Teorema de Moreau

En matemáticas , el teorema de Moreau es un resultado del análisis convexo que lleva el nombre del matemático francés Jean-Jacques Moreau . Demuestra que los funcionales convexos suficientemente bien comportados en espacios de Hilbert son diferenciables y la derivada se aproxima bien mediante la llamada aproximación de Yosida , que se define en términos del operador resolvente .

Sea H un espacio de Hilbert y sea φ  : H → R ∪ {+ ∞ } un funcional real extendido propio , convexo y semicontinuo inferiormente definido en H. Sea A la subderivada de ∂ φ ; para α > 0, sea _J α la resolvente :       

${\displaystyle J_{\alpha }=(\mathrm {id} +\alpha A)^{-1};}$

y sea A _α la aproximación de Yosida a A :

${\displaystyle A_{\alpha }={\frac {1}{\alpha }}(\mathrm {id} -J_{\alpha }).}$

Para cada α > 0 y x ∈ H , sea    

${\displaystyle \varphi _{\alpha }(x)=\inf _{y\in H}{\frac {1}{2\alpha }}\|yx\|^{2}+\varphi (y).}$

Entonces

${\displaystyle \varphi _{\alpha }(x)={\frac {\alpha }{2}}\|A_{\alpha }x\|^{2}+\varphi (J_{\alpha }(x))}$

y φ _α es convexa y diferenciable en el sentido de Fréchet con derivada d φ _α  = A _α . Además, para cada x ∈ H (puntualmente), φ _α ( x ) converge hacia arriba a φ ( x ) cuando α → 0.     

• Showalter, Ralph E. (1997). Operadores monótonos en espacios de Banach y ecuaciones diferenciales parciales no lineales . Mathematical Surveys and Monographs 49. Providence, RI: American Mathematical Society. pp. 162–163 . ISBN  0-8218-0500-2.MR 1422252 (Proposición IV.1.8)