Programa modelo mínimo

En geometría algebraica , el programa del modelo mínimo forma parte de la clasificación birracional de las variedades algebraicas . Su objetivo es construir un modelo birracional de cualquier variedad proyectiva compleja que sea lo más simple posible. Este tema tiene su origen en la geometría birracional clásica de superficies estudiada por la escuela italiana y actualmente constituye un área de investigación activa dentro de la geometría algebraica.

La idea básica de la teoría es simplificar la clasificación birracional de variedades encontrando, en cada clase de equivalencia birracional , una variedad que sea "lo más simple posible". El significado preciso de esta frase ha evolucionado con el desarrollo de la materia; originalmente, para superficies, significaba encontrar una variedad suave.${\displaystyle X}$para el cual cualquier morfismo birracional${\displaystyle f\colon X\to X'}$con una superficie lisa${\displaystyle X'}$es un isomorfismo .

En la formulación moderna, el objetivo de la teoría es el siguiente. Supongamos que se nos da una variedad proyectiva.${\displaystyle X}$, que por simplicidad se supone no singular. Hay dos casos basados ​​en su dimensión de Kodaira ,${\displaystyle \kappa (X)}$: ^{[ 1 ]}

• ${\displaystyle \kappa (X)=-\infty.}$Queremos encontrar una variedad${\displaystyle X'}$birracional a${\displaystyle X}$y un morfismo${\displaystyle f\colon X'\to Y}$a una variedad proyectiva${\displaystyle Y}$de tal manera que${\displaystyle \dim Y<\dim X',}$con la clase anticanónica${\displaystyle -K_{F}}$de una fibra general${\displaystyle F}$siendo amplio . Tal morfismo se llama espacio de fibra de Fano .
• ${\displaystyle \kappa (X)\geqslant 0.}$Queremos encontrar${\displaystyle X'}$birracional a${\displaystyle X}$, con la clase canónica${\displaystyle K_{X^{\prime }}}$nef . En este caso,${\displaystyle X'}$es un modelo mínimo para${\displaystyle X}$.

La cuestión de si las variedades${\displaystyle X'}$y${\displaystyle X}$que aparezcan arriba no son singulares es uno importante. Parece natural esperar que si comenzamos con suavidad${\displaystyle X}$Entonces, siempre podemos encontrar un modelo mínimo o un espacio de fibra de Fano dentro de la categoría de variedades suaves. Sin embargo, esto no es cierto, por lo que se hace necesario considerar también las variedades singulares. Las singularidades que aparecen se denominan singularidades terminales .

Toda curva algebraica compleja irreducible es birracional a una única curva proyectiva suave, por lo que la teoría para curvas es trivial. El caso de las superficies fue investigado por primera vez por los geómetras de la escuela italiana alrededor de 1900; el teorema de contracción de Guido Castelnuovo describe esencialmente el proceso de construcción de un modelo mínimo de cualquier superficie proyectiva suave. El teorema establece que cualquier morfismo birracional no trivial${\displaystyle f\colon X\to Y}$debe contraerse una curva −1 a un punto suave, y a la inversa, cualquier curva de este tipo puede contraerse suavemente. Aquí, una curva −1 es una curva racional suave C con autointersección.${\displaystyle C\cdot C=-1.}$Cualquier curva de este tipo debe tener${\displaystyle K\cdot C=-1}$lo que demuestra que si la clase canónica es nef, entonces la superficie no tiene curvas −1.

El teorema de Castelnuovo implica que, para construir un modelo mínimo para una superficie lisa, basta con contraer todas las curvas -1 de dicha superficie. La variedad resultante Y es un modelo mínimo (único) con K nef, o bien una superficie reglada (que es equivalente a un espacio fibrado de Fano bidimensional, y que puede ser un plano proyectivo o una superficie reglada sobre una curva). En el segundo caso, la superficie reglada birracional a X no es única, aunque existe una única isomorfa al producto de la recta proyectiva y una curva. Un detalle sutil es que, si bien una superficie puede tener infinitas curvas -1, basta con contraer un número finito de ellas para obtener una superficie sin curvas -1.

En dimensiones mayores que 2, la teoría se vuelve mucho más compleja. En particular, existen variedades suaves.${\displaystyle X}$que no son birracionales a ninguna variedad suave${\displaystyle X'}$con clase canónica nef . El principal avance conceptual de los años 70 y principios de los 80 fue que la construcción de modelos mínimos sigue siendo factible, siempre que se tenga cuidado con los tipos de singularidades que se producen. (Por ejemplo, queremos decidir si${\displaystyle K_{X'}}$es nef, por lo tanto, los números de intersección${\displaystyle K_{X'}\cdot C}$debe definirse. Por lo tanto, como mínimo, nuestras variedades deben tener${\displaystyle nK_{X'}}$ser un divisor de Cartier para algún entero positivo${\displaystyle n}$.)

