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Articulo de referencia

Cuatro momentos

En la relatividad especial , el cuadrimomento (también llamado momento-energía o momento-energía [ 1 ] ) es la generalización del momento tridimensional clásico al espaciotiempo...

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En la relatividad especial , el cuadrimomento (también llamado momento-energía o momento-energía [ 1 ] ) es la generalización del momento tridimensional clásico al espaciotiempo de cuatro dimensiones . El momento es un vector en tres dimensiones ; de manera similar, el cuadrimomento es un cuadrivector en el espaciotiempo . El cuadrimomento contravariante de una partícula con energía relativista E y momento tridimensional p = ( p x , p y , p z ) = γm v , donde v es la velocidad tridimensional de la partícula y γ el factor de Lorentz , es pag=(pag0,pag1,pag2,pag3)=(mido,pagincógnita,pagy,pagz).{\displaystyle p=\left(p^{0},p^{1},p^{2},p^{3}\right)=\left({\frac {E}{c}},p_{x},p_{y},p_{z}\right).}

La cantidad m v mencionada anteriormente es el momento no relativista ordinario de la partícula y m su masa en reposo . El cuadrimomento es útil en cálculos relativistas porque es un vector covariante de Lorentz . Esto significa que es fácil seguir su evolución bajo transformaciones de Lorentz .

norma de Minkowski

Calcular el cuadrado de la norma de Minkowski del cuadrimomento da una cantidad invariante de Lorentz igual (salvo factores de la velocidad de la luz c ) al cuadrado de la masa propia de la partícula :

pag⋅pag=ημνpagμpagν=pagνpagν=−mi2do2+|pag|2=−metro2do2{\displaystyle p\cdot p=\eta _{\mu \nu }p^{\mu }p^{\nu }=p_{\nu }p^{\nu }=-{E^{2} \over c^{2}}+|\mathbf {p} |^{2}=-m^{2}c^{2}}donde lo siguiente denota:

pag{\textstyle p}, el vector de cuadrimomento de una partícula,

pag⋅pag{\textstyle p\cdot p}, el producto interno de Minkowski del cuadrimomento consigo mismo,

pagμ{\textstyle p^{\mu }}ypagν{\textstyle p^{\nu }}, las componentes contravariantes del vector de cuadrimomento,

pagν{\textstyle p_{\nu }}, la forma covariante,

mi{\textstyle E}, la energía de la partícula,

do{\textstyle c}, la velocidad de la luz,

|pag|{\textstyle |\mathbf {p} |}, la magnitud del vector de cuadrimomento,

metro{\textstyle m}, la masa invariante (en reposo) de la partícula,

yημν=(−1000010000100001){\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}es el tensor métrico de la relatividad especial con signatura métrica para mayor definición, elegida como (–1, 1, 1, 1) . La negatividad de la norma refleja que el momento es un cuadrivector de tipo temporal para partículas masivas. La otra elección de signatura invertiría los signos en ciertas fórmulas (como en el caso de la norma aquí). Esta elección no es crucial, pero una vez realizada, debe mantenerse para garantizar la coherencia.

La norma de Minkowski es invariante de Lorentz, lo que significa que su valor no cambia al aplicar transformaciones de Lorentz o transformaciones de Lorentz a diferentes sistemas de referencia. En términos más generales, para cualesquiera dos cuadrimomentos p y q , la cantidad p ⋅ q es invariante.

Relación con la cuadrivelocidad

Para una partícula masiva, el cuadrimomento viene dado por la masa invariante de la partícula m multiplicada por la cuadrivelocidad de la partícula , pagμ=metrotúμ,{\displaystyle p^{\mu }=mu^{\mu },} donde la cuadrivelocidad u estú=(tú0,tú1,tú2,tú3)=γv(do,vincógnita,vy,vz),{\displaystyle u=\left(u^{0},u^{1},u^{2},u^{3}\right)=\gamma _{v}\left(c,v_{x},v_{y},v_{z}\right),}yγv:=11−v2do2{\displaystyle \gamma _{v}:={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}es el factor de Lorentz (asociado con la velocidad)v{\displaystyle v}), c es la velocidad de la luz .

