mónada monoide

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , una mónada monoidal${\displaystyle (T,\eta ,\mu ,T_{A,B},T_{0})}$es una mónada${\displaystyle (T,\eta,\mu)}$en una categoría monoide${\displaystyle (C,\otimes,I)}$de tal manera que el functor${\displaystyle T:(C,\otimes ,I)\to (C,\otimes ,I)}$es un functor monoidal laxo y las transformaciones naturales${\displaystyle \eta }$y${\displaystyle \mu }$son transformaciones naturales monoidales . En otras palabras,${\displaystyle T}$está equipado con mapas de coherencia${\displaystyle T_{A,B}:TA\otimes TB\to T(A\otimes B)}$y${\displaystyle T_{0}:I\to TI}$que satisfacen ciertas propiedades (de nuevo: son monoidales laxos), y la unidad${\displaystyle \eta :id\Rightarrow T}$y multiplicación${\displaystyle \mu :T^{2}\Rightarrow T}$son transformaciones naturales monoidales . Por monoidalidad de${\displaystyle \eta }$, los morfismos${\displaystyle T_{0}}$y${\displaystyle \eta _{I}}$son necesariamente iguales.

Todo lo anterior se puede resumir en la afirmación de que una mónada monoidal es una mónada de la 2-categoría.${\displaystyle {\mathsf {MonCat}}}$de categorías monoidales, functores monoidales laxos y transformaciones naturales monoidales.

Las mónadas opmonoidales se han estudiado bajo varios nombres. Ieke Moerdijk las introdujo como "mónadas de Hopf" ^{[ 1 ]} , mientras que en los trabajos de Bruguières y Virelizier se las llama "bimónadas", por analogía con " bialgebrá ", ^{[ 2 ]} reservando el término "mónada de Hopf" para las mónadas opmonoidales con un antípoda, por analogía con " álgebras de Hopf ".

Una mónada opmonoide es una mónada${\displaystyle (T,\eta,\mu)}$en la categoría 2 de${\displaystyle {\mathsf {OpMonCat}}}$categorías monoidales, functores monoidales oplax y transformaciones naturales monoidales. Eso significa una mónada${\displaystyle (T,\eta ,\mu )}$en una categoría monoide${\displaystyle (C,\otimes ,I)}$junto con mapas de coherencia${\displaystyle T^{A,B}:T(A\otimes B)\to TA\otimes TB}$y${\displaystyle T^{0}:TI\to I}$que satisfacen tres axiomas que hacen un functor opmonoide y cuatro axiomas más que hacen la unidad${\displaystyle \eta }$y la multiplicación${\displaystyle \mu }$en transformaciones naturales opmonoidales. Alternativamente, una mónada opmonoidal es una mónada en una categoría monoidal tal que la categoría de álgebras de Eilenberg-Moore tiene una estructura monoidal para la cual el functor de olvido es fuertemente monoidal. ^{[ 1 ] [ 3 ]}

Un ejemplo sencillo para la categoría monoide.${\displaystyle \operatorname {Vect} }$de espacios vectoriales es la mónada${\displaystyle -\otimes A}$, dónde${\displaystyle A}$es una bialgebra . ^{[ 2 ]} La multiplicación y unidad de${\displaystyle A}$definen la multiplicación y la unidad de la mónada, mientras que la comultiplicación y la counidad de${\displaystyle A}$dan lugar a la estructura opmonoide. Las álgebras de esta mónada son correctas.${\displaystyle A}$-módulos, que se pueden tensorializar de la misma manera que sus espacios vectoriales subyacentes.

• La categoría de Kleisli de una mónada monoidal tiene una estructura monoidal canónica, inducida por la estructura monoidal de la mónada, y tal que el functor libre es fuertemente monoidal. La adjunción canónica entre${\displaystyle C}$y la categoría de Kleisli es una adjunción monoidal con respecto a esta estructura monoidal, esto significa que la 2-categoría${\displaystyle {\mathsf {MonCat}}}$Tiene objetos Kleisli para mónadas.
• La 2-categoría de mónadas en${\displaystyle {\mathsf {MonCat}}}$es la 2-categoría de mónadas monoidales${\displaystyle {\mathsf {Mnd(MonCat)}}}$y es isomorfo a la 2-categoría${\displaystyle {\mathsf {Mon(Mnd(Cat))}}}$de monoidales (o pseudomonoides) en la categoría de mónadas${\displaystyle {\mathsf {Mnd(Cat)}}}$, flechas monoidales (laxas) entre ellas y celdas monoidales entre ellas. ^{[ 4 ]}
• La categoría de Eilenberg-Moore de una mónada opmonoidal tiene una estructura monoidal canónica tal que el functor olvidadizo es monoidal fuerte. ^{[ 1 ]} Por lo tanto, la 2-categoría${\displaystyle {\mathsf {OpmonCat}}}$tiene objetos Eilenberg-Moore para mónadas. ^{[ 3 ]}
• La 2-categoría de mónadas en${\displaystyle {\mathsf {OpmonCat}}}$es la 2-categoría de mónadas monoidales${\displaystyle {\mathsf {Mnd(OpmonCat)}}}$y es isomorfo a la 2-categoría${\displaystyle {\mathsf {Opmon(Mnd(Cat))}}}$de monoidales (o pseudomonoides) en la categoría de mónadas${\displaystyle {\mathsf {Mnd(Cat)}}}$flechas opmonoidales entre ellas y celdas opmonoidales entre ellas. ^{[ 4 ]}

Las siguientes mónadas en la categoría de conjuntos , con su estructura monoidal cartesiana , son mónadas monoidales:

• La mónada del conjunto de potencias${\displaystyle (\mathbb {P} ,\varnothing ,\cup )}$De hecho, hay una función${\displaystyle \mathbb {P} (X)\times \mathbb {P} (Y)\to \mathbb {P} (X\times Y)}$, enviando un par${\displaystyle (X'\subseteq X,Y'\subseteq Y)}$de subconjuntos al subconjunto${\displaystyle \{(x,y)\mid x\in X'{\text{ and }}y\in Y'\}\subseteq X\times Y}$Esta función es natural en X e Y. Junto con la función única${\displaystyle \{1\}\to \mathbb {P} (\varnothing )}$así como el hecho de que${\displaystyle \mu ,\eta }$son transformaciones naturales monoidales, ${\displaystyle \mathbb {P} }$se establece como una mónada monoide.
• La mónada de distribución de probabilidad (Giry) .

Las siguientes mónadas en la categoría de conjuntos, con su estructura monoidal cartesiana, no son mónadas monoidales.

• Si${\displaystyle M}$es un monoide, entonces${\displaystyle X\mapsto X\times M}$es una mónada, pero en general no hay razón para esperar una estructura monoide en ella (a menos que${\displaystyle M}$es conmutativa).