Sistema multicuerpo

El estudio de sistemas multicuerpo se centra en el comportamiento dinámico de cuerpos rígidos o flexibles interconectados , cada uno de los cuales puede experimentar grandes desplazamientos de traslación y rotación .

El tratamiento sistemático del comportamiento dinámico de cuerpos interconectados ha dado lugar a numerosos formalismos multicuerpo importantes en el campo de la mecánica . Los cuerpos o elementos más simples de un sistema multicuerpo fueron tratados por Newton ( partícula libre ) y Euler (cuerpo rígido). Euler introdujo las fuerzas de reacción entre los cuerpos. Posteriormente, se derivaron diversos formalismos, entre los que cabe mencionar los de Lagrange , basados ​​en coordenadas mínimas, y una segunda formulación que introduce restricciones.

Básicamente, el movimiento de los cuerpos se describe mediante su comportamiento cinemático . El comportamiento dinámico resulta del equilibrio entre las fuerzas aplicadas y la tasa de cambio del momento lineal. Actualmente, el término sistema multicuerpo se relaciona con numerosos campos de investigación en ingeniería, especialmente en robótica y dinámica vehicular. Una característica importante es que los formalismos de sistemas multicuerpo suelen ofrecer un método algorítmico, asistido por computadora, para modelar, analizar, simular y optimizar el movimiento arbitrario de miles de cuerpos interconectados.

Si bien los cuerpos individuales o las partes de un sistema mecánico se estudian en detalle con métodos de elementos finitos, el comportamiento de todo el sistema multicuerpo se suele estudiar con métodos de sistemas multicuerpo dentro de las siguientes áreas:

• Ingeniería aeroespacial (helicópteros, trenes de aterrizaje, comportamiento de las máquinas bajo diferentes condiciones de gravedad)
• Biomecánica
• Motor de combustión , engranajes y transmisiones, transmisión por cadena , transmisión por correa
• Simulación dinámica
• Polipasto , cinta transportadora , fábrica de papel
• Aplicaciones militares
• Simulación de partículas (medios granulares, arena, moléculas)
• Motor de física
• Robótica
• Simulación de vehículos ( dinámica vehicular , prototipado rápido de vehículos, mejora de la estabilidad, optimización del confort, mejora de la eficiencia, ...)

El siguiente ejemplo muestra un sistema multicuerpo típico, conocido como mecanismo de biela-manivela. Este mecanismo transforma el movimiento rotacional en traslacional mediante una viga motriz giratoria, una biela y un cuerpo deslizante. En este ejemplo, se utiliza un cuerpo flexible como biela. La masa deslizante no puede rotar y se emplean tres articulaciones de revolución para conectar los cuerpos. Si bien cada cuerpo posee seis grados de libertad en el espacio, las condiciones cinemáticas dan como resultado un grado de libertad para el sistema completo.

El movimiento del mecanismo se puede observar en la siguiente animación GIF:

Un cuerpo se considera generalmente una parte rígida o flexible de un sistema mecánico (que no debe confundirse con el cuerpo humano). Un ejemplo de cuerpo es el brazo de un robot, una rueda o eje de un automóvil o el antebrazo humano. Un enlace es la conexión de dos o más cuerpos, o de un cuerpo con el suelo. El enlace se define por ciertas restricciones (cinemáticas) que limitan el movimiento relativo de los cuerpos. Las restricciones típicas son:

• Junta cardán o junta universal; 4 restricciones cinemáticas
• Articulación prismática ; se permite el desplazamiento relativo a lo largo de un eje, pero restringe la rotación relativa; implica 5 restricciones cinemáticas.
• Articulación de revolución ; solo se permite una rotación relativa; implica 5 restricciones cinemáticas; véase el ejemplo anterior.
• Articulación esférica ; restringe los desplazamientos relativos en un punto, se permite la rotación relativa; implica 3 restricciones cinemáticas.

En los sistemas multicuerpo existen dos términos importantes: grado de libertad y condición de restricción.

Las ecuaciones de movimiento se utilizan para describir el comportamiento dinámico de un sistema multicuerpo. Cada formulación de sistema multicuerpo puede dar lugar a una apariencia matemática diferente de las ecuaciones de movimiento, aunque la física subyacente sea la misma. El movimiento de los cuerpos restringidos se describe mediante ecuaciones que se derivan básicamente de la segunda ley de Newton. Las ecuaciones se escriben para el movimiento general de los cuerpos individuales con la adición de condiciones de restricción. Generalmente, las ecuaciones de movimiento se derivan de las ecuaciones de Newton-Euler o de las ecuaciones de Lagrange .