Derivación

Hay varias maneras de llegar a la expresión correcta para el cuadrimomento. Una manera es definir primero la cuadrivelocidad u = dx / dτ y simplemente definir p = mu , contentándose de que es un cuadrivector con las unidades correctas y el comportamiento correcto. Otro enfoque, más satisfactorio, es comenzar con el principio de mínima acción y usar el marco lagrangiano para derivar el cuadrimomento, incluyendo la expresión para la energía. [ 2 ] Se puede de inmediato, usando las observaciones detalladas a continuación, definir el cuadrimomento a partir de la acción S . Dado que en general para un sistema cerrado con coordenadas generalizadas q i y momentos canónicos p i , [ 3 ]pagi=∂S∂qi=∂S∂incógnitai,mi=−∂S∂t=−do⋅∂S∂incógnita0,{\displaystyle p_{i}={\frac {\partial S}{\partial q_{i}}}={\frac {\partial S}{\partial x_{i}}},\quad E=-{\frac {\partial S}{\partial t}}=-c\cdot {\frac {\partial S}{\partial x^{0}}},}Es inmediato (recordando que x 0 = ct , x 1 = x , x 2 = y , x 3 = z y x 0 = − x 0 , x 1 = x 1 , x 2 = x 2 , x 3 = x 3 en la convención métrica actual) quepagμ=∂S∂incógnitaμ=(−mido,pag){\displaystyle p_{\mu }={\frac {\partial S}{\partial x^{\mu }}}=\left(-{E \over c},\mathbf {p} \right)} es un cuadrivector covariante, cuya parte trivectorial es el momento canónico.

Observaciones

Consideremos inicialmente un sistema de un grado de libertad q . En la derivación de las ecuaciones de movimiento a partir de la acción utilizando el principio de Hamilton , se encuentra (generalmente) en una etapa intermedia para la variación de la acción, δS=[∂L∂q˙δq]|t1t2+∫t1t2(∂L∂q−ddt∂L∂q˙)δqdt.{\displaystyle \delta S=\left.\left[{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\delta q\right]\right|_{t_{1}}^{t_{2}}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left({\frac {\partial L}{\partial q}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta qdt.}

La suposición es entonces que las trayectorias variadas satisfacen δq ( t 1 ) = δq ( t 2 ) = 0 , de donde se derivan inmediatamente las ecuaciones de Lagrange . Cuando se conocen las ecuaciones de movimiento (o simplemente se supone que se satisfacen), se puede prescindir del requisito δq ( t 2 ) = 0 . En este caso, se supone que la trayectoria satisface las ecuaciones de movimiento, y la acción es una función del límite superior de integración δq ( t 2 ) , pero t 2 sigue fijo. La ecuación anterior se convierte en con S = S ( q ) , y definiendo δq ( t 2 ) = δq , y permitiendo más grados de libertad, δS=∑i∂L∂q˙iδqi=∑ipagiδqi.{\displaystyle \delta S=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\delta q_{i}=\sum _{i}p_{i}\delta q_{i}.}

Observando que δS=∑i∂S∂qiδqi,{\displaystyle \delta S=\sum _{i}{\frac {\partial S}{\partial {q}_{i}}}\delta q_{i},} uno concluye pagi=∂S∂qi.{\displaystyle p_{i}={\frac {\partial S}{\partial q_{i}}}.}

De manera similar, mantenga fijos los puntos extremos, pero deje que varíe t 2 = t . Esta vez, se permite que el sistema se mueva a través del espacio de configuración a "velocidad arbitraria" o con "más o menos energía", se sigue asumiendo que las ecuaciones de campo se cumplen y se puede realizar una variación en la integral, pero en su lugar observe dSdt=L{\displaystyle {\frac {dS}{dt}}=L} por el teorema fundamental del cálculo . Calcula usando la expresión anterior para momentos canónicos, dSdt=∂S∂t+∑i∂S∂qiq˙i=∂S∂t+∑ipagiq˙i=L.{\displaystyle {\frac {dS}{dt}}={\frac {\partial S}{\partial t}}+\sum _{i}{\frac {\partial S}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}={\frac {\partial S}{\partial t}}+\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}=L.}

Ahora usando H=∑ipagiq˙i−L,{\displaystyle H=\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}-L,} donde H es el hamiltoniano , conduce a, puesto que E = H en el presente caso, mi=H=−∂S∂t.{\displaystyle E=H=-{\frac {\partial S}{\partial t}}.}

Por cierto, al usar H = H ( q , p , t ) con p = ⁠ ∂ S / ∂ q ⁠ en la ecuación anterior se obtienen las ecuaciones de Hamilton-Jacobi . En este contexto, S se denomina función principal de Hamilton .

