La desigualdad de Muirhead

Para cualquier vector real

${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})}$

Definimos la " a -media" [ a ] de los números reales positivos x ₁ , ..., x _n mediante

${\displaystyle [a]={\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma }x_{\sigma _{1}}^{a_{1}}\cdots x_{\sigma _{n}}^{a_{n}},}$

donde la suma se extiende sobre todas las permutaciones σ de { 1, ..., n }.

Cuando los elementos de a son enteros no negativos, la media de a se puede definir de forma equivalente mediante el polinomio simétrico monomial.${\displaystyle m_{a}(x_{1},\dots ,x_{n})}$como

${\displaystyle [a]={\frac {k_{1}!\cdots k_{l}!}{n!}}m_{a}(x_{1},\dots ,x_{n}),}$

donde ℓ es el número de elementos distintos en a , y k ₁ , ..., k _ℓ son sus multiplicidades.

Nótese que la media a, tal como se definió anteriormente, solo tiene las propiedades habituales de una media (por ejemplo, si la media de números iguales es igual a ellos) si${\displaystyle a_{1}+\cdots +a_{n}=1}$En el caso general, se puede considerar en su lugar${\displaystyle [a]^{1/(a_{1}+\cdots +a_{n})}}$, que se denomina media de Muirhead . ^{[ 1 ]}

Ejemplos

• Para a = (1, 0, ..., 0), la media de a es simplemente la media aritmética ordinaria de x ₁ , ..., x _n .
• Para a = (1/ n , ..., 1/ n ), la media a es la media geométrica de x ₁ , ..., x _n .
• Para a = ( x , 1 − x ), la media de a es la media de Heinz .
• La media de Muirhead para a = (−1, 0, ..., 0) es la media armónica .

Una matriz P de n × n es doblemente estocástica si y solo si tanto P como su transpuesta P ^T son matrices estocásticas . Una matriz estocástica es una matriz cuadrada de elementos reales no negativos cuya suma de los elementos de cada columna es igual a 1. Por lo tanto, una matriz doblemente estocástica es una matriz cuadrada de elementos reales no negativos cuya suma de los elementos de cada fila y la suma de los elementos de cada columna es igual a 1.

Debido a la simetría de la suma, no se pierde generalidad al ordenar los exponentes en orden descendente:

${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}}$

${\displaystyle b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n}.}$

Entonces, la existencia de una matriz doblemente estocástica P tal que a = Pb es equivalente al siguiente sistema de desigualdades:

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}&\leq b_{1}\\a_{1}+a_{2}&\leq b_{1}+b_{2}\\a_{1}+a_{2}+a_{3}&\leq b_{1}+b_{2}+b_{3}\\&\,\,\,\vdots \\a_{1}+\cdots +a_{n-1}&\leq b_{1}+\cdots +b_{n-1}\\a_{1}+\cdots +a_{n}&=b_{1}+\cdots +b_{n}.\end{aligned}}}$

(La última es una igualdad; las demás son desigualdades débiles).

La secuencia${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}}$Se dice que mayoriza la secuencia${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$.

Dejar

${\displaystyle a_{G}=\left({\frac {1}{n}},\ldots ,{\frac {1}{n}}\right)}$

y

${\displaystyle a_{A}=(1,0,0,\ldots ,0).}$

Tenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{A1}=1&>a_{G1}={\frac {1}{n}},\\a_{A1}+a_{A2}=1&>a_{G1}+a_{G2}={\frac {2}{n}},\\&\,\,\,\vdots \\a_{A1}+\cdots +a_{An}&=a_{G1}+\cdots +a_{Gn}=1.\end{aligned}}}$

Entonces

[ a _A ] ≥ [ a _G ],

que es

${\displaystyle {\frac {1}{n!}}(x_{1}^{1}\cdot x_{2}^{0}\cdots x_{n}^{0}+\cdots +x_{1}^{0}\cdots x_{n}^{1})(n-1)!\geq {\frac {1}{n!}}(x_{1}\cdot \cdots \cdot x_{n})^{1/n}n!}$

lo que produce la desigualdad.

Buscamos demostrar que x² + y² ≥ 2xy utilizando el método de agrupamiento (desigualdad de Muirhead). Lo transformamos en la notación de suma ^{simétrica :}

${\displaystyle \sum _{\mathrm {sym} }x^{2}y^{0}\geq \sum _{\mathrm {sym} }x^{1}y^{1}.}$

La secuencia (2, 0) mayoriza la secuencia (1, 1), por lo tanto, la desigualdad se cumple por agrupamiento.

De manera similar, podemos demostrar la desigualdad.

${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}\geq 3xyz}$

escribiéndolo usando la notación de suma simétrica como

${\displaystyle \sum _{\mathrm {sym} }x^{3}y^{0}z^{0}\geq \sum _{\mathrm {sym} }x^{1}y^{1}z^{1},}$

que es lo mismo que

${\displaystyle 2x^{3}+2y^{3}+2z^{3}\geq 6xyz.}$

Dado que la secuencia (3, 0, 0) mayoriza la secuencia (1, 1, 1), la desigualdad se cumple por agrupamiento.