Optimización multiobjetivo

En economía , muchos problemas implican múltiples objetivos junto con restricciones sobre qué combinaciones de esos objetivos son alcanzables. Por ejemplo, la demanda de los consumidores por diversos bienes se determina mediante el proceso de maximización de la utilidad derivada de esos bienes, sujeto a una restricción basada en la cantidad de ingresos disponibles para gastar en ellos y en sus precios. Esta restricción permite comprar más de un bien solo a costa de consumir menos de otro; por lo tanto, los distintos objetivos (se prefiere un mayor consumo de cada bien) entran en conflicto entre sí. Un método común para analizar este problema es utilizar un gráfico de curvas de indiferencia , que representan las preferencias, y una restricción presupuestaria , que representa las disyuntivas a las que se enfrenta el consumidor.

Otro ejemplo es la frontera de posibilidades de producción , que especifica qué combinaciones de bienes puede producir una sociedad con determinadas cantidades de recursos. Esta frontera indica las disyuntivas a las que se enfrenta la sociedad: si utiliza plenamente sus recursos, solo podrá producir más de un bien a costa de producir menos de otro. Por lo tanto, la sociedad debe emplear algún proceso para elegir entre las posibilidades que ofrece la frontera.

La formulación de políticas macroeconómicas es un contexto que requiere optimización multiobjetivo. Por lo general, un banco central debe elegir una postura de política monetaria que equilibre objetivos contrapuestos: baja inflación , bajo desempleo , bajo déficit de la balanza comercial , etc. Para ello, el banco central utiliza un modelo económico que describe cuantitativamente las diversas relaciones causales en la economía; simula el modelo repetidamente bajo diferentes posturas posibles de política monetaria, con el fin de obtener un conjunto de posibles resultados previstos para las diversas variables de interés. En principio, puede utilizar una función objetivo agregada para evaluar los conjuntos alternativos de resultados previstos, aunque en la práctica los bancos centrales utilizan un proceso no cuantitativo, basado en el juicio, para clasificar las alternativas y tomar la decisión de política.

En finanzas , un problema común es elegir una cartera cuando existen dos objetivos contrapuestos: el deseo de que el valor esperado de los rendimientos de la cartera sea lo más alto posible y el deseo de que el riesgo , a menudo medido por la desviación estándar de los rendimientos de la cartera, sea lo más bajo posible. Este problema se suele representar mediante un gráfico en el que la frontera eficiente muestra las mejores combinaciones de riesgo y rendimiento esperado disponibles, y en el que las curvas de indiferencia muestran las preferencias del inversor por diversas combinaciones de riesgo y rendimiento esperado. El problema de optimizar una función del valor esperado (primer momento ) y la desviación estándar ( raíz cuadrada del segundo momento central ) del rendimiento de la cartera se denomina modelo de decisión de dos momentos .

En ingeniería y economía , muchos problemas involucran múltiples objetivos que no se pueden describir como "cuanto más, mejor" o "cuanto menos, mejor"; en cambio, existe un valor objetivo ideal para cada objetivo, y el deseo es acercarse lo más posible al valor deseado de cada uno. Por ejemplo, los sistemas energéticos suelen tener una compensación entre rendimiento y costo ^{[ 5 ] [ 6 ]} o se podría querer ajustar el uso de combustible y la orientación de un cohete para que llegue a un lugar y a un momento específicos; o se podría querer realizar operaciones de mercado abierto de manera que tanto la tasa de inflación como la tasa de desempleo estén lo más cerca posible de sus valores deseados.