La acción S viene dada por S=−metrodo∫ds=∫Ldt,L=−metrodo21−v2do2,{\displaystyle S=-mc\int ds=\int Ldt,\quad L=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}},} donde L es el lagrangiano relativista para una partícula libre. A partir de esto,

pasando por alto estos detalles,

La variación de la acción es δS=−metrodo∫δds.{\displaystyle \delta S=-mc\int \delta ds.}

Para calcular δds , observe primero que δds 2 = 2 dsδds y que δds2=δημνdincógnitaμdincógnitaν=ημν(δ(dincógnitaμ)dincógnitaν+dincógnitaμδ(dincógnitaν))=2ημνδ(dincógnitaμ)dincógnitaν.{\displaystyle \delta ds^{2}=\delta \eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=\eta _{\mu \nu }\left(\delta \left(dx^{\mu }\right)dx^{\nu }+dx^{\mu }\delta \left(dx^{\nu }\right)\right)=2\eta _{\mu \nu }\delta \left(dx^{\mu }\right)dx^{\nu }.}

Entonces δds=ημνδdincógnitaμdincógnitaνds=ημνdδincógnitaμdincógnitaνds,{\displaystyle \delta ds=\eta _{\mu \nu }\delta dx^{\mu }{\frac {dx^{\nu }}{ds}}=\eta _{\mu \nu }d\delta x^{\mu }{\frac {dx^{\nu }}{ds}},} o δds=ημνdδincógnitaμdτdincógnitaνdodτdτ,{\displaystyle \delta ds=\eta _{\mu \nu }{\frac {d\delta x^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{cd\tau }}d\tau ,} y por lo tanto δS=−metro∫ημνdδincógnitaμdτdincógnitaνdτdτ=−metro∫ημνdδincógnitaμdτtúνdτ=−metro∫ημν[ddτ(δincógnitaμtúν)−δincógnitaμddτtúν]dτ{\displaystyle \delta S=-m\int \eta _{\mu \nu }{\frac {d\delta x^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}d\tau =-m\int \eta _{\mu \nu }{\frac {d\delta x^{\mu }}{d\tau }}u^{\nu }d\tau =-m\int \eta _{\mu \nu }\left[{\frac {d}{d\tau }}\left(\delta x^{\mu }u^{\nu }\right)-\delta x^{\mu }{\frac {d}{d\tau }}u^{\nu }\right]d\tau } que es simplemente δS=[−metrotúμδincógnitaμ]t1t2+metro∫t1t2δincógnitaμdtúμdsds{\displaystyle \delta S=\left[-mu_{\mu }\delta x^{\mu }\right]_{t_{1}}^{t_{2}}+m\int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta x^{\mu }{\frac {du_{\mu }}{ds}}ds}

δS=[−metrotúμδincógnitaμ]t1t2+metro∫t1t2δincógnitaμdtúμdsds=−metrotúμδincógnitaμ=∂S∂incógnitaμδincógnitaμ=−pagμδincógnitaμ,{\displaystyle \delta S=\left[-mu_{\mu }\delta x^{\mu }\right]_{t_{1}}^{t_{2}}+m\int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta x^{\mu }{\frac {du_{\mu }}{ds}}ds=-mu_{\mu }\delta x^{\mu }={\frac {\partial S}{\partial x^{\mu }}}\delta x^{\mu }=-p_{\mu }\delta x^{\mu },}

donde el segundo paso emplea las ecuaciones de campo du μ / ds = 0 , ( δx μ ) t 1 = 0 , y ( δx μ ) t 2 ≡ δx μ como en las observaciones anteriores. Ahora compare las últimas tres expresiones para encontrar pagμ=∂μ[S]=∂S∂incógnitaμ=metrotúμ=metro(do1−v2do2,vincógnita1−v2do2,vy1−v2do2,vz1−v2do2),{\displaystyle p^{\mu }=\partial ^{\mu }[S]={\frac {\partial S}{\partial x_{\mu }}}=mu^{\mu }=m\left({\frac {c}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},{\frac {v_{x}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},{\frac {v_{y}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},{\frac {v_{z}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\right),} con norma − m 2 c 2 , y el famoso resultado para la energía relativista,

mi=metrodo21−v2do2=metrordo2,{\displaystyle E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=m_{r}c^{2},}

donde m r es la masa relativista ahora pasada de moda , sigue. Al comparar directamente las expresiones para el momento y la energía, se tiene

pag=mivdo2,{\displaystyle \mathbf {p} =E{\frac {\mathbf {v} }{c^{2}}},}

Esto también se cumple para partículas sin masa. Elevando al cuadrado las expresiones para la energía y el momento tridimensional y relacionándolas se obtiene la relación energía-momento ,

mi2do2=pag⋅pag+metro2do2.{\displaystyle {\frac {E^{2}}{c^{2}}}=\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} +m^{2}c^{2}.}

