El círculo de Mohr

Para derivar la ecuación del círculo de Mohr para los casos bidimensionales de tensión plana y deformación plana , primero consideremos un elemento material infinitesimal bidimensional alrededor de un punto material.${\displaystyle P}$(Figura 4), con un área unitaria en la dirección paralela a la${\displaystyle y}$-${\displaystyle z}$plano, es decir, perpendicular a la página o pantalla.

A partir del equilibrio de fuerzas sobre el elemento infinitesimal, se obtienen las magnitudes de la tensión normal.${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}$y la tensión cortante${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }}$son dados por:

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }={\frac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})+{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\cos 2\theta +\tau _{xy}\sin 2\theta }$

${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }=-{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\sin 2\theta +\tau _{xy}\cos 2\theta }$

Ambas ecuaciones también se pueden obtener aplicando la ley de transformación tensorial al tensor de tensiones de Cauchy conocido, lo que equivale a realizar el equilibrio estático de fuerzas en la dirección de${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}$y${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }}$.

Estas dos ecuaciones son las ecuaciones paramétricas del círculo de Mohr. En estas ecuaciones,${\displaystyle 2\theta }$es el parámetro, y${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}$y${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }}$son las coordenadas. Esto significa que al elegir un sistema de coordenadas con abscisa${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}$y ordenada${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }}$, dando valores al parámetro${\displaystyle \theta }$Los puntos obtenidos se colocarán sobre un círculo.

Eliminando el parámetro${\displaystyle 2\theta }$A partir de estas ecuaciones paramétricas se obtendrá la ecuación no paramétrica del círculo de Mohr. Esto se puede lograr reorganizando las ecuaciones para${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}$y${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }}$, primero transponiendo el primer término de la primera ecuación y elevando al cuadrado ambos lados de cada una de las ecuaciones, para luego sumarlas. Así tenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\sigma _{\mathrm {n} }-{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{\mathrm {n} }^{2}&=\left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{xy}^{2}\\(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{\mathrm {avg} })^{2}+\tau _{\mathrm {n} }^{2}&=R^{2}\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle R={\sqrt {\left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{xy}^{2}}}\quad {\text{and}}\quad \sigma _{\mathrm {avg} }={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})}$

Esta es la ecuación de un círculo (el círculo de Mohr) de la forma

${\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}$

con radio${\displaystyle r=R}$centrado en un punto con coordenadas ${\displaystyle (a,b)=(\sigma _{\mathrm {avg} },0)}$en el${\displaystyle (\sigma _{\mathrm {n} },\tau _{\mathrm {n} })}$sistema de coordenadas.

Al utilizar el círculo de Mohr, es necesario considerar dos conjuntos distintos de convenciones de signos: uno para los componentes de tensión en el espacio físico y otro para los componentes de tensión en el espacio del círculo de Mohr. Además, dentro de cada uno de estos conjuntos, la literatura sobre mecánica de la ingeniería ( ingeniería estructural e ingeniería mecánica ) utiliza una convención de signos diferente a la de la literatura sobre geomecánica . No existe una convención de signos estándar, y la elección de una convención en particular depende de la conveniencia para el cálculo y la interpretación del problema específico. A continuación, se presenta una explicación más detallada de estas convenciones de signos.

La derivación previa de la ecuación del círculo de Mohr, utilizando la figura 4, sigue la convención de signos de la mecánica de ingeniería. Esta convención se utilizará en este artículo .

Convención de signos del espacio del círculo de Mohr

En la convención de signos del espacio del círculo de Mohr, las tensiones normales tienen el mismo signo que las tensiones normales en la convención de signos del espacio físico: las tensiones normales positivas actúan hacia afuera del plano de acción, y las tensiones normales negativas actúan hacia adentro del plano de acción.

Sin embargo, las tensiones cortantes tienen una convención diferente en el espacio del círculo de Mohr en comparación con la convención en el espacio físico. En la convención de signos del espacio del círculo de Mohr, las tensiones cortantes positivas hacen girar el elemento material en sentido antihorario, y las tensiones cortantes negativas hacen girar el material en sentido horario. De esta manera, el componente de tensión cortante${\displaystyle \tau _{xy}}$es positivo en el espacio del círculo de Mohr y el componente de esfuerzo cortante${\displaystyle \tau _{yx}}$es negativo en el espacio del círculo de Mohr.

