Método de distribución de momentos

Los momentos de empotramiento son los momentos producidos en los extremos de los elementos por cargas externas. El cálculo longitudinal se realiza asumiendo que cada apoyo es fijo e implementando fórmulas según la naturaleza de la carga, es decir, carga puntual (en el centro del tramo o desigual), carga uniformemente distribuida (CUD), carga uniformemente distribuida (CUV) o carga de acoplamiento.

La rigidez a la flexión (EI/L) de un elemento se representa como la rigidez flexional del elemento (producto del módulo de elasticidad (E) y el momento de inercia (I)) dividida por la longitud (L) del elemento. En el método de distribución de momentos, lo que se necesita no son los valores específicos, sino las relaciones de rigidez a la flexión entre todos los elementos.

Cuando una junta se libera y comienza a girar bajo el momento desequilibrado, se desarrollan fuerzas resistentes en cada elemento unido en la junta. Aunque la resistencia total es igual al momento desequilibrado, las magnitudes de las fuerzas resistentes desarrolladas en cada elemento difieren según la rigidez a la flexión de los elementos. Los factores de distribución se pueden definir como las proporciones de los momentos desequilibrados soportados por cada uno de los elementos. En términos matemáticos, el factor de distribución de un elemento${\displaystyle k}$enmarcado en la junta${\displaystyle j}$se da como:

${\displaystyle D_{jk}={\frac {\frac {E_{k}I_{k}}{L_{k}}}{\sum _{i=1}^{i=n}{\frac {E_{i}I_{i}}{L_{i}}}}}}$

donde n es el número de elementos unidos en la junta.

Cuando se libera una articulación, se produce un momento de equilibrio que contrarresta el momento desequilibrado. Inicialmente, este momento de equilibrio es igual al momento en el extremo fijo. Dicho momento se transfiere al otro extremo del elemento. La relación entre el momento transferido en el otro extremo y el momento en el extremo fijo inicial se denomina factor de transferencia.

Una vez elegida una convención de signos, esta debe mantenerse para toda la estructura. La convención de signos tradicional de ingeniería no se utiliza en los cálculos del método de distribución de momentos, aunque los resultados pueden expresarse de la forma convencional. En el caso del método de distribución de momentos, el momento del lado izquierdo tiene sentido horario y el del otro lado sentido antihorario, por lo que la flexión es positiva y se denomina flecha.

Las estructuras reticuladas, con o sin desplazamiento lateral, pueden analizarse utilizando el método de distribución de momentos.

${\displaystyle M_{AB}^{f}=-{\frac {Pb^{2}a}{L^{2}}}=-{\frac {10\times 7^{2}\times 3}{10^{2}}}=-14.700\ kN\cdot m}$

${\displaystyle M_{BA}^{f}={\frac {Pa^{2}b}{L^{2}}}={\frac {10\times 3^{2}\times 7}{10^{2}}}=+6.300\ kN\cdot m}$

${\displaystyle M_{BC}^{f}=-{\frac {qL^{2}}{12}}=-{\frac {1\times 10^{2}}{12}}=-8.333\ kN\cdot m}$

${\displaystyle M_{CB}^{f}={\frac {qL^{2}}{12}}={\frac {1\times 10^{2}}{12}}=+8.333\ kN\cdot m}$

${\displaystyle M_{CD}^{f}=-{\frac {PL}{8}}=-{\frac {10\times 10}{8}}=-12.500\ kN\cdot m}$

${\displaystyle M_{DC}^{f}={\frac {PL}{8}}={\frac {10\times 10}{8}}=+12.500\ kN\cdot m}$

La rigidez a la flexión de los elementos AB, BC y CD es${\displaystyle {\frac {3EI}{L}}}$,${\displaystyle {\frac {4\times 2EI}{L}}}$y${\displaystyle {\frac {4EI}{L}}}$, respectivamente . Por lo tanto, expresando los resultados en notación decimal periódica :

${\displaystyle D_{BA}={\frac {\frac {3EI}{L}}{{\frac {3EI}{L}}+{\frac {4\times 2EI}{L}}}}={\frac {\frac {3}{10}}{{\frac {3}{10}}+{\frac {8}{10}}}}={\frac {3}{11}}=0.(27)}$

${\displaystyle D_{BC}={\frac {\frac {4\times 2EI}{L}}{{\frac {3EI}{L}}+{\frac {4\times 2EI}{L}}}}={\frac {\frac {8}{10}}{{\frac {3}{10}}+{\frac {8}{10}}}}={\frac {8}{11}}=0.(72)}$

${\displaystyle D_{CB}={\frac {\frac {4\times 2EI}{L}}{{\frac {4\times 2EI}{L}}+{\frac {4EI}{L}}}}={\frac {\frac {8}{10}}{{\frac {8}{10}}+{\frac {4}{10}}}}={\frac {8}{12}}=0.(66)}$

${\displaystyle D_{CD}={\frac {\frac {4EI}{L}}{{\frac {4\times 2EI}{L}}+{\frac {4EI}{L}}}}={\frac {\frac {4}{10}}{{\frac {8}{10}}+{\frac {4}{10}}}}={\frac {4}{12}}=0.(33)}$

Los factores de distribución de las articulaciones A y D son${\displaystyle D_{AB}=1}$y${\displaystyle D_{DC}=0}$.

Los factores de arrastre son${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$, excepto por el factor de arrastre de D (soporte fijo) a C, que es cero.

Los números en gris son momentos equilibrados; las flechas (  →  /  ←  ) representan la transferencia de momento de un extremo al otro de un elemento.