Con frecuencia, estos problemas están sujetos a restricciones de igualdad lineal que impiden que todos los objetivos se cumplan perfectamente de forma simultánea, especialmente cuando el número de variables controlables es menor que el número de objetivos y cuando la presencia de perturbaciones aleatorias genera incertidumbre. Comúnmente se utiliza una función objetivo cuadrática multiobjetivo , donde el costo asociado a un objetivo aumenta cuadráticamente con la distancia del objetivo a su valor ideal. Dado que estos problemas suelen implicar el ajuste de las variables controladas en distintos momentos y/o la evaluación de los objetivos en distintos momentos, se emplean técnicas de optimización intertemporal . ^{[ 7 ]}

El diseño de productos y procesos puede mejorarse considerablemente mediante técnicas modernas de modelado, simulación y optimización. La clave del diseño óptimo reside en determinar qué aspectos son buenos o deseables en un diseño. Antes de buscar diseños óptimos, es fundamental identificar las características que más contribuyen al valor general del diseño. Un buen diseño suele abarcar múltiples criterios u objetivos, como el coste de capital/inversión, el coste operativo, el beneficio, la calidad y/o la recuperación del producto, la eficiencia, la seguridad del proceso , el tiempo de operación, etc. Por lo tanto, en la práctica, el rendimiento del diseño de procesos y productos se suele medir en función de múltiples objetivos. Estos objetivos suelen ser contradictorios; es decir, lograr el valor óptimo para un objetivo requiere ciertas concesiones en uno o más objetivos.

Por ejemplo, al diseñar una fábrica de papel, se puede buscar disminuir la inversión de capital y, al mismo tiempo, mejorar la calidad del papel. Si el diseño de la fábrica se define por grandes volúmenes de almacenamiento y la calidad del papel por parámetros de calidad, entonces el problema del diseño óptimo puede incluir objetivos como: i) minimizar la variación esperada de dichos parámetros de calidad respecto a sus valores nominales, ii) minimizar el tiempo esperado de roturas y iii) minimizar el costo de inversión de los volúmenes de almacenamiento. En este caso, el volumen máximo de las torres es una variable de diseño. Este ejemplo de diseño óptimo de una fábrica de papel es una simplificación del modelo utilizado en ^{[ 8 ]} . La optimización de diseño multiobjetivo también se ha implementado en sistemas de ingeniería en circunstancias tales como la optimización de la disposición del gabinete de control, ^{[ 9 ]} la optimización de la forma del perfil aerodinámico utilizando flujos de trabajo científicos, ^{[ 10 ]} el diseño de nano- CMOS , ^{[ 11 ]} el diseño de sistemas en chip , el diseño de sistemas de riego alimentados por energía solar, ^{[ 12 ]} la optimización de sistemas de moldes de arena, ^{[ 13 ] [ 14 ]} el diseño de motores, ^{[ 15 ] [ 16 ]} el despliegue óptimo de sensores ^{[ 17 ]} y el diseño óptimo de controladores. ^{[ 18 ] [ 19 ]}

Multi-objective optimization has been increasingly employed in chemical engineering and manufacturing. In 2009, Fiandaca and Fraga used the multi-objective genetic algorithm (MOGA) to optimize the pressure swing adsorption process (cyclic separation process). The design problem involved the dual maximization of nitrogen recovery and nitrogen purity. The results approximated the Pareto frontier well with acceptable trade-offs between the objectives.^[20]

In 2010, Sendín et al. solved a multi-objective problem for the thermal processing of food. They tackled two case studies (bi-objective and triple-objective problems) with nonlinear dynamic models. They used a hybrid approach consisting of the weighted Tchebycheff and the Normal Boundary Intersection approach. The novel hybrid approach was able to construct a Pareto optimal set for the thermal processing of foods.^[21]

In 2013, Ganesan et al. carried out the multi-objective optimization of the combined carbon dioxide reforming and partial oxidation of methane. The objective functions were methane conversion, carbon monoxide selectivity, and hydrogen to carbon monoxide ratio. Ganesan used the Normal Boundary Intersection (NBI) method in conjunction with two swarm-based techniques (Gravitational Search Algorithm (GSA) and Particle Swarm Optimization (PSO)) to tackle the problem.^[22] Applications involving chemical extraction^[23] and bioethanol production processes^[24] have posed similar multi-objective problems.

