Centro instantáneo de rotación

El centro instantáneo de rotación (también conocido como centro de velocidad instantánea , ^{[ 1 ]} centro instantáneo o polo de desplazamiento planar ) de un cuerpo que experimenta un movimiento planar es un punto que tiene velocidad cero en un instante de tiempo particular. En este instante, los vectores de velocidad de los otros puntos del cuerpo generan un campo de desplazamiento circular alrededor de este centro de rotación que es idéntico al que se genera por una rotación pura .

El movimiento planar de un cuerpo se describe a menudo mediante una figura plana que se desplaza en un plano bidimensional . El centro instantáneo es el punto en el plano en movimiento alrededor del cual giran todos los demás puntos en un instante determinado.

El movimiento continuo de un plano tiene un centro instantáneo para cada valor del parámetro tiempo. Esto genera una curva llamada centroide móvil . Los puntos en el plano fijo que corresponden a estos centros instantáneos forman el centroide fijo.

La generalización de este concepto al espacio tridimensional es la de una torsión alrededor de un tornillo. El tornillo tiene un eje que es una línea en el espacio tridimensional (no necesariamente que pasa por el origen), el eje de rotación ; el tornillo también tiene un paso finito (una traslación fija a lo largo de su eje que corresponde a una rotación alrededor del eje del tornillo ).

El centro instantáneo puede considerarse el caso límite del polo de un desplazamiento plano.

El desplazamiento planar de un cuerpo desde la posición 1 a la posición 2 se define por la combinación de una rotación y una traslación planares . Para cualquier desplazamiento planar, existe un punto en el cuerpo que permanece en la misma posición antes y después del desplazamiento. Este desplazamiento puede considerarse como una rotación alrededor de dicho punto.

Construcción para el polo de un desplazamiento planar

Primero, seleccione dos puntos A y B en el cuerpo en movimiento y ubique los puntos correspondientes en ambas posiciones; vea la ilustración. Construya las mediatrices de los segmentos ^A₁A₂ y ^{B₁B₂ . La} intersección P de estas dos mediatrices es el polo del desplazamiento plano. Observe que A₁ ^y A₂ ^se encuentran en una circunferencia alrededor de P. Esto se ^cumple para las posiciones correspondientes de cada punto del cuerpo.

Si en un movimiento plano dos posiciones de un cuerpo están separadas por un instante de tiempo, el polo de dicho desplazamiento se convierte en el centro instantáneo. En este caso, los segmentos formados entre las posiciones instantáneas de los puntos A y B se convierten en los vectores de velocidad V _A y V _B. Las líneas perpendiculares a estos vectores de velocidad se intersecan en el centro instantáneo.

La construcción algebraica de las coordenadas cartesianas${\displaystyle \left(P_{x},P_{y}\right)}$se puede organizar de la siguiente manera: El punto medio entre${\displaystyle A^{1}}$y${\displaystyle A^{2}}$ tiene las coordenadas cartesianas

${\displaystyle A_{x}^{m}={\frac {1}{2}}\left(A_{x}^{1}+A_{x}^{2}\right);\quad A_{y}^{m}={\frac {1}{2}}\left(A_{y}^{1}+A_{y}^{2}\right),}$

y el punto medio entre${\displaystyle B^{1}}$y${\displaystyle B^{2}}$tiene las coordenadas cartesianas

${\displaystyle B_{x}^{m}={\frac {1}{2}}\left(B_{x}^{1}+B_{x}^{2}\right);\quad B_{y}^{m}={\frac {1}{2}}\left(B_{y}^{1}+B_{y}^{2}\right).}$

Los dos ángulos de${\displaystyle A^{1}}$a${\displaystyle A^{2}}$y de${\displaystyle B^{1}}$a${\displaystyle B^{2}}$Las medidas en sentido contrario a las agujas del reloj con respecto a la horizontal se determinan mediante

${\displaystyle \tan \tau _{A}={\frac {A_{y}^{2}-A_{y}^{1}}{A_{x}^{2}-A_{x}^{1}}},\quad \tan \tau _{B}={\frac {B_{y}^{2}-B_{y}^{1}}{B_{x}^{2}-B_{x}^{1}}}}$

