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Articulo de referencia

Teorema de la clase monótona

En teoría de la medida y probabilidad , el teorema de la clase monótona conecta las clases monótonas y las 𝜎 -álgebras . El teorema dice que la clase monótona más pequeña que c...

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En teoría de la medida y probabilidad , el teorema de la clase monótona conecta las clases monótonas y las 𝜎 -álgebras . El teorema dice que la clase monótona más pequeña que contiene un álgebra de conjuntosGRAMO{\displaystyle G}es precisamente el álgebra 𝜎 más pequeña que contiene GRAMO.{\displaystyle G.}Se utiliza como un tipo de inducción transfinita para demostrar muchos otros teoremas, como el teorema de Fubini .

Definición de una clase monótona

ALa clase monótona es unafamilia(es decir, una clase).METRO{\displaystyle M}de conjuntos que es cerrado bajo uniones monótonas numerables y también bajo intersecciones monótonas numerables. Explícitamente, esto significaMETRO{\displaystyle M}tiene las siguientes propiedades:

  1. siA1,A2,…∈METRO{\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots \in M}yA1⊆A2⊆⋯{\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq \cdots }entonces⋃i=1∞Ai∈METRO,{\textstyle {\textstyle \bigcup \limits _ {i=1}^{\infty }}A_ {i}\in M,}y
  2. siB1,B2,…∈METRO{\displaystyle B_{1},B_{2},\ldots \in M}yB1⊇B2⊇⋯{\displaystyle B_{1}\supseteq B_{2}\supseteq \cdots }entonces⋂i=1∞Bi∈METRO.{\textstyle {\textstyle \bigcap \limits _{i=1}^{\infty }}B_{i}\in M.}

Teorema de clases monótonas para conjuntos

Teorema de clases monótonas para conjuntos — SeaGRAMO{\displaystyle G}ser un álgebra de conjuntos y definirMETRO(GRAMO){\displaystyle M(G)}ser la clase monótona más pequeña que contieneGRAMO.{\displaystyle G.}EntoncesMETRO(GRAMO){\displaystyle M(G)}es precisamente el álgebra 𝜎 generada porGRAMO{\displaystyle G}; eso esσ(GRAMO)=METRO(GRAMO).{\displaystyle \sigma (G)=M(G).}

Teorema de clase monótona para funciones

Teorema de clase monótona para funciones — SeaA{\displaystyle {\mathcal {A}}}ser un sistema π que contieneΩ{\displaystyle \Omega \,}y dejarH{\displaystyle {\mathcal {H}}}ser una colección de funciones deΩ{\displaystyle \Omega }aR{\displaystyle \mathbb {R} }con las siguientes propiedades:

  1. SiA∈A{\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}entonces1A∈H{\displaystyle \mathbf {1} _{A}\in {\mathcal {H}}}dónde1A{\displaystyle \mathbf {1} _{A}}denota la función indicadora deA.{\displaystyle A.}
  2. SiF,gramo∈H{\displaystyle f,g\in {\mathcal {H}}}ydo∈R{\displaystyle c\in \mathbb {R} }entoncesF+gramo{\displaystyle f+g}ydoF∈H.{\displaystyle cf\in {\mathcal {H}}.}
  3. SiFnorte∈H{\displaystyle f_{n}\in {\mathcal {H}}}es una secuencia de funciones no negativas que aumentan hasta una función acotadaF{\displaystyle f}entoncesF∈H.{\displaystyle f\in {\mathcal {H}}.}

EntoncesH{\displaystyle {\mathcal {H}}}contiene todas las funciones acotadas que son medibles con respecto aσ(A),{\displaystyle \sigma ({\mathcal {A}}),}que es el álgebra 𝜎 generada porA.{\displaystyle {\mathcal {A}}.}

Prueba

El siguiente argumento tiene su origen en Probabilidad: Teoría y ejemplos de Rick Durrett . [ 1 ]

Prueba

La asunciónΩ∈A,{\displaystyle \Omega \,\in {\mathcal {A}},}(2) y (3) implican queGRAMO={A:1A∈H}{\displaystyle {\mathcal {G}}=\left\{A:\mathbf {1} _{A}\in {\mathcal {H}}\right\}}es un sistema 𝜆. Por (1) y el teorema π −𝜆 ,σ(A)⊆GRAMO.{\displaystyle \sigma ({\mathcal {A}})\subseteq {\mathcal {G}}.} La afirmación (2) implica queH{\displaystyle {\mathcal {H}}}contiene todas las funciones simples, y entonces (3) implica queH{\displaystyle {\mathcal {H}}}contiene todas las funciones acotadas medibles con respecto aσ(A).{\displaystyle \sigma ({\mathcal {A}}).}

Resultados y aplicaciones

Como corolario, siGRAMO{\displaystyle G}es un anillo de conjuntos , entonces la clase monótona más pequeña que lo contiene coincide con el anillo 𝜎 deGRAMO.{\displaystyle G.}

Al invocar este teorema, se pueden usar clases monótonas para ayudar a verificar que una determinada colección de subconjuntos es un 𝜎 -álgebra .

El teorema de la clase monótona para funciones puede ser una herramienta poderosa que permite generalizar afirmaciones sobre clases de funciones particularmente simples a funciones arbitrarias, acotadas y medibles.

Véase también

  • Sistema Dynkin : Familia cerrada bajo complementos y uniones disjuntas contables 
  • Teorema π -𝜆 – Familia cerrada bajo complementos y uniones disjuntas numerables Páginas que muestran descripciones breves de destinos de redirección 
  • Sistema π – Familia de conjuntos cerrados bajo la intersección 
  • σ-álgebra – Estructura algebraica del álgebra de conjuntos 

Citas

  1. ↑ Durrett, Rick (2010). Probabilidad: Teoría y ejemplos (4.ª  ed.). Cambridge University Press. pág . 276. ISBN  978-0521765398.

Referencias

  • Durrett, Richard (2019). Probabilidad: Teoría y ejemplos (PDF) . Serie de Cambridge en Matemáticas Estadísticas y Probabilísticas. Vol.  49 (5.ª  ed.). Cambridge, Nueva York, NY: Cambridge University Press . ISBN 978-1-108-47368-2OCLC 1100115281. Consultado el 5 de noviembre de 2020 .