Existen dos opciones para dibujar el espacio del círculo de Mohr, que producen un círculo de Mohr matemáticamente correcto:

1. Las tensiones de corte positivas se representan hacia arriba (Figura 5, convención de signos n.° 1).
2. Las tensiones de corte positivas se representan hacia abajo, es decir,${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }}$El eje x está invertido (Figura 5, convención de signos n.° 2).

Al representar gráficamente las tensiones de corte positivas hacia arriba, el ángulo${\displaystyle 2\theta }$en el círculo de Mohr tienen una rotación positiva en el sentido de las agujas del reloj, lo cual es opuesto a la convención del espacio físico. Por eso algunos autores ^{[ 3 ]} prefieren representar las tensiones cortantes positivas hacia abajo, lo que hace que el ángulo${\displaystyle 2\theta }$En el círculo de Mohr, la rotación es positiva en sentido antihorario, de forma similar a la convención espacial física para las tensiones cortantes.

Para superar el "problema" de tener el eje de esfuerzo cortante hacia abajo en el espacio del círculo de Mohr, existe una convención de signos alternativa donde se supone que los esfuerzos cortantes positivos hacen girar el elemento material en el sentido de las agujas del reloj y los esfuerzos cortantes negativos hacen girar el elemento material en el sentido contrario a las agujas del reloj (Figura 5, opción 3). De esta manera, los esfuerzos cortantes positivos se representan hacia arriba en el espacio del círculo de Mohr y el ángulo${\displaystyle 2\theta }$tiene una rotación positiva en sentido antihorario en el espacio del círculo de Mohr. Esta convención de signos alternativa produce un círculo que es idéntico a la convención de signos n.° 2 en la figura 5 porque una tensión cortante positiva${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }}$También existe una tensión cortante en sentido antihorario, y ambas se representan hacia abajo. Además, existe una tensión cortante negativa.${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }}$es una tensión cortante en sentido horario, y ambas se representan gráficamente hacia arriba.

Este artículo sigue la convención de signos de la mecánica de ingeniería para el espacio físico y la convención de signos alternativa para el espacio del círculo de Mohr (convención de signos n.° 3 en la figura 5).

Suponiendo que conocemos los componentes de tensión${\displaystyle \sigma _{x}}$,${\displaystyle \sigma _{y}}$, y${\displaystyle \tau _{xy}}$en un punto${\displaystyle P}$En el objeto de estudio, como se muestra en la Figura 4, los siguientes son los pasos para construir el círculo de Mohr para el estado de tensiones en${\displaystyle P}$:

1. Dibuja el sistema de coordenadas cartesianas${\displaystyle (\sigma _{\mathrm {n} },\tau _{\mathrm {n} })}$con una horizontal${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}$eje y una vertical ${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }}$-eje.
2. Traza dos puntos${\displaystyle A(\sigma _{y},\tau _{xy})}$y${\displaystyle B(\sigma _{x},-\tau _{xy})}$en el${\displaystyle (\sigma _{\mathrm {n} },\tau _{\mathrm {n} })}$espacio correspondiente a los componentes de tensión conocidos en ambos planos perpendiculares${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$, respectivamente (Figura 4 y 6), siguiendo la convención de signos elegida.
3. Dibuja el diámetro del círculo uniendo puntos.${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$con una línea recta${\displaystyle {\overline {AB}}}$.
4. Dibuja el círculo de Mohr . El centro${\displaystyle O}$del círculo es el punto medio de la línea del diámetro${\displaystyle {\overline {AB}}}$, que corresponde a la intersección de esta línea con la${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}$eje.