Sustituyendo pagμ↔−∂S∂incógnitaμ{\displaystyle p_{\mu }\leftrightarrow -{\frac {\partial S}{\partial x^{\mu }}}} en la ecuación para la norma da la ecuación relativista de Hamilton-Jacobi , [ 4 ]

ημν∂S∂incógnitaμ∂S∂incógnitaν=−metro2do2.{\displaystyle \eta ^{\mu \nu }{\frac {\partial S}{\partial x^{\mu }}}{\frac {\partial S}{\partial x^{\nu }}}=-m^{2}c^{2}.}

También es posible derivar los resultados directamente del lagrangiano. Por definición, [ 5 ]pag=∂L∂v=(∂L∂incógnita˙,∂L∂y˙,∂L∂z˙)=metro(γvincógnita,γvy,γvz)=metroγv=metrotú,mi=pag⋅v−L=metrodo21−v2do2,{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} &={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} }}=\left({\partial L \over \partial {\dot {x}}},{\partial L \over \partial {\dot {y}}},{\partial L \over \partial {\dot {z}}}\right)=m(\gamma v_{x},\gamma v_{y},\gamma v_{z})=m\gamma \mathbf {v} =m\mathbf {u} ,\\[3pt]E&=\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} -L={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},\end{aligned}}} que constituyen las fórmulas estándar para el momento y la energía canónicos de un sistema cerrado (lagrangiano independiente del tiempo). Con este enfoque, no queda tan claro que la energía y el momento formen parte de un cuadrivector.

La energía y el momento tridimensional se conservan por separado para sistemas aislados en el marco lagrangiano. Por lo tanto, el momento cuadridimensional también se conserva. Más información a continuación.

Los enfoques más sencillos incluyen el comportamiento esperado en electrodinámica. [ 6 ] En este enfoque, el punto de partida es la aplicación de la ley de fuerza de Lorentz y la segunda ley de Newton en el sistema de referencia de la partícula. Las propiedades de transformación del tensor del campo electromagnético, incluida la invariancia de la carga eléctrica , se utilizan para transformarlo al sistema de referencia del laboratorio, y la expresión resultante (nuevamente la ley de fuerza de Lorentz) se interpreta en el espíritu de la segunda ley de Newton, lo que lleva a la expresión correcta para el momento tridimensional relativista. La desventaja, por supuesto, es que no está inmediatamente claro que el resultado se aplique a todas las partículas, estén cargadas o no, y que no produce el cuadrivector completo.

También es posible evitar el electromagnetismo y utilizar experimentos mentales bien diseñados que involucren a físicos bien entrenados lanzando bolas de billar, utilizando el conocimiento de la fórmula de suma de velocidades y asumiendo la conservación del momento. [ 7 ] [ 8 ] Esto también proporciona solo la parte tridimensional.

Conservación del cuadrimomento

Como se muestra arriba, existen tres leyes de conservación (no independientes, las dos últimas implican la primera y viceversa):

  • El cuadrimomento p (ya sea covariante o contravariante) se conserva.
  • La energía total E = p 0 c se conserva.
  • El momento del espacio tridimensionalpag=(pag1,pag2,pag3){\displaystyle \mathbf {p} =\left(p^{1},p^{2},p^{3}\right)}se conserva (no confundir con el momento clásico no relativista)metrov{\displaystyle m\mathbf {v} }).

Nótese que la masa invariante de un sistema de partículas puede ser mayor que la suma de las masas en reposo de las partículas, ya que la energía cinética en el sistema de referencia del centro de masas y la energía potencial de las fuerzas entre las partículas contribuyen a la masa invariante. Como ejemplo, dos partículas con cuadrimomentos (5 GeV/ c , 4 GeV/ c , 0, 0) y (5 GeV/ c , -4 GeV/ c , 0, 0) tienen cada una una masa (en reposo) de 3 GeV  / c² por separado, pero su masa total (la masa del sistema) es de 10 GeV/ c² . Si estas partículas colisionaran y se adhirieran, la masa del objeto compuesto sería de 10 GeV / c² .  

