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Articulo de referencia

La ley de Morrie

La ley de Morrie es una identidad trigonométrica especial . Su nombre se debe al físico Richard Feynman , quien solía referirse a ella con ese nombre. Feynman tomó el nombre de ...

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La ley de Morrie es una identidad trigonométrica especial . Su nombre se debe al físico Richard Feynman , quien solía referirse a ella con ese nombre. Feynman tomó el nombre de Morrie Jacobs, un niño que conoció durante su infancia, y lo recordó durante toda su vida. [ 1 ]

Identidad y generalización

porque⁡(20∘)⋅porque⁡(40∘)⋅porque⁡(80∘)=18.{\displaystyle \cos(20^{\circ })\cdot \cos(40^{\circ })\cdot \cos(80^{\circ })={\frac {1}{8}}.}

Es un caso especial de la identidad más general.

2norte⋅∏k=0norte−1porque⁡(2kα)=pecado⁡(2norteα)pecado⁡(α){\displaystyle 2^{n}\cdot \prod _{k=0}^{n-1}\cos(2^{k}\alpha )={\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{\sin(\alpha )}}}

con n = 3 y α = 20° y el hecho de que

pecado⁡(160∘)pecado⁡(20∘)=pecado⁡(180∘−20∘)pecado⁡(20∘)=1,{\displaystyle {\frac {\sin(160^{\circ })}{\sin(20^{\circ })}}={\frac {\sin(180^{\circ }-20^{\circ })}{\sin(20^{\circ })}}=1,}

desde

pecado⁡(180∘−incógnita)=pecado⁡(incógnita).{\displaystyle \sin(180^{\circ }-x)=\sin(x).}

Identidades similares

Una identidad similar también se cumple para la función seno:

pecado⁡(20∘)⋅pecado⁡(40∘)⋅pecado⁡(80∘)=38.{\displaystyle \sin(20^{\circ })\cdot \sin(40^{\circ })\cdot \sin(80^{\circ })={\frac {\sqrt {3}}{8}}.}

Además, al dividir la segunda identidad entre la primera, se evidencia la siguiente identidad:

broncearse⁡(20∘)⋅broncearse⁡(40∘)⋅broncearse⁡(80∘)=3=broncearse⁡(60∘).{\displaystyle \tan(20^{\circ })\cdot \tan(40^{\circ })\cdot \tan(80^{\circ })={\sqrt {3}}=\tan(60^{\circ }).}

Prueba

Demostración geométrica de la ley de Morrie

nonágono regularABdoDmiFGRAMOHI{\displaystyle ABCDEFGHI}conO{\displaystyle O}siendo el centro de su circunferencia circunscrita . Cálculo de los ángulos:40∘=360∘970∘=180∘−40∘2α=180∘−90∘−70∘=20∘β=180∘−90∘−(70∘−α)=40∘γ=140∘−β−α=80∘{\displaystyle {\begin{aligned}40^{\circ }&={\frac {360^{\circ }}{9}}\\70^{\circ }&={\frac {180^{\circ }-40^{\circ }}{2}}\\\alpha &=180^{\circ }-90^{\circ }-70^{\circ }=20^{\circ }\\\beta &=180^{\circ }-90^{\circ }-(70^{\circ }-\alpha )=40^{\circ }\\\gamma &=140^{\circ }-\beta -\alpha =80^{\circ }\end{aligned}}}

Consideremos un nonágono regular.ABdoDmiFGRAMOHI{\displaystyle ABCDEFGHI}con longitud lateral1{\displaystyle 1}y dejarMETRO{\displaystyle M}ser el punto medio deAB{\displaystyle AB},L{\displaystyle L}el punto medioBF{\displaystyle BF}yJ{\displaystyle J}el punto medio deBD{\displaystyle BD}Los ángulos interiores del nonágono son iguales.140∘{\displaystyle 140^{\circ }}y ademásγ=∠FBMETRO=80∘{\displaystyle \gamma =\angle FBM=80^{\circ }}, β=∠DBF=40∘{\displaystyle \beta =\angle DBF=40^{\circ }}y α=∠doBD=20∘{\displaystyle \alpha =\angle CBD=20^{\circ }}(ver gráfico). Aplicación de la definición de coseno en triángulos rectángulos.△BFMETRO{\displaystyle \triangle BFM},△BDL{\displaystyle \triangle BDL}y△BdoJ{\displaystyle \triangle BCJ}Luego se obtiene la prueba de la ley de Morrie: [ 2 ]