Encuentra la posición de ${\displaystyle P\left(P_{x},P_{y}\right)}$

Método 1:

Tomando las ramas correctas de la tangente . Sea el centro${\displaystyle \left(P_{x},P_{y}\right)}$de la rotación tienen distancias${\displaystyle d_{A}}$y${\displaystyle d_{B}}$a los dos puntos medios. Suponiendo una rotación en el sentido de las agujas del reloj (de lo contrario, cambie el signo de${\displaystyle \pi /2}$):

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{x}&=A_{x}^{m}+d_{A}\cos \left(\tau _{A}-{\frac {\pi }{2}}\right)\\&=B_{x}^{m}+d_{B}\cos \left(\tau _{B}-{\frac {\pi }{2}}\right);\\P_{y}&=A_{y}^{m}+d_{A}\sin \left(\tau _{A}-{\frac {\pi }{2}}\right)\\&=B_{y}^{m}+d_{B}\sin \left(\tau _{B}-{\frac {\pi }{2}}\right).\end{aligned}}}$

Reescribe esto como un sistema no homogéneo de ecuaciones lineales de 4 × 4 con 4 incógnitas (las dos distancias${\displaystyle d}$y las dos coordenadas${\displaystyle P}$del centro):

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&-\sin \tau _{A}&0\\1&0&0&-\sin \tau _{B}\\0&1&\cos \tau _{A}&0\\0&1&0&\cos \tau _{B}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}P_{x}\\P_{y}\\d_{A}\\d_{B}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A_{x}^{m}\\B_{x}^{m}\\A_{y}^{m}\\B_{y}^{m}\end{pmatrix}}.}$

Las coordenadas del centro de rotación son las dos primeras componentes del vector solución.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}P_{x}\\P_{y}\\d_{A}\\d_{B}\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sin \left(\tau _{A}-\tau _{B}\right)}}{\begin{pmatrix}\left(B_{y}^{m}-A_{y}^{m}\right)\sin \tau _{A}\sin \tau _{B}+B_{x}^{m}\sin \tau _{A}\cos \tau _{B}-A_{x}^{m}\cos \tau _{A}\sin \tau _{B}\\\left(A_{x}^{m}-B_{x}^{m}\right)\cos \tau _{A}\cos \tau _{B}+A_{y}^{m}\sin \tau _{A}\cos \tau _{B}-B_{y}^{m}\cos \tau _{A}\sin \tau _{B}\\\left(B_{x}^{m}-A_{x}^{m}\right)\cos \tau _{B}+\left(B_{y}^{m}-A_{y}^{m}\right)\sin \tau _{B}\\\left(B_{x}^{m}-A_{x}^{m}\right)\cos \tau _{A}+\left(B_{y}^{m}-A_{y}^{m}\right)\sin \tau _{A}\\\end{pmatrix}}.}$

Método 2:

Halla las ecuaciones de las bisectrices de dos segmentos A ¹ A ² y B ¹ B ² de la siguiente manera:

La ecuación de una línea recta en forma de punto-pendiente es: ${\displaystyle y-y_{0}=m(x-x_{0})}$dónde ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ese es el punto y${\displaystyle m}$es la pendiente.

La ecuación de la bisectriz de A ¹ A ² es${\displaystyle y-A_{y}^{m}=\tan \tau _{A}\left(x-A_{x}^{m}\right)}$

La ecuación de la bisectriz de B ¹ B ² es${\displaystyle y-B_{y}^{m}=\tan \tau _{B}\left(x-B_{x}^{m}\right)}$

Estas dos bisectrices se intersecan en ${\displaystyle P\left(P_{x},P_{y}\right)}$Así, se puede escribir un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas y coeficientes.