In 2013, Abakarov et al. proposed an alternative technique to solve multi-objective optimization problems arising in food engineering.^[25] The Aggregating Functions Approach, the Adaptive Random Search Algorithm, and the Penalty Functions Approach were used to compute the initial set of the non-dominated or Pareto-optimal solutions. The Analytic Hierarchy Process and Tabular Method were used simultaneously for choosing the best alternative among the computed subset of non-dominated solutions for osmotic dehydration processes.^[26]

In 2018, Pearce et al. formulated task allocation to human and robotic workers as a multi-objective optimization problem, considering production time and the ergonomic impact on the human worker as the two objectives considered in the formulation. Their approach used a Mixed-Integer Linear Program to solve the optimization problem for a weighted sum of the two objectives to calculate a set of Pareto optimal solutions. Applying the approach to several manufacturing tasks showed improvements in at least one objective in most tasks and in both objectives in some of the processes.^[27]

The purpose of radio resource management is to satisfy the data rates that are requested by the users of a cellular network.^[28] The main resources are time intervals, frequency blocks, and transmit powers. Each user has its own objective function that, for example, can represent some combination of the data rate, latency, and energy efficiency. These objectives are conflicting since the frequency resources are very scarce, thus there is a need for tight spatial frequency reuse which causes immense inter-user interference if not properly controlled. Multi-user MIMO techniques are nowadays used to reduce the interference by adaptive precoding. The network operator would like to both bring great coverage and high data rates, thus the operator would like to find a Pareto optimal solution that balance the total network data throughput and the user fairness in an appropriate subjective manner.

Radio resource management is often solved by scalarization; that is, selection of a network utility function that tries to balance throughput and user fairness. The choice of utility function has a large impact on the computational complexity of the resulting single-objective optimization problem.^[28] For example, the common utility of weighted sum rate gives an NP-hard problem with a complexity that scales exponentially with the number of users, while the weighted max-min fairness utility results in a quasi-convex optimization problem with only a polynomial scaling with the number of users.^[29]

La reconfiguración, mediante el intercambio de los enlaces funcionales entre los elementos del sistema, representa una de las medidas más importantes que pueden mejorar el rendimiento operativo de un sistema de distribución. El problema de optimización a través de la reconfiguración de un sistema de distribución de energía, en términos de su definición, es un problema histórico de un solo objetivo con restricciones. Desde 1975, cuando Merlin y Back ^{[ 30 ]} introdujeron la idea de la reconfiguración del sistema de distribución para la reducción de pérdidas de potencia activa, hasta la actualidad, muchos investigadores han propuesto diversos métodos y algoritmos para resolver el problema de reconfiguración como un problema de un solo objetivo. Algunos autores han propuesto enfoques basados ​​en la optimalidad de Pareto (incluyendo pérdidas de potencia activa e índices de confiabilidad como objetivos). Para este propósito, se han utilizado diferentes métodos basados ​​en inteligencia artificial: microgenética, ^{[ 31 ]} intercambio de ramas, ^{[ 32 ]} optimización por enjambre de partículas ^{[ 33 ]} y algoritmo genético de clasificación no dominada. ^{[ 34 ]}

La inspección autónoma de infraestructuras tiene el potencial de reducir costos, riesgos e impactos ambientales, además de garantizar un mejor mantenimiento periódico de los activos inspeccionados. Por lo general, la planificación de dichas misiones se ha considerado un problema de optimización de un solo objetivo, donde se busca minimizar la energía o el tiempo invertido en la inspección de una estructura objetivo completa. ^{[ 35 ]} Sin embargo, para estructuras complejas del mundo real, cubrir el 100 % de un objetivo de inspección no es factible, y la generación de un plan de inspección puede considerarse mejor como un problema de optimización multiobjetivo, donde se busca maximizar la cobertura de la inspección y minimizar el tiempo y los costos. Un estudio reciente ha indicado que la planificación de inspecciones multiobjetivo tiene el potencial de superar a los métodos tradicionales en estructuras complejas. ^{[ 36 ]}