La magnitud de las tensiones principales son las abscisas de los puntos.${\displaystyle C}$y${\displaystyle E}$(Figura 6) donde el círculo interseca el${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}$eje. La magnitud de la tensión principal mayor${\displaystyle \sigma _{1}}$es siempre el mayor valor absoluto de la abscisa de cualquiera de estos dos puntos. De igual modo, la magnitud de la tensión principal menor${\displaystyle \sigma _{2}}$es siempre el valor absoluto más bajo de la abscisa de estos dos puntos. Como era de esperar, las ordenadas de estos dos puntos son cero, lo que corresponde a la magnitud de las componentes de la tensión cortante en los planos principales. Alternativamente, los valores de las tensiones principales se pueden encontrar mediante

${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{\max }=\sigma _{\text{avg}}+R}$

${\displaystyle \sigma _{2}=\sigma _{\min }=\sigma _{\text{avg}}-R}$

donde la magnitud de la tensión normal promedio${\displaystyle \sigma _{\text{avg}}}$es la abscisa del centro${\displaystyle O}$, dado por

${\displaystyle \sigma _{\text{avg}}={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})}$

y la longitud del radio${\displaystyle R}$de la circunferencia (basada en la ecuación de una circunferencia que pasa por dos puntos), viene dada por

${\displaystyle R={\sqrt {\left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{xy}^{2}}}}$

Las tensiones cortantes máxima y mínima corresponden a las ordenadas de los puntos más altos y más bajos del círculo, respectivamente. Estos puntos se encuentran en la intersección del círculo con la línea vertical que pasa por el centro del círculo,${\displaystyle O}$Por lo tanto, la magnitud de las tensiones cortantes máxima y mínima es igual al valor del radio del círculo.${\displaystyle R}$

${\displaystyle \tau _{\max ,\min }=\pm R}$

Como se mencionó anteriormente, después de realizar el análisis de tensión bidimensional conocemos los componentes de tensión.${\displaystyle \sigma _{x}}$,${\displaystyle \sigma _{y}}$, y${\displaystyle \tau _{xy}}$en un punto material${\displaystyle P}$Estos componentes de tensión actúan en dos planos perpendiculares.${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$pasando por${\displaystyle P}$como se muestra en las figuras 5 y 6. El círculo de Mohr se utiliza para encontrar los componentes de tensión.${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}$y${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }}$, es decir, las coordenadas de cualquier punto${\displaystyle D}$en el círculo, actuando en cualquier otro plano${\displaystyle D}$pasando por${\displaystyle P}$haciendo un ángulo${\displaystyle \theta }$con el avión${\displaystyle B}$Para ello, se pueden utilizar dos enfoques: el ángulo doble y el polo u origen de los planos.

Polo u origen de los planos

El segundo enfoque implica la determinación de un punto en el círculo de Mohr llamado polo u origen de planos . Cualquier línea recta trazada desde el polo intersecará el círculo de Mohr en un punto que representa el estado de tensión en un plano inclinado en la misma orientación (paralelo) en el espacio que dicha línea. Por lo tanto, conociendo los componentes de tensión${\displaystyle \sigma }$y${\displaystyle \tau }$En cualquier plano particular, se puede trazar una línea paralela a ese plano que pase por las coordenadas particulares.${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}$y${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }}$en el círculo de Mohr y encontrar el polo como la intersección de dicha línea con el círculo de Mohr. Como ejemplo, supongamos que tenemos un estado de tensión con componentes de tensión.${\displaystyle \sigma _{x},\!}$,${\displaystyle \sigma _{y},\!}$, y${\displaystyle \tau _{xy},\!}$, como se muestra en la Figura 7. Primero, podemos trazar una línea desde el punto${\displaystyle B}$paralelo al plano de acción de${\displaystyle \sigma _{x}}$, o, si elegimos de otra manera, una línea desde el punto${\displaystyle A}$paralelo al plano de acción de${\displaystyle \sigma _{y}}$La intersección de cualquiera de estas dos líneas con el círculo de Mohr es el polo. Una vez que se ha determinado el polo, para encontrar el estado de tensión en un plano que forma un ángulo${\displaystyle \theta }$con la vertical, o dicho de otro modo, un plano cuyo vector normal forma un ángulo${\displaystyle \theta }$Con el plano horizontal, podemos trazar una línea desde el polo paralela a dicho plano (véase la figura 7). Las tensiones normales y tangenciales en ese plano son entonces las coordenadas del punto de intersección entre la línea y el círculo de Mohr.

