Teorema del área de momentos

El teorema del área de momentos es una herramienta de ingeniería para calcular la pendiente, la rotación y la deflexión de vigas y pórticos. Este teorema fue desarrollado por Mohr y posteriormente enunciado por Charles Ezra Greene en 1873. Este método resulta ventajoso al resolver problemas que involucran vigas, especialmente aquellas sometidas a una serie de cargas concentradas o que presentan segmentos con diferentes momentos de inercia .

El cambio de pendiente entre dos puntos cualesquiera de la curva elástica es igual al área del diagrama M/EI (momento) entre esos dos puntos.

${\displaystyle \theta _{B/A}={\int _{A}}^{B}\left({\frac {M}{EI}}\right)dx}$

dónde,

• ${\displaystyle M}$= momento
• ${\displaystyle EI}$= rigidez a la flexión
• ${\displaystyle \theta _{A/B}}$= cambio de pendiente entre los puntos A y B
• ${\displaystyle A,B}$= puntos en la curva elástica ^{[ 1 ]}

La desviación vertical de un punto A en una curva elástica con respecto a la tangente que parte de otro punto B es igual al momento del área bajo el diagrama M/EI entre esos dos puntos (A y B). Este momento se calcula con respecto al punto A, donde se desea determinar la desviación de B a A.

${\displaystyle t_{B/A}={\int _{A}}^{B}{\frac {M(x)}{E(x)I(x)}}x\;dx}$

dónde,

• ${\displaystyle M(x)}$= momento
• ${\displaystyle E(x)I(x)}$= rigidez a la flexión (a menudo constante, por lo que se escribe como:${\displaystyle EI}$)
• ${\displaystyle t_{A/B}}$= desviación de la tangente en el punto A con respecto a la tangente en el punto B
• ${\displaystyle A,B}$= puntos en la curva elástica ^{[ 2 ]}

La desviación en cualquier punto de la curva elástica es positiva si el punto se encuentra por encima de la tangente, negativa si el punto está por debajo de la tangente; la medimos desde la tangente izquierda, si θ es en sentido antihorario, el cambio de pendiente es positivo, negativo si θ es en sentido horario. ^{[ 3 ]}

El siguiente procedimiento proporciona un método que puede utilizarse para determinar el desplazamiento y la pendiente en un punto de la curva elástica de una viga utilizando el teorema del área de momentos.

• Determinar las fuerzas de reacción de una estructura y dibujar el diagrama M/EI de la misma.
• Si solo hay cargas concentradas en la estructura, será fácil dibujar el diagrama M/EI, que dará como resultado una serie de formas triangulares.
• Si se combinan cargas distribuidas y concentradas, el diagrama de momentos (M/EI) dará como resultado curvas parabólicas, cúbicas, etc.
• Luego, suponga y dibuje la forma de deflexión de la estructura observando el diagrama M/EI.
• Calcula las rotaciones, los cambios de pendiente y las deflexiones de la estructura utilizando las matemáticas geométricas.

• Método del área-momento. (s.f.)