Álgebra booleana monádica

En álgebra abstracta , un álgebra booleana monádica es una estructura algebraica A con signatura

⟨ ·, +, ', 0, 1, ∃ ⟩ de tipo ⟨ 2,2,1,0,0,1 ⟩ ,

donde ⟨ A , ·, +, ', 0, 1 ⟩ es un álgebra booleana .

El operador monádico / unario ∃ denota el cuantificador existencial , que satisface las identidades (usando la notación de prefijo recibida para ∃):

• ∃0 = 0
• ∃ x ≥ x
• ∃( x + y ) = ∃ x + ∃ y
• ∃ x ∃ y = ∃( x ∃ y ).

∃ x es el cierre existencial de x . Dual a ∃ es el operador unario ∀, el cuantificador universal , definido como ∀ x  := (∃ x ′ ) ′ .

Un álgebra booleana monádica tiene una definición y notación dual que toman ∀ como primitivo y ∃ como definido, de modo que ∃ x  := (∀ x ′ ) ′ . (Compárese esto con la definición del álgebra booleana dual ). Por lo tanto, con esta notación, un álgebra A tiene signatura ⟨ ·, +, ', 0, 1, ∀ ⟩ , donde ⟨ A , ·, +, ', 0, 1 ⟩ es un álgebra booleana, como antes. Además, ∀ satisface la siguiente versión dualizada de las identidades anteriores:

1. ∀1 = 1
2. ∀ x ≤ x
3. ∀( xy ) = ∀ x ∀ y
4. ∀ x + ∀ y = ∀ ( x + ∀ y ) .

∀ x es el cierre universal de x .

Las álgebras booleanas monádicas tienen una conexión importante con la topología . Si ∀ se interpreta como el operador interior de la topología, (1)–(3) anterior más el axioma ∀(∀ x ) = ∀ x forman los axiomas para un álgebra interior . Pero ∀(∀ x ) = ∀ x se puede demostrar a partir de (1)–(4). Además, una axiomatización alternativa de las álgebras booleanas monádicas consiste en los axiomas (reinterpretados) para un álgebra interior , más ∀(∀ x ) ' = (∀ x )' (Halmos 1962: 22). Por lo tanto, las álgebras booleanas monádicas son las álgebras interiores/ de cierre semisimples tales que:

• El cuantificador universal (dualmente, existencial) interpreta el operador interior ( cierre );
• Todos los elementos abiertos (o cerrados) también son clopen .

Una axiomatización más concisa del álgebra booleana monádica es (1) y (2) arriba, más ∀( x ∨ ∀ y ) = ∀ x ∨ ∀ y (Halmos 1962: 21). Esta axiomatización oculta la conexión con la topología.

Las álgebras booleanas monádicas forman una variedad . Son a la lógica de predicados monádica lo que las álgebras booleanas son a la lógica proposicional , y lo que las álgebras poliádicas son a la lógica de primer orden . Paul Halmos descubrió las álgebras booleanas monádicas mientras trabajaba en álgebras poliádicas; Halmos (1962) reimprime los artículos relevantes. Halmos y Givant (1998) incluyen un tratamiento de álgebra booleana monádica para estudiantes de pregrado.

Las álgebras booleanas monádicas también tienen una conexión importante con la lógica modal . Son modelos de la lógica modal S5 , del mismo modo que las álgebras interiores son modelos de la lógica modal S4 . Es decir, las álgebras booleanas monádicas proporcionan la semántica algebraica para S5 . Por lo tanto, el álgebra S5 es sinónimo de álgebra booleana monádica.

• Conjunto Clopen
• Álgebra cilíndrica
• Álgebra interior
• axiomas de cierre de Kuratowski
• Álgebra de Łukasiewicz-Moisil
• Lógica modal
• lógica monádica

• Paul Halmos , 1962. Lógica algebraica . Nueva York: Chelsea.
• ------ y Steven Givant, 1998. La lógica como álgebra . Asociación Matemática de América.