La orientación de los planos donde actúan las tensiones principales máxima y mínima, también conocidos como planos principales , se puede determinar midiendo en el círculo de Mohr los ángulos ∠BOC y ∠BOE, respectivamente, y tomando la mitad de cada uno de esos ángulos. Por lo tanto, el ángulo ∠BOC entre${\displaystyle {\overline {OB}}}$y${\displaystyle {\overline {OC}}}$es el doble del ángulo${\displaystyle \theta _{p}}$que el plano principal mayor forma con el plano${\displaystyle B}$.

Anglos${\displaystyle \theta _{p1}}$y${\displaystyle \theta _{p2}}$También se puede obtener a partir de la siguiente ecuación.

${\displaystyle \tan 2\theta _{\mathrm {p} }={\frac {2\tau _{xy}}{\sigma _{y}-\sigma _{x}}}}$

Esta ecuación define dos valores para${\displaystyle \theta _{\mathrm {p} }}$que son${\displaystyle 90^{\circ }}$aparte (Figura). Esta ecuación se puede derivar directamente de la geometría del círculo, o haciendo la ecuación paramétrica del círculo para${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }}$igual a cero (la tensión cortante en los planos principales siempre es cero).

Supongamos un elemento material sometido a un estado de tensión como se muestra en las figuras 8 y 9, con el plano de uno de sus lados orientado 10° con respecto al plano horizontal. Utilizando el círculo de Mohr, determine:

• La orientación de sus planos de acción.
• Las tensiones cortantes máximas y la orientación de sus planos de acción.
• Los componentes de tensión en un plano horizontal.

Comprueba las respuestas utilizando las fórmulas de transformación de tensiones o la ley de transformación de tensiones.

Solución: Siguiendo la convención de signos de la mecánica de ingeniería para el espacio físico (Figura 5), ​​los componentes de tensión para el elemento material en este ejemplo son:

${\displaystyle \sigma _{x'}=-10{\textrm {MPa}}}$

${\displaystyle \sigma _{y'}=50{\textrm {MPa}}}$

${\displaystyle \tau _{x'y'}=40{\textrm {MPa}}}$.

Siguiendo los pasos para dibujar el círculo de Mohr para este estado de tensión particular, primero dibujamos un sistema de coordenadas cartesianas.${\displaystyle (\sigma _{\mathrm {n} },\tau _{\mathrm {n} })}$con el${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }}$-eje hacia arriba.

Luego trazamos dos puntos A(50,40) y B(-10,-40), que representan el estado de tensión en los planos A y B como se muestra en las Figuras 8 y 9. Estos puntos siguen la convención de signos de la mecánica de ingeniería para el espacio del círculo de Mohr (Figura 5), ​​que supone tensiones normales positivas hacia afuera del elemento material y tensiones cortantes positivas en cada plano que rota el elemento material en sentido horario. De esta manera, la tensión cortante que actúa sobre el plano B es negativa y la tensión cortante que actúa sobre el plano A es positiva. El diámetro del círculo es la línea que une los puntos A y B. El centro del círculo es la intersección de esta línea con el${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}$Eje -. Conociendo tanto la ubicación del centro como la longitud del diámetro, podemos trazar el círculo de Mohr para este estado de tensión particular.

Las abscisas de ambos puntos E y C (Figura 8 y Figura 9) que se intersecan con el${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}$Los ejes x e y son las magnitudes de las tensiones normales mínima y máxima, respectivamente; las ordenadas de los puntos E y C son las magnitudes de las tensiones cortantes que actúan sobre los planos principales menor y mayor, respectivamente, siendo cero para los planos principales.

Aunque la idea de usar el círculo de Mohr es encontrar gráficamente diferentes componentes de tensión midiendo las coordenadas de diferentes puntos en el círculo, es más conveniente confirmar los resultados analíticamente. Por lo tanto, el radio y la abscisa del centro del círculo son

${\displaystyle {\begin{aligned}R&={\sqrt {\left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{xy}^{2}}}\\&={\sqrt {\left[{\tfrac {1}{2}}(-10-50)\right]^{2}+40^{2}}}\\&=50{\textrm {MPa}}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\mathrm {avg} }&={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})\\&={\tfrac {1}{2}}(-10+50)\\&=20{\textrm {MPa}}\\\end{aligned}}}$

y las tensiones principales son

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}&=\sigma _{\mathrm {avg} }+R\\&=70{\textrm {MPa}}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{2}&=\sigma _{\mathrm {avg} }-R\\&=-30{\textrm {MPa}}\\\end{aligned}}}$