1=|AB|=2⋅|METROB|=2⋅|BF|⋅porque⁡(γ)=22|BL|porque⁡(γ)=22⋅|BD|⋅porque⁡(γ)⋅porque⁡(β)=23⋅|BJ|⋅porque⁡(γ)⋅porque⁡(β)=23⋅|Bdo|⋅porque⁡(γ)⋅porque⁡(β)⋅porque⁡(α)=23⋅1⋅porque⁡(γ)⋅porque⁡(β)⋅porque⁡(α)=8⋅porque⁡(80∘)⋅porque⁡(40∘)⋅porque⁡(20∘){\displaystyle {\begin{aligned}1&=|AB|\\&=2\cdot |MB|\\&=2\cdot |BF|\cdot \cos(\gamma )\\&=2^{2}|BL|\cos(\gamma )\\&=2^{2}\cdot |BD|\cdot \cos(\gamma )\cdot \cos(\beta )\\&=2^{3}\cdot |BJ|\cdot \cos(\gamma )\cdot \cos(\beta )\\&=2^{3}\cdot |BC|\cdot \cos(\gamma )\cdot \cos(\beta )\cdot \cos(\alpha )\\&=2^{3}\cdot 1\cdot \cos(\gamma )\cdot \cos(\beta )\cdot \cos(\alpha )\\&=8\cdot \cos(80^{\circ })\cdot \cos(40^{\circ })\cdot \cos(20^{\circ })\end{aligned}}}

Demostración algebraica de la identidad generalizada

Recuerda la fórmula del ángulo doble para la función seno.

pecado⁡(2α)=2pecado⁡(α)porque⁡(α).{\displaystyle \sin(2\alpha )=2\sin(\alpha )\cos(\alpha ).}

Resuelve paraporque⁡(α){\displaystyle \cos(\alpha )}

porque⁡(α)=pecado⁡(2α)2pecado⁡(α).{\displaystyle \cos(\alpha )={\frac {\sin(2\alpha )}{2\sin(\alpha )}}.}

Resulta que:

porque⁡(2α)=pecado⁡(4α)2pecado⁡(2α)porque⁡(4α)=pecado⁡(8α)2pecado⁡(4α)⋮porque⁡(2norte−1α)=pecado⁡(2norteα)2pecado⁡(2norte−1α).{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(2\alpha )&={\frac {\sin(4\alpha )}{2\sin(2\alpha )}}\\[6pt]\cos(4\alpha )&={\frac {\sin(8\alpha )}{2\sin(4\alpha )}}\\&\,\,\,\vdots \\\cos \left(2^{n-1}\alpha \right)&={\frac {\sin \left(2^{n}\alpha \right)}{2\sin \left(2^{n-1}\alpha \right)}}.\end{aligned}}}

Al multiplicar todas estas expresiones se obtiene:

porque⁡(α)porque⁡(2α)porque⁡(4α)⋯porque⁡(2norte−1α)=pecado⁡(2α)2pecado⁡(α)⋅pecado⁡(4α)2pecado⁡(2α)⋅pecado⁡(8α)2pecado⁡(4α)⋯pecado⁡(2norteα)2pecado⁡(2norte−1α).{\displaystyle \cos(\alpha )\cos(2\alpha )\cos(4\alpha )\cdots \cos \left(2^{n-1}\alpha \right)={\frac {\sin(2\alpha )}{2\sin(\alpha )}}\cdot {\frac {\sin(4\alpha )}{2\sin(2\alpha )}}\cdot {\frac {\sin(8\alpha )}{2\sin(4\alpha )}}\cdots {\frac {\sin \left(2^{n}\alpha \right)}{2\sin \left(2^{n-1}\alpha \right)}}.}

Los numeradores y denominadores intermedios se cancelan, quedando solo el primer denominador, una potencia de 2 y el numerador final. Nótese que hay n términos en ambos lados de la expresión. Por lo tanto,

∏k=0norte−1porque⁡(2kα)=pecado⁡(2norteα)2nortepecado⁡(α),{\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}\cos \left(2^{k}\alpha \right)={\frac {\sin \left(2^{n}\alpha \right)}{2^{n}\sin(\alpha )}},}

lo cual equivale a la generalización de la ley de Morrie.

Véase también

Referencias

  1. ↑ Beyer, WA; Louck, JD; Zeilberger, D. (febrero de 1996). "Math Bite: una generalización de una curiosidad que Feynman recordó durante toda su vida". Mathematics Magazine . 69 (1): 43– 44. doi : 10.1080/0025570X.1996.11996378 . JSTOR 2691393 . 
  2. ↑ Moreno, Samuel G.; García-Caballero, Esther M. (23 de febrero de 2015). "Una demostración geométrica de la ley de Morrie". The American Mathematical Monthly . 122 (2): 168. doi : 10.4169/ amer.math.monthly.122.02.168 . JSTOR 10.4169/amer.math.monthly.122.02.168 . 

Lecturas adicionales

  • Van Brummelen, Glen (23 de enero de 2020). Trigonometría: Una introducción muy breve . Oxford University Press. págs. 79–83 . ISBN  978-0-19-254546-6.
  • Anderson, Ernest C. (1998). "La ley de Morrie y las matemáticas experimentales" . Journal of Recreational Mathematics . 29 (2): 85– 88.