El método de la función de utilidad supone que la función de utilidad del decisor está disponible. Un mapeo${\displaystyle u\colon Y\rightarrow \mathbb {R} }$es una función de utilidad si para todo${\displaystyle \mathbf {y} ^{1},\mathbf {y} ^{2}\en Y}$sostiene que${\displaystyle u(\mathbf {y} ^{1})>u(\mathbf {y} ^{2})}$si quien toma la decisión lo prefiere${\displaystyle \mathbf {y} ^{1}}$a${\displaystyle \mathbf {y} ^{2}}$, y${\displaystyle u(\mathbf {y} ^{1})=u(\mathbf {y} ^{2})}$si el responsable de la toma de decisiones es indiferente entre${\displaystyle \mathbf {y} ^{1}}$y${\displaystyle \mathbf {y} ^{2}}$La función de utilidad especifica un ordenamiento de los vectores de decisión (recordemos que los vectores pueden ordenarse de muchas maneras diferentes). Una vez${\displaystyle u}$una vez obtenido, basta con resolver

${\displaystyle \max \;u(\mathbf {f} (\mathbf {x} )){\text{ sujeto a }}\mathbf {x} \in X,}$

pero en la práctica, es muy difícil construir una función de utilidad que represente con precisión las preferencias del responsable de la toma de decisiones, ^{[ 2 ]} particularmente porque el frente de Pareto es desconocido antes de que comience la optimización.

El método lexicográfico supone que los objetivos pueden clasificarse en orden de importancia. Suponemos que las funciones objetivo están en orden de importancia de modo que${\displaystyle f_{1}}$es lo más importante y${\displaystyle f_{k}}$El menos importante para quien toma las decisiones. Bajo esta premisa, se pueden utilizar diversos métodos para alcanzar la solución lexicográficamente óptima. Cabe destacar que aquí no se especifica ningún valor objetivo, lo que lo diferencia del método de Programación por Objetivos Lexicográficos .

La escalarización de un problema de optimización multiobjetivo es un método a priori, que consiste en formular un problema de optimización monoobjetivo de tal manera que las soluciones óptimas de dicho problema sean soluciones óptimas de Pareto para el problema de optimización multiobjetivo. ^{[ 3 ]} Además, a menudo se requiere que cada solución óptima de Pareto pueda alcanzarse con ciertos parámetros de la escalarización. ^{[ 3 ]} Con diferentes parámetros para la escalarización, se obtienen diferentes soluciones óptimas de Pareto. Una formulación general para la escalarización de un problema de optimización multiobjetivo es:

${\displaystyle {\begin{array}{ll}\min &g(f_{1}(x),\ldots ,f_{k}(x),\theta )\\{\text{st}}&x\in X_{\theta }\end{array}}}$

dónde${\displaystyle \theta }$es un parámetro vectorial, el conjunto${\displaystyle X_{\theta }\subseteq X}$es un conjunto que depende del parámetro${\displaystyle \theta }$, y${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{k+1}\rightarrow \mathbb {R} }$es una función.

Algunos ejemplos muy conocidos son:

• escalarización lineal

${\displaystyle \min _{x\in X}\sum _{i=1}^{k}w_{i}f_{i}(x)}$

donde los pesos de los objetivos${\displaystyle w_{i}>0}$son los parámetros de la escalarización.

• ${\displaystyle \epsilon }$-método de restricción (véase, por ejemplo ^{, [ 2 ]} )

${\displaystyle {\begin{array}{ll}\min &f_{j}(x)\\{\text{st}}&x\in X\\&f_{i}(x)\leq \epsilon _{i}{\text{ para }}i\in \{1,\ldots ,k\}\setminus \{j\}\end{array}}}$

donde límites superiores${\displaystyle \epsilon _{j}}$son parámetros como arriba y${\displaystyle f_{j}}$es el objetivo a minimizar.

Algunos ejemplos algo más avanzados son los siguientes:

• problemas de escalarización de logros de Wierzbicki ^{[ 41 ]}

Un ejemplo de los problemas de escalarización de logros se puede formular como:

${\displaystyle {\begin{aligned}\min &\max _{i=1,\ldots ,k}\left[{\frac {f_{i}(x)-{\bar {z}}_{i}}{z_{i}^{nadir}-z_{i}^{utop}}}\right]+\rho \sum _{i=1}^{k}{\frac {f_{i}(x)}{z_{i}^{nadir}-z_{i}^{utop}}}\\{\text{s.t. }}&x\in S\end{aligned}}}$

donde el término${\displaystyle \rho \sum _{i=1}^{k}{\frac {f_{i}(x)}{z_{i}^{nadir}-z_{i}^{utop}}}}$se denomina término de aumento,${\displaystyle \rho >0}$es una pequeña constante, y${\displaystyle z^{nadir}}$y${\displaystyle z^{utop}}$son los vectores nadir y utópico , respectivamente. En el problema anterior, el parámetro es el llamado punto de referencia.${\displaystyle {\bar {z}}}$que representan los valores de la función objetivo preferidos por quien toma las decisiones.

