Espacio modulador

Los espacios descritos en este artículo son espacios de clases de altura que modelan las relaciones entre las clases de altura en algún sistema musical. Estos modelos suelen ser gráficos , grupos o retículos . Estrechamente relacionados con el espacio de clases de altura se encuentran el espacio de altura , que representa alturas en lugar de clases de altura, y el espacio de acordes , que modela las relaciones entre acordes.

El modelo de espacio de tono más simple es la línea real. En el estándar de afinación MIDI , por ejemplo, las frecuencias fundamentales f se asignan a números p según la ecuación

${\displaystyle p=69+12\log _{2}{(f/440)}}$

Esto crea un espacio lineal en el que las octavas tienen un tamaño de 12, los semitonos (la distancia entre teclas adyacentes en el teclado del piano) tienen un tamaño de 1 y a A440 se le asigna el número 69 (lo que significa que al C central se le asigna el número 60). Para crear un espacio de clase de tono circular , identificamos o "pegamos" los tonos p y p + 12. El resultado es un espacio de clase de tono circular y continuo que los matemáticos llaman Z /12 Z .

Otros modelos de espacio de clases de altura, como el círculo de quintas , intentan describir la relación especial entre las clases de altura relacionadas por la quinta perfecta. En el temperamento igual , doce quintas sucesivas equivalen exactamente a siete octavas y, por lo tanto, en términos de clases de altura, se cierra sobre sí mismo, formando un círculo. Decimos que la clase de altura de la quinta genera –o es un generador de– el espacio de doce clases de altura.

Dividiendo la octava en n partes iguales y eligiendo un entero m<n tal que m y n sean primos entre sí –es decir, no tengan divisor común– obtenemos círculos semejantes, que tienen todos la estructura de grupos cíclicos finitos. Trazando una línea entre dos clases de tonos cuando difieren en un generador, podemos representar el círculo de generadores como un gráfico de ciclos , en forma de polígono regular . ^{[ ejemplo necesario ]}

Si dividimos la octava en n partes, donde n = rs es el producto de dos números enteros primos entre sí r y s, podemos representar cada elemento del espacio tonal como el producto de un cierto número de generadores "r" por un cierto número de generadores "s"; en otras palabras, como la suma directa de dos grupos cíclicos de órdenes r y s. Ahora podemos definir un grafo con n vértices sobre los que actúa el grupo, añadiendo una arista entre dos clases de tonos siempre que difieran en un generador "r" o en un generador "s" (el llamado grafo de Cayley de con generadores r y s ). El resultado es un grafo de género uno, es decir, un grafo con forma de rosquilla o de toro . Un grafo de este tipo se llama grafo toroidal . ${\displaystyle \mathbb {Z} _ {12}}$

Un ejemplo es el temperamento igual ; doce es el producto de 3 y 4, y podemos representar cualquier clase de tono como una combinación de tercios de octava, o tercios mayores, y cuartos de octava, o tercios menores, y luego dibujar un gráfico toroidal dibujando un borde siempre que dos clases de tono difieran en un tercio mayor o menor.

Podemos generalizar inmediatamente a cualquier número de factores relativamente primos, produciendo gráficos que pueden dibujarse de manera regular en un n-toro .

Un temperamento lineal es un temperamento regular de rango dos generado por la octava y otro intervalo, comúnmente llamado "el" generador. El ejemplo más conocido es el temperamento de media voz , cuyo generador es una quinta bemol, de media voz. Las clases de tono de cualquier temperamento lineal se pueden representar como dispuestas a lo largo de una cadena infinita de generadores; en media voz, por ejemplo, esto sería -FCGDA-, etc. Esto define un espacio modulatorio lineal.

Un temperamento de rango dos que no es lineal tiene un generador que es una fracción de octava, llamado período. Podemos representar el espacio modulatorio de dicho temperamento como n cadenas de generadores en un círculo, formando un cilindro. Aquí n es el número de períodos en una octava.

Por ejemplo, el temperamento diasquísmico es el temperamento que templa el diasquisma , o 2048/2025. Puede representarse como dos cadenas de quintas ligeramente (3,25 a 3,55 centésimas) agudas separadas por media octava, que pueden representarse como dos cadenas perpendiculares a un círculo y en lados opuestos del mismo. La apariencia cilíndrica de este tipo de espacio modulatorio se hace más evidente cuando el período es una fracción más pequeña de una octava; por ejemplo, el temperamento enealímico tiene un espacio modulatorio que consiste en nueve cadenas de terceras menores en un círculo (donde las terceras pueden estar solo entre 0,02 y 0,03 centésimas agudas).

