cálculo de predicados monádicos

En lógica , el cálculo de predicados monádico (también llamado lógica monádica de primer orden ) es el fragmento de la lógica de primer orden (también llamado cálculo de predicados ) en el que todos los símbolos de relación en la signatura son monádicos (es decir, toman solo un argumento) y no hay símbolos de función. En otras palabras, todas las fórmulas atómicas son de la forma${\displaystyle P(t)}$, dónde${\displaystyle P}$es un símbolo de relación y${\displaystyle t}$es un término .

El cálculo de predicados monádico contrasta con el cálculo de predicados estándar, que admite símbolos de relación con dos o más argumentos. Para enfatizar que el cálculo de predicados estándar no es monádico, lo denominamos " cálculo de predicados poliádico ".

Sin símbolos de relación poliádica , el cálculo de predicados monádico es más débil que el cálculo de predicados completo. De hecho, es incluso una lógica decidible . Es decir, existe un algoritmo de decisión que determina si una fórmula dada del cálculo de predicados monádico es lógicamente válida (verdadera para todos los dominios no vacíos ). ^{[ 1 ] [ 2 ]} Sin embargo, añadir un único símbolo de relación binaria a la lógica monádica da como resultado una lógica indecidible.

El sistema formal descrito anteriormente se denomina a veces cálculo de predicados monádicos puros , donde "puro" indica la ausencia de símbolos de función. Permitir símbolos de función monádicos solo modifica la lógica superficialmente , mientras que admitir incluso un solo símbolo de función binaria da como resultado una lógica indecidible.

La lógica monádica de segundo orden permite predicados de mayor aridad en las fórmulas. Sin embargo, solo permite que la cuantificación de segundo orden se aplique a conjuntos. Es decir, permite decir "Para todas las relaciones monádicas P , tenemos..." o "Existe una relación monádica P tal que...", pero no "Para todas las relaciones diádicas Q , tenemos...", etc.

La necesidad de ir más allá de la lógica monádica no se comprendió hasta la publicación de la obra sobre la lógica de las relaciones , de Augustus De Morgan y Charles Sanders Peirce en el siglo XIX, y de Frege en su Begriffsschrift de 1879. Antes de la obra de estos tres autores, la lógica de términos (lógica silogística) se consideraba generalmente adecuada para el razonamiento deductivo formal.

Las inferencias en lógica de términos pueden representarse todas en el cálculo de predicados monádicos. Por ejemplo, el argumento

Todos los perros son mamíferos.

Ningún mamífero es un ave.

Por lo tanto, ningún perro es un pájaro.

puede ser notado en el lenguaje del cálculo de predicados monádicos como

${\displaystyle [(\forall x\,D(x)\Rightarrow M(x))\land \neg (\exists y\,M(y)\land B(y))]\Rightarrow \neg (\exists z\,D(z)\land B(z))}$

dónde${\displaystyle D}$,${\displaystyle M}$y${\displaystyle B}$denotan los predicados de ser, respectivamente, un perro, un mamífero y un ave.

Por el contrario, el cálculo de predicados monádicos no es significativamente más expresivo que la lógica de términos. Cada fórmula en el cálculo de predicados monádicos es equivalente a una fórmula en la que los cuantificadores aparecen solo en subfórmulas cerradas de la forma

${\displaystyle \forall x\,P_{1}(x)\lor \cdots \lor P_{n}(x)\lor \neg P'_{1}(x)\lor \cdots \lor \neg P'_{m}(x)}$

o

${\displaystyle \exists x\,\neg P_{1}(x)\land \cdots \land \neg P_{n}(x)\land P'_{1}(x)\land \cdots \land P'_{m}(x),}$

Estas fórmulas generalizan ligeramente los juicios básicos considerados en la lógica de términos. Por ejemplo, esta forma permite afirmaciones como " Todo mamífero es herbívoro o carnívoro (o ambos) ",${\displaystyle \forall x\,M(x)\Rightarrow (H(x)\lor C(x))}$Sin embargo, el razonamiento sobre tales afirmaciones aún puede abordarse dentro del marco de la lógica de términos, aunque no únicamente mediante los 19 silogismos aristotélicos clásicos .

Partiendo de la lógica proposicional , toda fórmula del cálculo de predicados monádicos expresa algo que también puede formularse en la lógica de términos. Por otro lado, una visión moderna del problema de la generalidad múltiple en la lógica tradicional concluye que los cuantificadores no pueden anidarse de forma útil si no existen predicados poliádicos que relacionen las variables ligadas.