• Programación multiobjetivo de Sen ^{[ 42 ]}

${\displaystyle {\begin{array}{ll}\max &{\frac {\sum _{j=1}^{r}Z_{j}}{W_{j}}}-{\frac {\sum _{j=r+1}^{s}Z_{j}}{W_{r+1}}}\\{\text{s.t. }}&AX=b\\&X\geq 0\end{array}}}$

dónde${\displaystyle W_{j}}$es óptimo individual (absoluto) para objetivos de maximización${\displaystyle r}$y minimización${\displaystyle r+1}$a${\displaystyle s}$.

• hipervolumen/escalarización de Chebyshev ^{[ 43 ]}

${\displaystyle \min _{x\in X}\max _{i}{\frac {f_{i}(x)}{w_{i}}}}$

donde los pesos de los objetivos${\displaystyle w_{i}>0}$son los parámetros de la escalarización. Si los parámetros/pesos se extraen uniformemente en el ortante positivo, se demuestra que esta escalarización converge de forma demostrable al frente de Pareto , ^{[ 43 ]} incluso cuando el frente no es convexo.

La escalarización de Chebyshev suave ^{[ 44 ]} , también llamada escalarización de Chebyshev suave (STCH), reemplaza el operador máximo no diferenciable de la escalarización de Chebyshev clásica con un softmax logarítmico suave, lo que permite la aplicación de la optimización estándar basada en gradientes. A diferencia de los métodos de escalarización típicos, garantiza la exploración de todo el frente de Pareto, ya sea convexo o cóncavo.

Definición

Para un problema de minimización con funciones objetivo${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}}$y el vector objetivo ideal${\displaystyle z^{\mathrm {ideal} }\in \mathbb {R} ^{k}}$, la función de escalarización de Chebyshev suave es

${\displaystyle g_{u}^{\mathrm {STCH} }\!{\bigl (}x\mid {\boldsymbol {\lambda }}{\bigr )}=u\,\ln \!{\Bigl (}\sum _{i=1}^{k}\exp \!{\bigl (}{\tfrac {\lambda _{i}\,[\,f_{i}(x)-z_{i}^{\mathrm {ideal} }\,]}{u}}{\bigr )}{\Bigr )},\qquad u>0,\;{\boldsymbol {\lambda }}\in \Delta _{k-1},}$

dónde${\displaystyle u}$es el parámetro de suavizado y${\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}=(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k})}$es un vector de pesos en el simplex de probabilidad${\displaystyle \Delta _{k-1}}$.

Como${\displaystyle u\to 0^{+}}$Esto converge a la forma clásica (no suave) de Chebyshev.

${\displaystyle g^{\mathrm {TCH} }\!{\bigl (}x\mid {\boldsymbol {\lambda }}{\bigr )}=\max _{i}\lambda _{i}\,[\,f_{i}(x)-z_{i}^{\mathrm {ideal} }\,].}$

El parámetro${\displaystyle u}$controla el equilibrio entre la diferenciabilidad y la precisión de la aproximación: los valores más pequeños dan como resultado una coincidencia más cercana con la escalarización clásica de Chebyshev, pero reducen la constante de Lipschitz del gradiente, mientras que los valores más grandes dan una superficie más suave a costa de una aproximación menos precisa.