La entonación límite cinco tiene un espacio modulatorio basado en el hecho de que sus clases de tono se pueden representar por 3 ^a 5 ^b , donde a y b son números enteros. Por lo tanto, es un grupo abeliano libre con los dos generadores 3 y 5, y se puede representar en términos de una red cuadrada con quintas a lo largo del eje horizontal y terceras mayores a lo largo del eje vertical.

En muchos sentidos, surge una imagen más esclarecedora si la representamos en términos de una red hexagonal ; se trata del Tonnetz de Hugo Riemann , descubierto independientemente en la misma época por Shohé Tanaka . Las quintas están a lo largo del eje horizontal, y las terceras mayores apuntan hacia la derecha en un ángulo de sesenta grados. Otros sesenta grados nos dan el eje de las sextas mayores, apuntando hacia la izquierda. Los elementos no unísonos del diamante de tonalidad de 5 límites , 3/2, 5/4, 5/3, 4/3, 8/5, 6/5 están ahora dispuestos en un hexágono regular alrededor de 1. Las tríadas son los triángulos equiláteros de esta red, siendo los triángulos que apuntan hacia arriba las tríadas mayores y los triángulos que apuntan hacia abajo las tríadas menores.

Esta imagen del espacio modulatorio de cinco límites es generalmente preferible ya que trata las consonancias de manera uniforme y no sugiere que, por ejemplo, una tercera mayor sea más una consonancia que una sexta mayor. Cuando dos puntos de la red están lo más cerca posible, separados por una unidad de distancia, entonces y sólo entonces están separados por un intervalo consonántico. Por lo tanto, la red hexagonal proporciona una imagen superior de la estructura del espacio modulatorio de cinco límites.

En términos matemáticos más abstractos, podemos describir esta red como los pares enteros (a, b), donde en lugar de la distancia euclidiana habitual tenemos una distancia euclidiana definida en términos de la norma del espacio vectorial.

${\displaystyle ||(a,b)||={\sqrt {a^{2}+ab+b^{2}}}.}$

De manera similar, podemos definir un espacio modulatorio para la entonación justa de siete límites , al representar 3 ^a 5 ^b 7 ^{c en términos de una} red cúbica correspondiente . Una vez más, sin embargo, surge una imagen más esclarecedora si lo representamos en términos del análogo tridimensional de la red hexagonal, una red llamada A ₃ , que es equivalente a la red cúbica centrada en las caras , o D ₃ . De manera abstracta, se puede definir como las ternas enteras (a, b, c), asociadas a 3 ^a 5 ^b 7 ^c , donde la medida de la distancia no es la distancia euclidiana habitual sino más bien la distancia euclidiana derivada de la norma del espacio vectorial.

${\displaystyle ||(a,b,c)||={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca}}.}$

En esta imagen, los doce elementos no unísonos del diamante de tonalidad de siete límites están dispuestos alrededor de 1 en forma de cuboctaedro .

• Espacio de lanzamiento
• Espacio cordal

• Riemann, Hugo, Ideen zu einer Lehre von den Tonvorstellungen , Jahrbuch der Musikbibliothek Peters, (1914/15), Leipzig 1916, págs. [1]
• Tanaka, Shohé, Studien im Gebiete der reinen Stimmung , Vierteljahrsschrift für Musikwissenschaft vol. 6 núm. 1, Friedrich Chrysander, Philipp Spitta, Guido Adler (eds.), Breitkopf und Härtel, Leipzig, págs. 1–90. [2]

• Cohn, Richard, Introducción a la teoría neoriemanniana: un estudio y una perspectiva histórica , The Journal of Music Theory, (1998) 42(2), págs. 167–80
• Lerdahl, Fred (2001). Tonal Pitch Space , págs. 42-43. Oxford: Oxford University Press. ISBN  0-19-505834-8 .
• Lubin, Steven, 1974, Técnicas para el análisis del desarrollo en Beethoven del período medio , tesis doctoral, Universidad de Nueva York, 1974

• Espacio modulatorio de siete límites
• Tonnetz y las generalizaciones