Una aplicación práctica de la física de partículas de la conservación de la masa invariante consiste en combinar los cuadrimomentos p A y p B de dos partículas hijas producidas en la desintegración de una partícula más pesada con el cuadrimomento p C para hallar la masa de la partícula más pesada. La conservación del cuadrimomento da p C μ = p A μ + p B μ , mientras que la masa M de la partícula más pesada viene dada por − P C ⋅ P C = M 2 c 2 . Midiendo las energías y los 3momentos de las partículas hijas, se puede reconstruir la masa invariante del sistema de dos partículas, que debe ser igual a M . Esta técnica se utiliza, por ejemplo, en búsquedas experimentales de bosones Z′ en colisionadores de partículas de alta energía , donde el bosón Z′ aparecería como un pico en el espectro de masa invariante de pares electrón - positrón o muón -antimuón.

Si la masa de un objeto no cambia, el producto interno de Minkowski de su cuadrimomento y su correspondiente cuadriaceleración A μ es simplemente cero. La cuadriaceleración es proporcional a la derivada temporal propia del cuadrimomento dividida por la masa de la partícula, por lo quepagμAμ=ημνpagμAν=ημνpagμddτpagνmetro=12metroddτpag⋅pag=12metroddτ(−metro2do2)=0.{\displaystyle p^{\mu }A_{\mu }=\eta _{\mu \nu }p^{\mu }A^{\nu }=\eta _{\mu \nu }p^{\mu }{\frac {d}{d\tau }}{\frac {p^{\nu }}{m}}={\frac {1}{2m}}{\frac {d}{d\tau }}p\cdot p={\frac {1}{2m}}{\frac {d}{d\tau }}\left(-m^{2}c^{2}\right)=0.}

Momento canónico en presencia de un potencial electromagnético

Para una partícula cargada de carga q , que se mueve en un campo electromagnético dado por el cuadripotencial electromagnético :A=(A0,A1,A2,A3)=(ϕdo,Aincógnita,Ay,Az){\displaystyle A=\left(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3}\right)=\left({\phi \over c},A_{x},A_{y},A_{z}\right)} donde ϕ es el potencial escalar y A = ( A x , A y , A z ) el potencial vectorial , las componentes del cuadrivector de momento canónico (no invariante de gauge ) P sonPAGμ=pagμ+qAμ.{\displaystyle P^{\mu }=p^{\mu }+qA^{\mu }.}

Esto, a su vez, permite incorporar de forma compacta, en la mecánica cuántica relativista , la energía potencial de la partícula cargada en un potencial electrostático y la fuerza de Lorentz sobre la partícula cargada que se mueve en un campo magnético.

Cuatro momentos en el espacio-tiempo curvo

En el caso de que exista un sistema físico en movimiento con una distribución continua de materia en un espacio-tiempo curvo, la expresión primaria para el cuadrimomento es un cuadrivector con índice covariante: [ 9 ]

PAGμ=(mido,−PAG).{\displaystyle P_{\mu }=\left({\frac {E}{c}},-\mathbf {P} \right).}

Cuatro momentosPAGμ{\displaystyle P_{\mu }}se expresa a través de la energíami{\displaystyle E}del sistema físico y momento relativistaPAG{\displaystyle \mathbf {P} }. Al mismo tiempo, el cuadrimomentoPAGμ{\displaystyle P_{\mu }}puede representarse como la suma de dos cuadrivectores no locales de tipo entero:

PAGμ=pagμ+Kμ.{\displaystyle P_{\mu }=p_{\mu }+K_{\mu }.}

Cuatro vectorespagμ{\displaystyle p_{\mu }}es el cuadrimomento generalizado asociado a la acción de los campos sobre las partículas; cuadrivectorKμ{\displaystyle K_{\mu }}es el cuadrimomento de los campos que surge de la acción de las partículas sobre los campos.