Propiedades

• Suavidad y complejidad —${\displaystyle g_{u}^{\mathrm {STCH} }}$es continuamente diferenciable con un${\displaystyle L}$-Gradiente de Lipschitz. Cuando cada${\displaystyle f_{i}}$es convexa la función es convexa y una${\displaystyle \varepsilon }$-el punto óptimo es alcanzable en${\displaystyle {\mathcal {O}}(1/\varepsilon )}$iteraciones de primer orden; descenso de subgradiente en${\displaystyle g^{\mathrm {TCH} }}$necesidades${\displaystyle {\mathcal {O}}(1/\varepsilon ^{2})}$iteraciones. ^{[ 44 ]}
• Optimalidad de Pareto : para cualquier${\displaystyle u>0}$todo minimizador de${\displaystyle g_{u}^{\mathrm {STCH} }(\cdot \mid {\boldsymbol {\lambda }})}$es débilmente Pareto óptimo; si todos${\displaystyle \lambda _{i}>0}$(o el minimizador es único) es Pareto-óptimo. ^{[ 44 ]}
• Exhaustividad : existe un umbral${\displaystyle u^{*}>0}$de tal manera que, para${\displaystyle 0<u<u^{*}}$, cada punto óptimo de Pareto se puede obtener como un minimizador de${\displaystyle g_{u}^{\mathrm {STCH} }}$para algún vector de peso${\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}}$; cuando el frente de Pareto es convexo, esto se cumple para todos${\displaystyle u>0}$. ^{[ 44 ]}

Por ejemplo, la optimización de carteras se suele realizar mediante un análisis de media-varianza . En este contexto, el conjunto eficiente es un subconjunto de las carteras parametrizado por la rentabilidad media de la cartera.${\displaystyle \mu _{P}}$en el problema de elegir acciones de cartera para minimizar la varianza de la rentabilidad de la cartera.${\displaystyle \sigma _{P}}$sujeto a un valor dado de${\displaystyle \mu _{P}}$; consulte el teorema de separación de fondos mutuos para obtener más detalles. Alternativamente, el conjunto eficiente puede especificarse eligiendo las acciones de la cartera para maximizar la función.${\displaystyle \mu _{P}-b\sigma _{P}}$; el conjunto de carteras eficientes consta de las soluciones como${\displaystyle b}$abarca desde cero hasta el infinito.

Algunas de las escalarizaciones anteriores implican invocar el principio minimax , donde siempre se optimiza el peor de los diferentes objetivos. ^{[ 45 ]}

Ejemplos conocidos de métodos a posteriori basados ​​en programación matemática son la Intersección de Límite Normal (NBI), ^{[ 46 ]} la Intersección de Límite Normal Modificada (NBIm), ^{[ 47 ]} la Restricción Normal (NC), ^{[ 48 ] [ 49 ]} la Optimización de Pareto Sucesiva (SPO), ^{[ 50 ]} y el Dominio de Búsqueda Dirigida (DSD) ^{[ 51 ]} , que resuelven el problema de optimización multiobjetivo mediante la construcción de varias escalarizaciones. La solución de cada escalarización produce una solución óptima de Pareto, ya sea local o globalmente. Las escalarizaciones de los métodos NBI, NBIm, NC y DSD se construyen para obtener puntos de Pareto distribuidos uniformemente que proporcionan una buena aproximación del conjunto real de puntos de Pareto.

Los algoritmos evolutivos son enfoques populares para generar soluciones óptimas de Pareto para un problema de optimización multiobjetivo. La mayoría de los algoritmos evolutivos de optimización multiobjetivo (EMO) aplican esquemas de clasificación basados ​​en Pareto. Los algoritmos evolutivos como el Algoritmo Genético de Clasificación No Dominada-II (NSGA-II), ^{[ 52 ]} su versión extendida NSGA-III, ^{[ 53 ] [ 54 ]} el Algoritmo Evolutivo de Pareto de Fuerza 2 (SPEA-2) ^{[ 55 ]} y las variantes de evolución diferencial multiobjetivo se han convertido en enfoques estándar, aunque algunos esquemas basados ​​en la optimización por enjambre de partículas y el recocido simulado ^{[ 56 ]} son ​​significativos. La principal ventaja de los algoritmos evolutivos, cuando se aplican para resolver problemas de optimización multiobjetivo, es el hecho de que normalmente generan conjuntos de soluciones, lo que permite el cálculo de una aproximación de todo el frente de Pareto. La principal desventaja de los algoritmos evolutivos es su menor velocidad y que no se puede garantizar la optimalidad de Pareto de las soluciones; Solo se sabe que ninguna de las soluciones generadas está dominada por otra.

