Álgebra de mentiras monstruosas

En matemáticas , el álgebra de Lie monstruosa es un álgebra de Kac-Moody generalizada de dimensión infinita sobre la que actúa el grupo monstruoso , que se utilizó para probar las monstruosas conjeturas de la luz de la luna.

El álgebra de Lie monstruosa es un álgebra de Lie graduada Z 2. ^La pieza de grado ( m , n ) tiene dimensión c _mn si ( m , n ) ≠ (0, 0) y dimensión 2 si ( m , n ) = (0, 0). Los enteros c _n son los coeficientes de q ⁿ del j -invariante como función modular elíptica

${\displaystyle j(q)-744={1 \over q}+196884q+21493760q^{2}+\cdots .}$

La subálgebra de Cartan es el subespacio bidimensional de grado (0, 0), por lo que el álgebra de Lie monstruosa tiene rango 2.

El álgebra de Lie monstruosa tiene solo una raíz simple real , dada por el vector (1, −1), y el grupo de Weyl tiene orden 2, y actúa mapeando ( m , n ) a ( n , m ). Las raíces simples imaginarias son los vectores (1, n ) para n = 1, 2, 3, ..., y tienen multiplicidades c _n .

La fórmula del denominador para el álgebra de Lie monstruosa es la fórmula del producto para el invariante j :

${\displaystyle j(p)-j(q)=\left({1 \over p}-{1 \over q}\right)\prod _{n,m=1}^{\infty }(1-p^{n}q^{m})^{c_{nm}}.}$

La fórmula del denominador (a veces llamada identidad del producto infinito de Koike-Norton-Zagier) fue descubierta en la década de 1980. Varios matemáticos, entre ellos Masao Koike, Simon P. Norton y Don Zagier , realizaron el descubrimiento de forma independiente. ^{[ 1 ]}

Existen dos maneras de construir el álgebra de Lie monstruosa. Dado que se trata de un álgebra de Kac-Moody generalizada cuyas raíces simples son conocidas, puede definirse mediante generadores y relaciones explícitas; sin embargo, esta presentación no incluye una acción del grupo monstruoso sobre ella.

También se puede construir a partir del álgebra de vértices monstruosos utilizando el teorema de Goddard-Thorn de la teoría de cuerdas . Esta construcción es mucho más difícil, pero también demuestra que el grupo monstruoso actúa naturalmente sobre ella. ^{[ 1 ]}