Las coordenadas de los puntos H y G (Figura 8 y Figura 9) son las magnitudes de las tensiones cortantes mínima y máxima, respectivamente; las abscisas de los puntos H y G son las magnitudes de las tensiones normales que actúan en los mismos planos donde actúan las tensiones cortantes mínima y máxima, respectivamente. Las magnitudes de las tensiones cortantes mínima y máxima se pueden encontrar analíticamente mediante

${\displaystyle \tau _{\max ,\min }=\pm R=\pm 50{\textrm {MPa}}}$

y las tensiones normales que actúan en los mismos planos donde actúan las tensiones cortantes mínima y máxima son iguales a${\displaystyle \sigma _{\mathrm {avg} }}$

Podemos optar por utilizar el método del doble ángulo (Figura 8) o el método del polo (Figura 9) para encontrar la orientación de las tensiones normales principales y las tensiones cortantes principales.

Utilizando el método del ángulo doble, medimos los ángulos ∠BOC y ∠BOE en el círculo de Mohr (Figura 8) para hallar el doble del ángulo que forman la tensión principal mayor y la tensión principal menor con el plano B en el espacio físico. Para obtener un valor más preciso de estos ángulos, en lugar de medirlos manualmente, podemos utilizar la expresión analítica.

${\displaystyle {\begin{aligned}2\theta _{\mathrm {p} }=\arctan {\frac {2\tau _{xy}}{\sigma _{x}-\sigma _{y}}}=\arctan {\frac {2*40}{(-10-50)}}=-\arctan {\frac {4}{3}}\end{aligned}}}$

Una solución es:${\displaystyle 2\theta _{p}=-53.13^{\circ }}$. Al examinar la Figura 8, este valor corresponde al ángulo ∠BOE. Por lo tanto, el ángulo principal menor es

${\displaystyle \theta _{p2}=-26.565^{\circ }}$

Entonces, el ángulo principal mayor es

${\displaystyle {\begin{aligned}2\theta _{p1}&=180-53.13^{\circ }=126.87^{\circ }\\\theta _{p1}&=63.435^{\circ }\\\end{aligned}}}$

Recuerda que en este ejemplo en particular${\displaystyle \theta _{p1}}$y${\displaystyle \theta _{p2}}$son ángulos con respecto al plano de acción de${\displaystyle \sigma _{x'}}$(orientado en el${\displaystyle x'}$-eje) y no ángulos con respecto al plano de acción de${\displaystyle \sigma _{x}}$(orientado en el${\displaystyle x}$-eje).

Utilizando el método del polo, primero localizamos el polo u origen de los planos. Para ello, trazamos a través del punto A en el círculo de Mohr una línea inclinada 10° con respecto a la horizontal, o, en otras palabras, una línea paralela al plano A donde${\displaystyle \sigma _{y'}}$actúa. El Polo es donde esta línea interseca el círculo de Mohr (Figura 9). Para confirmar la ubicación del Polo, podríamos trazar una línea que pase por el punto B en el círculo de Mohr paralela al plano B donde${\displaystyle \sigma _{x'}}$actos. Esta línea también intersectaría el círculo de Mohr en el Polo (Figura 9).

Desde el Polo, trazamos líneas a diferentes puntos del círculo de Mohr. Las coordenadas de los puntos donde estas líneas intersecan el círculo de Mohr indican los componentes de tensión que actúan sobre un plano en el espacio físico que tiene la misma inclinación que la línea. Por ejemplo, la línea desde el Polo hasta el punto C en el círculo tiene la misma inclinación que el plano en el espacio físico donde${\displaystyle \sigma _{1}}$Actúa. Este plano forma un ángulo de 63,435° con el plano B, tanto en el espacio del círculo de Mohr como en el espacio físico. De la misma manera, se trazan líneas desde el Polo hasta los puntos E, D, F, G y H para hallar las componentes de tensión en planos con la misma orientación.