Energíami{\displaystyle E}y el impulsoPAG{\displaystyle \mathbf {P} }, así como componentes de cuadrivectorespagμ{\displaystyle p_{\mu }}yKμ{\displaystyle K_{\mu }}se puede calcular si la densidad lagrangianaL=Lpag+LF{\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{p}+{\mathcal {L}}_{f}}Se da la energía del sistema. Se obtienen las siguientes fórmulas para la energía y el momento del sistema:

mi=∫V∂∂v(Lpagtú0)⋅vtú0−gramodincógnita1dincógnita2dincógnita3−∫V(Lpag+LF)−gramodincógnita1dincógnita2dincógnita3+∑norte=1norte(vnorte⋅∂LF∂vnorte).{\displaystyle E=\int _{V}{\frac {\partial }{\partial \mathbf {v} }}\left({\frac {{\mathcal {L}}_{p}}{u^{0}}}\right)\cdot \mathbf {v} u^{0}{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}-\int _{V}\left({\mathcal {L}}_{p}+{\mathcal {L}}_{f}\right){\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}+\sum _{n=1}^{N}\left(\mathbf {v} _{n}\cdot {\frac {\partial L_{f}}{\partial \mathbf {v} _{n}}}\right).}
PAG=∫V∂∂v(Lpagtú0)tú0−gramodincógnita1dincógnita2dincógnita3+∑norte=1norte∂LF∂vnorte.{\displaystyle \mathbf {P} =\int _{V}{\frac {\partial }{\partial \mathbf {v} }}\left({\frac {{\mathcal {L}}_{p}}{u^{0}}}\right)u^{0}{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}+\sum _{n=1}^{N}{\frac {\partial L_{f}}{\partial \mathbf {v} _{n}}}.}

AquíLpag{\displaystyle {\mathcal {L}}_{p}}es aquella parte de la densidad lagrangiana que contiene términos con cuatro corrientes;v{\displaystyle \mathbf {v} }es la velocidad de las partículas de materia;tú0{\displaystyle u^{0}}es el componente temporal de la cuadrivelocidad de las partículas;gramo{\displaystyle g}es determinante del tensor métrico;LF=∫VLF−gramodincógnita1dincógnita2dincógnita3{\displaystyle L_{f}=\int _{V}{\mathcal {L}}_{f}{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}es la parte del lagrangiano asociada con la densidad lagrangianaLF{\displaystyle {\mathcal {L}}_{f}};vnorte{\displaystyle \mathbf {v} _{n}}es la velocidad de una partícula de materia con númeronorte{\displaystyle n}.

Véase también

Referencias

  1. ↑ Taylor, Edwin; Wheeler, John (1992). Introducción a la física del espacio-tiempo y la relatividad especial . Nueva York: WH Freeman and Company. pág.  191. ISBN 978-0-7167-2327-1.
  2. ↑ Landau y Lifshitz 2000 , págs. 25–29 
  3. ↑ Landau y Lifshitz 1975 , págs. 139 
  4. ↑ Landau y Lifshitz 1975 , pág. 30 
  5. ↑ Landau y Lifshitz 1975 , págs. 15-16 
  6. ↑ Sard 1970 , Sección 3.1
  7. ↑ Sard 1970 , Sección 3.2
  8. ↑ Lewis & Tolman 1909 Versión de Wikisource
  9. ↑ Fedosin, Sergey G. (18 de abril de 2024). "¿Qué debemos entender por el cuadrimomento de un sistema físico?". Physica Scripta . 99 (5): 055034. arXiv : 2410.07284 . Bibcode : 2024PhyS...99e5034F . doi : 10.1088/1402-4896/ad3b45 . S2CID 268967902 . 
  • Goldstein, Herbert (1980). Mecánica clásica (2.ª  ed.). Reading, Mass.: Addison–Wesley Pub. Co. ISBN 978-0201029185.
  • Landau, LD ; Lifshitz, EM (1975) [1939]. Mecánica . Traducido del ruso por JB Sykes y JS Bell . (3.ª  ed.). Ámsterdam: Elsevier. ISBN 978-0-7506-28969.
  • Landau, LD; Lifshitz, EM (2000). La teoría clásica de los cuerpos . Traducido por Morton Hamermesh . 4.ª edición revisada en inglés, reimpresa con correcciones. Oxford: Butterworth Heinemann. ISBN 9780750627689.
  • Rindler, Wolfgang (1991). Introducción a la relatividad especial (2.ª  ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853952-0.
  • Sard, RD (1970). Mecánica relativista: relatividad especial y dinámica clásica de partículas . Nueva York: WA Benjamin. ISBN 978-0805384918.
  • Lewis, GN ; Tolman, RC (1909). "El principio de relatividad y la mecánica no newtoniana" . Phil. Mag . 6. 18 (106): 510– 523. doi : 10.1080/14786441008636725 .Versión de Wikisource