Recientemente se mejoró otro paradigma para la optimización multiobjetivo basado en la novedad mediante algoritmos evolutivos. ^{[ 57 ]} Este paradigma busca soluciones novedosas en el espacio objetivo (es decir, búsqueda de novedad ^{[ 58 ]} en el espacio objetivo) además de la búsqueda de soluciones no dominadas. La búsqueda de novedad actúa como peldaños que guían la búsqueda hacia lugares previamente inexplorados. Es especialmente útil para superar sesgos y estancamientos, así como para guiar la búsqueda en problemas de optimización multiobjetivo.

Los métodos condicionales de aprendizaje profundo son nuevos enfoques para generar varias soluciones óptimas de Pareto. La idea es utilizar la capacidad de generalización de las redes neuronales profundas para aprender un modelo de todo el frente de Pareto a partir de un número limitado de ejemplos de compensaciones a lo largo de ese frente, una tarea denominada aprendizaje del frente de Pareto . ^{[ 59 ]} Varios enfoques abordan esta configuración, incluyendo el uso de hiperredes ^{[ 59 ]} y el descenso de gradiente variacional de Stein. ^{[ 60 ]}

A continuación se enumeran los métodos a posteriori más conocidos:

• Evolución guiada por aproximación (primer algoritmo que implementa y optimiza directamente el concepto formal de aproximación de la informática teórica) ^{[ 61 ]}
• El algoritmo de Benson para programas lineales multiobjetivo y para programas convexos multiobjetivo.
• Dominio de búsqueda dirigida (DSD) ^{[ 62 ]}
• Método de restricción ε ^{[ 63 ] [ 64 ]}
• IOSO (Optimización Indirecta basada en la Autoorganización)
• MOEA/D (Algoritmo Evolutivo Multiobjetivo basado en la Descomposición) ^{[ 65 ]}

• Intersección de límites normales modificada (NBIm) ^{[ 47 ]}
• Ramificación y acotación multiobjetivo ^{[ 66 ] [ 67 ] [ 68 ]}
• Optimización por enjambre de partículas multiobjetivo
• Intersección de límites normales (NBI) ^{[ 46 ]}
• Restricción normal (CN) ^{[ 48 ] [ 49 ]}
• NSGA-II (Algoritmo Genético de Clasificación No Dominada II) utiliza la clasificación no dominada y la distancia de aglomeración para la selección y el mantenimiento de la diversidad ^{[ 52 ].}
• NSGA-III (Algoritmo Genético de Clasificación No Dominada III) utiliza puntos de referencia y está diseñado para la optimización multiobjetivo ^{[ 69 ].}
• Hiperredes de Pareto ^{[ 59 ]}
• PGEN (Generación de superficies de Pareto para instancias multiobjetivo convexas) ^{[ 70 ]}
• Optimización de búsqueda reactiva (que utiliza aprendizaje automático para adaptar estrategias y objetivos), ^{[ 71 ] [ 72 ]} implementada en LIONsolver
• SMS-EMOA (algoritmo multiobjetivo evolutivo de selección métrica S). Utiliza la selección basada en el indicador de hipervolumen (métrica S) de una aproximación del frente de Pareto. ^{[ 73 ]}
• SPEA2 (Strength Pareto Evolutionary Algorithm 2), un algoritmo evolutivo basado en poblaciones que utiliza recuentos de dominancia de Pareto para la convergencia y estimación de densidad para el mantenimiento de la diversidad ^{[ 74 ].}
• Algoritmo de subpoblación basado en la novedad ^{[ 57 ]}
• Optimización de Pareto Sucesiva (SPO) ^{[ 50 ]}

Existen diferentes métodos interactivos que involucran diferentes tipos de información de preferencias. Se pueden identificar tres tipos en función de:

1. información de compensación,
2. puntos de referencia y
3. clasificación de funciones objetivo. ^{[ 75 ]}

