {d}{dx}}\operatorname {ESF} (x)}$

Normalmente, la ESF solo se conoce en puntos discretos, por lo que la LSF se aproxima numéricamente utilizando la diferencia finita :

${\displaystyle \operatorname {LSF} ={\frac {d}{dx}}\operatorname {ESF} (x)\approx {\frac {\Delta \operatorname {ESF} }{\Delta x}}}$

${\displaystyle \operatorname {LSF} \approx {\frac {\operatorname {ESF} _{i+1}-\operatorname {ESF} _{i-1}}{2(x_{i+1}-x_{i})}}}$

dónde:

• ${\displaystyle i\,}$= el índice${\displaystyle i=1,2,\dots ,n-1}$
• ${\displaystyle x_{i}\,}$= posición del píxel${\displaystyle i^{\text{th}}\,}$${\displaystyle i^{\text{th}}\,}$
• ${\displaystyle \operatorname {ESF} _{i}\,}$= ESF del píxel${\displaystyle i^{\text{th}}\,}$

Aunque la nitidez se suele evaluar mediante patrones de cuadrícula con líneas blancas y negras alternadas, lo ideal es medirla utilizando una variación sinusoidal de negro a blanco (una versión difuminada del patrón habitual). Al emplear un patrón de onda cuadrada (líneas blancas y negras simples), no solo aumenta el riesgo de aliasing, sino que también hay que tener en cuenta que la componente fundamental de una onda cuadrada es mayor que su amplitud (las componentes armónicas reducen la amplitud máxima). Por lo tanto, una carta de prueba con onda cuadrada mostrará resultados optimistas (una resolución de altas frecuencias espaciales superior a la que se obtiene en realidad). El resultado de la onda cuadrada se conoce a veces como «función de transferencia de contraste» (CTF).

En la práctica, muchos factores provocan una considerable borrosidad en la imagen reproducida, de modo que los patrones con frecuencias espaciales ligeramente inferiores a la frecuencia de Nyquist pueden incluso resultar invisibles, y los patrones más finos pueden aparecer difuminados, como tonos grises, en lugar de blanco y negro. Un factor importante suele ser la imposibilidad de crear un filtro óptico de "pared de ladrillos" perfecto (que a menudo se implementa como una placa de fase o una lente con propiedades de desenfoque específicas en cámaras digitales y videocámaras). Dicho filtro es necesario para reducir el aliasing eliminando las frecuencias espaciales superiores a la frecuencia de Nyquist de la pantalla.

La única forma práctica de alcanzar la nitidez teórica posible en un sistema de imagen digital como una cámara es utilizar más píxeles en el sensor de la cámara que muestras en la imagen final, y realizar una conversión descendente o interpolación mediante un procesamiento digital especial que elimina las altas frecuencias por encima de la frecuencia de Nyquist para evitar el aliasing, manteniendo al mismo tiempo una MTF razonablemente plana hasta esa frecuencia. Este enfoque se adoptó por primera vez en la década de 1970 con el desarrollo de los escáneres puntuales móviles y, posteriormente, de los escáneres lineales CCD , que muestreaban más píxeles de los necesarios y luego realizaban una conversión descendente. Por ello, las películas siempre se han visto más nítidas en televisión que otros materiales grabados con una cámara de vídeo. La única forma teóricamente correcta de interpolar o realizar una conversión descendente es mediante el uso de un filtro espacial de paso bajo pronunciado , implementado mediante convolución con una función de ponderación bidimensional sin( x )/ x, lo que requiere un procesamiento potente. En la práctica, se utilizan diversas aproximaciones matemáticas para reducir los requisitos de procesamiento. Estas aproximaciones se implementan actualmente de forma generalizada en sistemas de edición de vídeo y en programas de procesamiento de imágenes como Photoshop .

Así como el vídeo de definición estándar con una MTF de alto contraste solo es posible mediante el sobremuestreo, la televisión HD con la máxima nitidez teórica solo es posible partiendo de una cámara con una resolución significativamente mayor, seguida de un filtrado digital. Dado que ahora se graban películas en 4K e incluso vídeo en 8K para cine, podemos esperar ver las mejores imágenes en HDTV solo en películas o material grabado con el estándar más alto. Por mucho que aumentemos el número de píxeles utilizados en las cámaras, esto siempre será cierto en ausencia de un filtro espacial óptico perfecto. Del mismo modo, una imagen de 5 megapíxeles obtenida con una cámara de fotos de 5 megapíxeles nunca podrá ser más nítida que una imagen de 5 megapíxeles obtenida tras la conversión descendente desde una cámara de fotos de 10 megapíxeles de igual calidad. Debido al problema de mantener una MTF de alto contraste, emisoras como la BBC consideraron durante mucho tiempo mantener la televisión de definición estándar, pero mejorando su calidad grabando y visualizando con muchos más píxeles (aunque, como se mencionó anteriormente, dicho sistema, si bien es impresionante, en última instancia carece del detalle muy fino que, aunque atenuado, realza el efecto de la visualización en verdadera alta definición).