${\displaystyle {\begin{cases}P_{y}-A_{y}^{m}=\tan \tau _{A}\left(P_{x}-A_{x}^{m}\right)\\P_{y}-B_{y}^{m}=\tan \tau _{B}\left(P_{x}-B_{x}^{m}\right)\end{cases}}}$

La solución de este sistema es

${\displaystyle P_{x}={\frac {B_{y}^{m}-A_{y}^{m}+A_{x}^{m}\tan \tau _{A}-B_{x}^{m}\tan \tau _{B}}{\tan \tau _{A}-\tan \tau _{B}}},\qquad P_{y}={\frac {B_{y}^{m}-A_{y}^{m}+\tan \tau _{A}\left(A_{x}^{m}-B_{x}^{m}\right)}{\tan \tau _{A}-\tan \tau _{B}}}+B_{y}^{m}}$

Traducción pura

^{Si el} desplazamiento entre dos posiciones es una traslación pura, entonces las mediatrices de los segmentos A₁B₁ y ^A₂B₂ forman ^líneas paralelas. Se considera que estas líneas se intersecan en un punto en el ^infinito , por lo que se dice que el polo de este desplazamiento plano se encuentra en el infinito en la dirección de las mediatrices.

En el límite, la traslación pura se convierte en un movimiento planar con vectores de velocidad puntuales paralelos. En este caso, se dice que el centro instantáneo se encuentra en el infinito en la dirección perpendicular a los vectores de velocidad.

Consideremos el movimiento plano de una rueda circular que rueda sin deslizarse sobre una superficie recta; véase el esquema 3. La rueda gira alrededor de su eje M, que se desplaza en una dirección paralela a la superficie. El punto de contacto P de la rueda con la superficie no se desliza, lo que significa que el punto P tiene velocidad cero con respecto a la superficie. Por lo tanto, en el instante en que el punto P de la rueda entra en contacto con la superficie, se convierte en su centro instantáneo.

El conjunto de puntos de la rueda en movimiento que se convierten en centros instantáneos es el círculo mismo, que define la centroide móvil. Los puntos en el plano fijo que corresponden a estos centros instantáneos son la línea de la carretera, que define la centroide fija.

El vector velocidad de un punto A en la rueda es perpendicular al segmento AP y proporcional a la longitud de este segmento. En particular, las velocidades de los puntos en la rueda están determinadas por la velocidad angular de la rueda al girar alrededor de P. Los vectores velocidad de varios puntos se ilustran en el esquema 3 y se pueden calcular mediante la siguiente ecuación:

${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{A}}$

dónde${\displaystyle {\vec {v}}}$es la velocidad del punto A,${\displaystyle {\vec {\omega }}}$velocidad angular de la rueda y${\displaystyle {\vec {r}}_{A}}$vector desde el punto P hasta el punto A.

Cuanto más alejado esté un punto de la rueda del centro instantáneo P, mayor será proporcionalmente su velocidad. Por lo tanto, el punto situado en la parte superior de la rueda se mueve en la misma dirección que el centro M, pero al doble de velocidad, ya que se encuentra al doble de distancia de P. Todos los puntos que se encuentran a una distancia igual al radio de la rueda 'r' del punto P se mueven a la misma velocidad que el punto M, pero en direcciones diferentes. Esto se demuestra para un punto de la rueda que tiene la misma velocidad que M, pero se mueve en la dirección tangente a la circunferencia que rodea a P.

Si dos cuerpos rígidos planos están en contacto, y cada cuerpo tiene su propio centro de rotación distinto, entonces el centro de rotación relativo entre los cuerpos debe estar situado en algún punto de la línea que conecta ambos centros. Esto se debe al teorema de Aronhold-Kennedy. ^{[ 2 ]}

Además, el rodamiento puro solo puede existir cuando el centro instantáneo de rotación coincide con el punto de contacto entre los dos cuerpos, ya que se requiere que este punto de contacto tenga velocidad cero (como se ve arriba con la rueda sobre la carretera). Por lo tanto, solo cuando el punto de contacto pasa por la línea que conecta los dos centros de rotación inerciales se puede lograr el rodamiento puro. Esto se conoce en el diseño de engranajes evolventes como el punto de paso, donde no hay deslizamiento relativo entre los engranajes. De hecho, la relación de transmisión entre las dos partes giratorias se encuentra en la relación de las dos distancias al centro relativo. En el ejemplo del Esquema 4, la relación de transmisión es${\displaystyle \gamma ={\frac {AD}{BD}}}$

El esquema 1 muestra un mecanismo de cuatro barras donde se ilustran varios centros instantáneos de rotación. El cuerpo rígido, representado por las letras BAC, está conectado mediante los eslabones P1 _- A y P2 _- B a una base o bastidor.