El primer resultado clave es el teorema del cono de Shigefumi Mori , que describe la estructura del cono de curvas de${\displaystyle X}$. En resumen, el teorema muestra que comenzando con${\displaystyle X}$, se puede construir inductivamente una secuencia de variedades${\displaystyle X_{i}}$cada uno de los cuales está "más cerca" que el anterior de tener${\displaystyle K_{X_{i}}}$nef. Sin embargo, el proceso puede encontrar dificultades: en algún momento la variedad${\displaystyle X_{i}}$puede volverse "demasiado singular". La solución conjetural a este problema es el flip , una especie de operación quirúrgica de codimensión 2 en${\displaystyle X_{i}}$No está claro que existan los giros necesarios, ni que siempre terminen (es decir, que se alcance un modelo mínimo).${\displaystyle X'}$en un número finito de pasos). Mori (1988) demostró que existen giros en el caso tridimensional.

La existencia de los logaritmos de inversión más generales fue demostrada por Vyacheslav Shokurov en dimensiones tres y cuatro. Posteriormente, Caucher Birkar , Paolo Cascini, Christopher Hacon y James McKernan generalizaron este concepto a dimensiones superiores, basándose en trabajos previos de Shokurov, Hacon y McKernan. También demostraron otros problemas, como la generación finita de anillos logarítmicos canónicos y la existencia de modelos mínimos para variedades de tipo logarítmico general.

El problema de la terminación de las transformaciones logarítmicas en dimensiones superiores sigue siendo objeto de investigación activa.

• Conjetura de abundancia
• Superficie racional mínima

• Birkar, Caucher ; Cascini, Paolo; Hacon, Christopher ; McKernan, James (2010), "Existencia de modelos mínimos para variedades de tipo log general", Journal of the American Mathematical Society , 23 (2): 405–468 , arXiv : math/0610203 , Bibcode : 2010JAMS...23..405B , doi : 10.1090/S0894-0347-09-00649-3 , MR 2601039 
• Clemens, Herbert ; Kollár, János ; Mori, Shigefumi (1988), "Geometría compleja de dimensiones superiores", Astérisque (166): 144 págs. (1989), ISSN 0303-1179 , MR 1004926  
• Fujino, Osamu (2009), "Nuevos desarrollos en la teoría de modelos mínimos", Sugaku , 61 (2), Sociedad Matemática de Japón: 162–186 , ISSN 0039-470X , MR 2560253  
• Kollár, János (1987), "La estructura de las variedades algebraicas tridimensionales: una introducción al programa de Mori" , Bulletin of the American Mathematical Society , Nueva Serie, 17 (2): 211–273 , doi : 10.1090/S0273-0979-1987-15548-0 , ISSN 0002-9904 , MR 0903730  
• Kollár, János (1989), "Modelos mínimos de triples algebraicos: el programa de Mori" , Astérisque (177): 303– 326, ISSN 0303-1179 , SEÑOR 1040578  
• Kollár, János (1996), Curvas racionales sobre variedades algebraicas , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Seguir. Una serie de estudios modernos en matemáticas [Resultados en matemáticas y áreas afines. 3ª Serie. Una serie de estudios modernos en matemáticas], vol.  32, Berlín: Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-3-662-03276-3 , ISBN 978-3-642-08219-1, MR 1440180 
• Kollár, János ; Mori, Shigefumi (1998), Geometría birracional de variedades algebraicas , Cambridge Tracts in Mathematics, vol.  134, Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511662560 , ISBN 978-0-521-63277-5, MR 1658959 
• Matsuki, Kenji (2002), Introducción al programa Mori , Universitext, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4757-5602-9 , ISBN 978-0-387-98465-0, MR 1875410 
• Mori, Shigefumi (1988), "Teorema de inversión y la existencia de modelos mínimos para variedades tridimensionales", Journal of the American Mathematical Society , 1 (1), American Mathematical Society: 117–253 , doi : 10.2307/1990969 , ISSN 0894-0347 , JSTOR 1990969 , MR 0924704   
• Kawamata, Yujiro (2001) [1994], "Teoría de Mori de los rayos extremos" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press