• Paso 1: Al liberarse la articulación A, se equilibra un momento de magnitud igual al momento del extremo fijo.${\displaystyle M_{AB}^{f}=14,700\mathrm {\,kN\,m} }$Se desarrolla y se transmite de la articulación A a la articulación B.
• Paso 2: El momento desequilibrado en la articulación B ahora es la suma de los momentos de los extremos fijos.${\displaystyle M_{BA}^{f}}$,${\displaystyle M_{BC}^{f}}$y el momento de arrastre de la junta A. Este momento desequilibrado se distribuye a los elementos BA y BC de acuerdo con los factores de distribución.${\displaystyle D_{BA}=0.2727}$y${\displaystyle D_{BC}=0.7273}$El paso 2 finaliza con el traspaso del momento equilibrado.${\displaystyle M_{BC}=3.867\mathrm {\,kN\,m} }$a la articulación C. La articulación A es un soporte de rodillo que no tiene restricción de rotación, por lo que la transferencia de momento de la articulación B a la articulación A es cero.
• Paso 3: El momento desequilibrado en la articulación C ahora es la suma de los momentos de los extremos fijos.${\displaystyle M_{CB}^{f}}$,${\displaystyle M_{CD}^{f}}$y el momento de arrastre de la articulación B. Al igual que en el paso anterior, este momento desequilibrado se distribuye a cada elemento y luego se transfiere a la articulación D y de vuelta a la articulación B. La articulación D es un apoyo fijo y los momentos transferidos a esta articulación no se distribuirán ni se transferirán a la articulación C.
• Paso 4: La articulación B aún tiene un momento equilibrado que se transfirió desde la articulación C en el paso 3. La articulación B se libera una vez más para inducir la distribución del momento y lograr el equilibrio.
• Pasos 5 a 10: Las articulaciones se liberan y se vuelven a fijar hasta que cada una tenga momentos desequilibrados de magnitud cero o despreciablemente pequeños en la precisión requerida. La suma aritmética de todos los momentos en cada columna correspondiente proporciona los valores finales de los momentos.

• Momentos en las uniones determinados por el método de distribución de momentos.

${\displaystyle M_{A}=0\ kN\cdot m}$

${\displaystyle M_{B}=-11.569\ kN\cdot m}$

${\displaystyle M_{C}=-10.186\ kN\cdot m}$

${\displaystyle M_{D}=-13.657\ kN\cdot m}$

Aquí se utiliza la convención de signos convencional de la ingeniería, es decir, los momentos positivos provocan un alargamiento en la parte inferior de un elemento de viga.

A modo de comparación, a continuación se muestran los resultados generados mediante un método matricial . Cabe destacar que, en el análisis anterior, el proceso iterativo se llevó a cabo con una precisión superior a 0,01. La coincidencia entre los resultados del análisis matricial y los del análisis de distribución de momentos con una precisión de 0,001 es pura casualidad.

• Momentos en las uniones determinados por el método matricial.

${\displaystyle M_{A}=0\ kN\cdot m}$

${\displaystyle M_{B}=-11.569\ kN\cdot m}$

${\displaystyle M_{C}=-10.186\ kN\cdot m}$

${\displaystyle M_{D}=-13.657\ kN\cdot m}$

Cabe señalar que el método de distribución de momentos solo determina los momentos en las uniones. Para elaborar diagramas completos de momentos flectores se requieren cálculos adicionales utilizando los momentos determinados en las uniones y el equilibrio de la sección interna.

Dado que el método de Hardy Cross solo proporciona resultados aproximados, con un margen de error inversamente proporcional al número de iteraciones, es importante tener una idea de su precisión. Teniendo esto en cuenta, aquí se muestra el resultado obtenido mediante un método exacto: el método de rigidez directa (método de desplazamiento).

Para ello, la ecuación del método de desplazamientos adopta la siguiente forma:

${\displaystyle \left[K\right]\left\{d\right\}=\left\{-f\right\}}$

Para la estructura descrita en este ejemplo, la matriz de rigidez es la siguiente:

${\displaystyle \left[K\right]={\begin{bmatrix}3{\frac {EI}{L}}+4{\frac {2EI}{L}}&2{\frac {2EI}{L}}\\2{\frac {2EI}{L}}&4{\frac {2EI}{L}}+4{\frac {EI}{L}}\end{bmatrix}}}$

El vector de fuerza nodal equivalente:

${\displaystyle \left\{f\right\}^{T}=\left\{-P{\frac {ab(L+a)}{2L^{2}}}+q{\frac {L^{2}}{12}},-q{\frac {L^{2}}{12}}+P{\frac {L}{8}}\right\}}$

Sustituyendo los valores presentados anteriormente en la ecuación y resolviéndola para${\displaystyle \left\{d\right\}}$conduce al siguiente resultado:

${\displaystyle \left\{d\right\}^{T}=\left\{6.9368;-5.7845\right\}}$

Por lo tanto, los momentos evaluados en el nodo B son los siguientes:

${\displaystyle M_{BA}=3{\frac {EI}{L}}d_{1}-P{\frac {ab(L+a)}{2L^{2}}}=-11.569}$

${\displaystyle M_{BC}=-4{\frac {2EI}{L}}d_{1}-2{\frac {2EI}{L}}d_{2}-q{\frac {L^{2}}{12}}=-11.569}$

Los momentos evaluados en el nodo C son los siguientes:

${\displaystyle M_{CB}=2{\frac {2EI}{L}}d_{1}+4{\frac {2EI}{L}}d_{2}-q{\frac {L^{2}}{12}}=-10.186}$

${\displaystyle M_{CD}=-4{\frac {EI}{L}}d_{2}-P{\frac {L}{8}}=-10.186}$