Las tres partes móviles de este mecanismo (la base permanece fija) son: el eslabón P ₁ -A, el eslabón P ₂ -B y el cuerpo BAC. Para cada una de estas tres partes se puede determinar un centro instantáneo de rotación.

Considerando el primer eslabón P ₁ -A: todos los puntos de este eslabón, incluido el punto A, giran alrededor del punto P ₁ . Dado que P ₁ es el único punto que no se mueve en el plano dado, puede denominarse el centro instantáneo de rotación de este eslabón. El punto A, situado a una distancia P ₁ -A de P ₁ , se mueve en un movimiento circular en una dirección perpendicular al eslabón P ₁ -A, como lo indica el vector V _A .

Lo mismo se aplica al enlace P ₂ -B: el punto P ₂ es el centro instantáneo de rotación para este enlace y el punto B se mueve en la dirección indicada por el vector V _B .

Para determinar el centro instantáneo de rotación del tercer elemento del mecanismo, el cuerpo BAC, se utilizan los dos puntos A y B porque se conocen sus características de movimiento, derivadas de la información sobre los eslabones P ₁ -A y P ₂ -B.

La dirección de la velocidad del punto A viene indicada por el vector V _A. Su centro instantáneo de rotación debe ser perpendicular a este vector (ya que V _A se encuentra tangencialmente sobre la circunferencia de un círculo). La única línea que cumple este requisito es una línea colineal con el enlace P ₁ -A. En algún punto de esta línea se encuentra el punto P, el centro instantáneo de rotación del cuerpo BAC.

Lo que se aplica al punto A también se aplica al punto B; por lo tanto, este centro instantáneo de rotación P se encuentra sobre una línea perpendicular al vector V _B , una línea colineal con el eslabón P ₂ -B. En consecuencia, el centro instantáneo de rotación P del cuerpo BAC es el punto donde se cruzan las líneas que pasan por P ₁ -A y P ₂ -B.

Dado que este centro instantáneo de rotación P es el centro de todos los puntos del cuerpo BAC para cualquier punto aleatorio, por ejemplo el punto C, se puede determinar la velocidad y la dirección del movimiento: conectando P con C, la dirección del movimiento del punto C es perpendicular a esta conexión. La velocidad es proporcional a la distancia al punto P.

Siguiendo este enfoque, con los dos eslabones P ₁ -A y P ₂ -B girando alrededor de sus respectivos centros instantáneos de rotación, se puede determinar la centroide del centro instantáneo de rotación P. A partir de esto, se puede determinar la trayectoria del movimiento de C o de cualquier otro punto del cuerpo BAC.

En la investigación biomecánica, se observa el centro instantáneo de rotación para el funcionamiento de las articulaciones de las extremidades superiores e inferiores. ^{[ 3 ]} Por ejemplo, al analizar la rodilla , ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]} el tobillo , ^{[ 7 ]} o las articulaciones del hombro . ^{[ 8 ] [ 9 ]} Este conocimiento ayuda en el desarrollo de articulaciones artificiales y prótesis , como las del codo ^{[ 10 ]} o las de los dedos. ^{[ 11 ]}

Estudio de las articulaciones de los caballos: "...los vectores de velocidad determinados a partir de los centros instantáneos de rotación indicaron que las superficies articulares se deslizan unas sobre otras." ^{[ 12 ]}

Estudios sobre el giro de una embarcación que se mueve a través del agua. ^{[ 13 ]}

Las características de frenado de un automóvil pueden mejorarse variando el diseño del mecanismo del pedal de freno. ^{[ 14 ]}

Diseñar la suspensión de una bicicleta, ^{[ 15 ]} o de un automóvil. ^{[ 16 ]}

En el caso del eslabón de acoplamiento en un mecanismo de cuatro barras , como una suspensión de doble horquilla vista de frente, las perpendiculares a la velocidad se encuentran a lo largo de los eslabones que unen el eslabón fijo con el eslabón de acoplamiento. Esta construcción se utiliza para determinar el centro de balanceo cinemático de la suspensión.