Por otro lado, un cuarto tipo de generación de una pequeña muestra de soluciones se incluye en: ^{[ 76 ] [ 77 ]} Un ejemplo del método interactivo que utiliza información de compensación es el método de Zionts-Wallenius , ^{[ 78 ]} donde al responsable de la toma de decisiones se le muestran varias compensaciones de objetivos en cada iteración, y se espera que diga si le gusta, le disgusta o le es indiferente con respecto a cada compensación. En los métodos basados ​​en puntos de referencia (véase, por ejemplo, ^{[ 79 ] [ 80 ]} ), se espera que el responsable de la toma de decisiones en cada iteración especifique un punto de referencia que consiste en valores deseados para cada objetivo y luego se calcula una o más soluciones óptimas de Pareto correspondientes y se les muestra para su análisis. En los métodos interactivos basados ​​en clasificación, se supone que el responsable de la toma de decisiones da preferencias en forma de clasificar los objetivos en la solución óptima de Pareto actual en diferentes clases, indicando cómo se deben cambiar los valores de los objetivos para obtener una solución más preferida. Luego, la información de clasificación se considera cuando se calculan nuevas soluciones óptimas de Pareto (más preferidas). En el método de compensación satisfactoria (STOM), ^{[ 81 ]} se utilizan tres clases: objetivos cuyos valores 1) deben mejorarse, 2) pueden relajarse y 3) son aceptables como tales. En el método NIMBUS, ^{[ 82 ] [ 83 ]} también se utilizan dos clases adicionales: objetivos cuyos valores 4) deben mejorarse hasta un límite dado y 5) pueden relajarse hasta un límite dado.

En el caso de problemas con dos objetivos, informar al responsable de la toma de decisiones sobre el frente de Pareto se suele realizar mediante su visualización: el frente de Pareto, a menudo denominado curva de compensación en este caso, se puede dibujar en el plano de los objetivos. La curva de compensación proporciona información completa sobre los valores de los objetivos y sobre las compensaciones entre ellos, lo que indica cómo la mejora de un objetivo se relaciona con el deterioro del segundo al moverse a lo largo de la curva de compensación. El responsable de la toma de decisiones tiene en cuenta esta información al especificar el punto óptimo de Pareto preferido para el objetivo. La idea de aproximar y visualizar el frente de Pareto fue introducida para problemas de decisión lineales con dos objetivos por S. Gass y T. Saaty. ^{[ 88 ]} Esta idea fue desarrollada y aplicada en problemas ambientales por JL Cohon. ^{[ 89 ] En [ 90 ] se proporciona una revisión de los métodos para aproximar el frente de} Pareto para varios problemas de decisión con un número pequeño de objetivos (principalmente, dos) ^.

Hay dos ideas genéricas para visualizar el frente de Pareto en problemas de decisión multiobjetivo de alto orden (problemas con más de dos objetivos). Una de ellas, que es aplicable en el caso de un número relativamente pequeño de puntos objetivos que representan el frente de Pareto, se basa en el uso de técnicas de visualización desarrolladas en estadística (diversos diagramas, etc.; véase la subsección correspondiente más adelante). La segunda idea propone la visualización de secciones transversales (rebanadas) biobjetivo del frente de Pareto. Fue introducida por WS Meisel en 1973 ^{[ 91 ]} quien argumentó que dichas rebanadas informan al tomador de decisiones sobre las compensaciones entre objetivos. Las figuras que muestran una serie de rebanadas biobjetivo del frente de Pareto para problemas de tres objetivos se conocen como mapas de decisión. Proporcionan una imagen clara de las compensaciones entre los tres criterios. Las desventajas de este enfoque están relacionadas con los dos hechos siguientes. Primero, los procedimientos computacionales para construir las secciones biobjetivo del frente de Pareto son inestables, ya que el frente de Pareto generalmente no es estable. Segundo, es aplicable en el caso de solo tres objetivos. En la década de 1980, la idea de WS Meisel se implementó de una forma diferente: en la técnica de Mapas de Decisión Interactivos (IDM). ^{[ 92 ]} Más recientemente, N. Wesner ^{[ 93 ]} propuso utilizar una combinación de un diagrama de Venn y múltiples diagramas de dispersión del espacio objetivo para explorar la frontera de Pareto y seleccionar soluciones óptimas.