Otro factor importante en las cámaras digitales y videocámaras es la resolución del objetivo. Si bien se puede decir que un objetivo "resuelve" 1920 líneas horizontales, esto no significa que lo haga con una modulación completa de negro a blanco. La "función de transferencia de modulación" (un término que simplemente describe la magnitud de la función de transferencia óptica sin considerar la fase) proporciona la medida real del rendimiento del objetivo y se representa mediante un gráfico de amplitud en función de la frecuencia espacial.

La difracción de la apertura del objetivo también limita la MTF. Si bien reducir la apertura de un objetivo generalmente reduce las aberraciones y, por lo tanto, mejora la planitud de la MTF, existe una apertura óptima para cualquier objetivo y tamaño de sensor de imagen, más allá de la cual las aperturas más pequeñas reducen la resolución debido a la difracción, que dispersa la luz por todo el sensor de imagen. Esto apenas era un problema en la época de las cámaras de placas e incluso de la película de 35 mm, pero se ha convertido en una limitación insuperable con los sensores de formato muy pequeño utilizados en algunas cámaras digitales y, especialmente, en las videocámaras. Las videocámaras HD de consumo de primera generación utilizaban sensores de 1/4 de pulgada, para los cuales las aperturas menores a aproximadamente f4 comienzan a limitar la resolución. Incluso las videocámaras profesionales utilizan principalmente sensores de 2/3 de pulgada, lo que prohíbe el uso de aperturas alrededor de f16 que se habrían considerado normales para los formatos de película. Ciertas cámaras (como la Pentax K10D ) cuentan con un modo de "exposición automática MTF", donde la elección de la apertura se optimiza para obtener la máxima nitidez. Normalmente, esto significa en algún punto intermedio del rango de apertura. ^{[ 12 ]}

Recientemente se ha observado una tendencia hacia el uso de cámaras réflex digitales de gran formato, impulsada por la necesidad de sensibilidad en condiciones de poca luz y efectos de profundidad de campo reducida . Esto ha llevado a que algunos productores de cine y televisión prefieran estas cámaras incluso a las videocámaras HD profesionales, debido a su potencial cinematográfico. En teoría, el uso de cámaras con sensores de 16 y 21 megapíxeles ofrece la posibilidad de lograr una nitidez casi perfecta mediante la conversión descendente dentro de la cámara, con filtrado digital para eliminar el aliasing. Estas cámaras producen resultados impresionantes y parecen estar liderando la producción de vídeo hacia la conversión descendente de gran formato con filtrado digital, convirtiéndose en el enfoque estándar para lograr una MTF plana con verdadera ausencia de aliasing.

Debido a efectos ópticos, el contraste puede ser subóptimo y tender a cero antes de alcanzar la frecuencia de Nyquist de la pantalla. La reducción del contraste óptico puede revertirse parcialmente amplificando digitalmente las frecuencias espaciales de forma selectiva antes de la visualización o el procesamiento posterior. Si bien existen procedimientos de restauración de imágenes digitales más avanzados , el algoritmo de deconvolución de Wiener se utiliza con frecuencia por su simplicidad y eficiencia. Dado que esta técnica multiplica los componentes espectrales espaciales de la imagen, también amplifica el ruido y los errores debidos, por ejemplo, al aliasing. Por lo tanto, solo es eficaz en grabaciones de buena calidad con una relación señal-ruido suficientemente alta.

En general, la función de dispersión puntual , la imagen de una fuente puntual, también depende de factores como la longitud de onda ( color ) y el ángulo de campo (posición lateral de la fuente puntual). Cuando dicha variación es suficientemente gradual, el sistema óptico puede caracterizarse mediante un conjunto de funciones de transferencia óptica. Sin embargo, cuando la imagen de la fuente puntual cambia abruptamente, la función de transferencia óptica no describe el sistema óptico con precisión. Las imprecisiones a menudo pueden mitigarse mediante un conjunto de funciones de transferencia óptica en longitudes de onda o posiciones de campo bien elegidas. No obstante, puede ser necesaria una caracterización más compleja para algunos sistemas de imagen, como la cámara de campo de luz .

• Bokeh
• Corrección gamma
• Contraste mínimo resoluble
• Diferencia mínima de temperatura resoluble
• Resolución óptica
• Relación señal/ruido
• función de transferencia de señal
• Relación de Strehl
• Función de transferencia
• Codificación de frente de onda

• "Función de transferencia de modulación" , por Glenn D. Boreman en SPIE Optipedia.
• "Cómo medir la MTF y otras propiedades de las lentes" , por Optikos Corporation.