Teorema de estructura para módulos finitamente generados sobre un dominio ideal principal.

Para cada módulo M generado finitamente sobre un dominio ideal principal R , existe una secuencia decreciente única de ideales propios.${\displaystyle (d_{1})\supseteq (d_{2})\supseteq \cdots \supseteq (d_{n})}$de tal manera que M sea isomorfo a la suma de módulos cíclicos :

${\displaystyle M\cong \bigoplus _{i}R/(d_{i})=R/(d_{1})\oplus R/(d_{2})\oplus \cdots \oplus R/(d_{n}).}$

Los generadores${\displaystyle d_{i}}$de los ideales son únicos salvo multiplicación por una unidad , y se denominan factores invariantes de M. Dado que los ideales deben ser propios, estos factores no deben ser invertibles (esto evita factores triviales en la suma), y la inclusión de los ideales implica que se tiene divisibilidad.${\displaystyle d_{1}\,|\,d_{2}\,|\,\cdots \,|\,d_{n}}$La parte libre es visible en la parte de la descomposición correspondiente a los factores.${\displaystyle d_{i}=0}$Dichos factores, si los hay, aparecen al final de la secuencia.

Si bien la suma directa está determinada de forma única por M , el isomorfismo que da lugar a la descomposición en sí no es único en general. Por ejemplo, si R es realmente un cuerpo, entonces todos los ideales que aparecen deben ser cero, y se obtiene la descomposición de un espacio vectorial de dimensión finita en una suma directa de subespacios unidimensionales ; el número de tales factores es fijo, es decir, la dimensión del espacio, pero hay mucha libertad para elegir los subespacios mismos (si dim M > 1 ).

El distinto de cero${\displaystyle d_{i}}$elementos, junto con el número de${\displaystyle d_{i}}$que son cero, forman un conjunto completo de invariantes para el módulo. Explícitamente, esto significa que cualesquiera dos módulos que compartan el mismo conjunto de invariantes son necesariamente isomorfos.

Algunos prefieren escribir la parte libre de M por separado:

${\displaystyle R^{f}\oplus \bigoplus _{i}R/(d_{i})=R^{f}\oplus R/(d_{1})\oplus R/(d_{2})\oplus \cdots \oplus R/(d_{nf})\;,}$

donde lo visible${\displaystyle d_{i}}$son distintos de cero, y f es el número de${\displaystyle d_{i}}$'s en la secuencia original que son 0.

Todo módulo M generado finitamente sobre un dominio ideal principal R es isomorfo a uno de la forma

${\displaystyle \bigoplus _{i}R/(q_{i})\;,}$

dónde${\displaystyle (q_{i})\neq R}$y el${\displaystyle (q_{i})}$son ideales primarios .${\displaystyle q_{i}}$son únicos (salvo multiplicación por unidades).

Rudimentos${\displaystyle q_{i}}$se denominan divisores elementales de M. En un PID, los ideales primarios distintos de cero son potencias de primos, y así${\displaystyle (q_{i})=(p_{i}^{r_{i}})=(p_{i})^{r_{i}}}$. Cuando${\displaystyle q_{i}=0}$, el módulo indescomponible resultante es${\displaystyle R}$en sí mismo, y esto está dentro de la parte de M que es un módulo libre.

Los sumandos${\displaystyle R/(q_{i})}$son indescomponibles , por lo que la descomposición primaria es una descomposición en módulos indescomponibles, y por lo tanto todo módulo finitamente generado sobre un PID es un módulo completamente descomponible . Dado que los PID son anillos noetherianos , esto puede verse como una manifestación del teorema de Lasker-Noether .

Como antes, es posible escribir la parte libre (donde${\displaystyle q_{i}=0}$) por separado y expresar M como

${\displaystyle R^{f}\oplus (\bigoplus _{i}R/(q_{i}))\;,}$

donde lo visible${\displaystyle q_{i}}$son distintos de cero.

El teorema de Jordan-Hölder es un resultado más general para grupos finitos (o módulos sobre un anillo arbitrario). En esta generalidad, se obtiene una serie de composición , en lugar de una suma directa .

El teorema de Krull-Schmidt y los resultados relacionados dan condiciones bajo las cuales un módulo tiene algo parecido a una descomposición primaria, una descomposición como suma directa de módulos indescomponibles en la que los sumandos son únicos hasta cierto orden.

La descomposición primaria se generaliza a módulos finitamente generados sobre anillos noetherianos conmutativos , y este resultado se conoce como el teorema de Lasker-Noether .

Por el contrario, la descomposición única en submódulos indescomponibles no se generaliza tanto, y el fallo se mide por el grupo de clases ideal , que desaparece para los PID.

Para anillos que no son dominios ideales principales, la descomposición única ni siquiera tiene por qué cumplirse para módulos sobre un anillo generado por dos elementos. Para el anillo R  = Z [√−5], tanto el módulo R como su submódulo M generado por 2 y 1 + √−5 son indescomponibles. Mientras que R no es isomorfo a M , R ⊕ R es isomorfo a M ⊕ M ; por lo tanto, las imágenes de los sumandos M dan submódulos indescomponibles L ₁ , L ₂ < R ⊕ R que dan una descomposición diferente de R ⊕ R . El fallo de factorizar de forma única R ⊕ R en una suma directa de módulos indescomponibles está directamente relacionado (a través del grupo de clases ideales) con el fallo de factorizar de forma única los elementos de R en elementos irreducibles de R .                

Sin embargo, sobre un dominio de Dedekind, el grupo de clases ideal es la única obstrucción, y el teorema de estructura se generaliza a módulos finitamente generados sobre un dominio de Dedekind con modificaciones menores. Todavía existe una parte de torsión única, con un complemento libre de torsión (único salvo isomorfismo), pero un módulo libre de torsión sobre un dominio de Dedekind ya no es necesariamente libre. Los módulos libres de torsión sobre un dominio de Dedekind están determinados (salvo isomorfismo) por el rango y la clase de Steinitz (que toma valor en el grupo de clases ideal), y la descomposición en una suma directa de copias de R (módulos libres de rango uno) se reemplaza por una suma directa en módulos proyectivos de rango uno: los sumandos individuales no están determinados de forma única, pero la clase de Steinitz (de la suma) sí lo está.

De manera similar, para módulos que no son finitamente generados, no se puede esperar una descomposición tan sencilla: incluso el número de factores puede variar. Hay Z -submódulos de Q ⁴ que son simultáneamente sumas directas de dos módulos indescomponibles y sumas directas de tres módulos indescomponibles, lo que demuestra que el análogo de la descomposición primaria no puede cumplirse para módulos infinitamente generados, incluso sobre los enteros, Z .

Otro problema que surge con los módulos no finitamente generados es que existen módulos libres de torsión que no son libres. Por ejemplo, consideremos el anillo Z de los enteros. Entonces Q es un Z -módulo libre de torsión que no es libre. Otro ejemplo clásico de tal módulo es el grupo de Baer-Specker , el grupo de todas las secuencias de enteros bajo la suma término a término. En general, la cuestión de qué grupos abelianos libres de torsión infinitamente generados son libres depende de qué cardinales grandes existan. Una consecuencia es que cualquier teorema de estructura para módulos infinitamente generados depende de una elección de axiomas de la teoría de conjuntos y puede ser inválido bajo una elección diferente.