El movimiento de los cuerpos rígidos se describe mediante

${\displaystyle \mathbf {M(q)} {\ddot {\mathbf {q} }}-\mathbf {Q} _{v}+\mathbf {C_{q}} ^{T}\mathbf {\lambda } =\mathbf {F} ,}$(1)

${\displaystyle \mathbf {C} (\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }})=0}$(2)

Este tipo de ecuaciones de movimiento se basan en las llamadas coordenadas redundantes, porque las ecuaciones utilizan más coordenadas que grados de libertad del sistema subyacente. Las coordenadas generalizadas se denotan por${\displaystyle \mathbf {q} }$, la matriz de masas está representada por${\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {q} )}$lo cual puede depender de las coordenadas generalizadas. ${\displaystyle \mathbf {C} }$representa las condiciones de restricción y la matriz${\displaystyle \mathbf {C_{q}} }$(a veces denominada jacobiana ) es la derivada de las condiciones de restricción con respecto a las coordenadas. Esta matriz se utiliza para aplicar fuerzas de restricción.${\displaystyle \mathbf {\lambda } }$a las ecuaciones correspondientes de los cuerpos. Los componentes del vector${\displaystyle \mathbf {\lambda } }$También se denominan multiplicadores de Lagrange. En un cuerpo rígido, las coordenadas posibles se pueden dividir en dos partes,

${\displaystyle \mathbf {q} =\left[\mathbf {u} \quad \mathbf {\Psi } \right]^{T}}$

dónde${\displaystyle \mathbf {u} }$representa traducciones y${\displaystyle \mathbf {\Psi } }$ describe las rotaciones.

Existen diversos casos en los que es necesario considerar la flexibilidad de los cuerpos. Por ejemplo, en aquellos casos en los que la flexibilidad desempeña un papel fundamental tanto en la cinemática como en los mecanismos flexibles.

La flexibilidad puede tenerse en cuenta de diferentes maneras. Existen tres enfoques principales:

• Multicuerpo flexible discreto, el cuerpo flexible se divide en un conjunto de cuerpos rígidos conectados por rigideces elásticas representativas de la elasticidad del cuerpo.
• Condensación modal, en la que la elasticidad se describe a través de un número finito de modos de vibración del cuerpo explotando los grados de libertad vinculados a la amplitud del modo.
• Flexión total: toda la flexibilidad del cuerpo se tiene en cuenta mediante la discretización del cuerpo en subelementos con desplazamientos individuales vinculados a las propiedades del material elástico.

• Simulación dinámica
• Simulación multicuerpo (técnicas de solución)
• Motor de física

• J. Wittenburg, Dinámica de sistemas de cuerpos rígidos, Teubner, Stuttgart (1977).
• J. Wittenburg, Dinámica de sistemas multicuerpo, Berlín, Springer (2008).
• K. Magnus, Dinámica de sistemas multicuerpo, Springer Verlag, Berlín (1978).
• PE Nikravesh, Análisis asistido por computadora de sistemas mecánicos, Prentice-Hall (1988).
• EJ Haug, Cinemática y dinámica de sistemas mecánicos asistidas por ordenador, Allyn and Bacon, Boston (1989).
• H. Bremer y F. Pfeiffer, Elastische Mehrkörpersysteme, BG Teubner, Stuttgart, Alemania (1992).
• J. García de Jalón, E. Bayo, Simulación cinemática y dinámica de sistemas multicuerpo: el desafío del tiempo real, Springer-Verlag, Nueva York (1994).
• AA Shabana, Dinámica de sistemas multicuerpo, Segunda edición, John Wiley & Sons (1998).
• M. Géradin, A. Cardona, Dinámica de multicuerpos flexibles: un enfoque de elementos finitos, Wiley, Nueva York (2001).
• E. Eich-Soellner, C. Führer, Numerical Methods in Multibody Dynamics, Teubner, Stuttgart, 1998 (reimpresión Lund, 2008).
• T. Wasfy y A. Noor, "Estrategias computacionales para sistemas multicuerpo flexibles", ASME. Appl. Mech. Rev. 2003;56(6):553-613. doi : 10.1115/1.1590354 .
• B. Brogliato, "Mecánica no suave. Modelos, dinámica y control", Springer International Publishing Switzerland, 3.ª edición, 2016.

• http://real.uwaterloo.ca/~mbody/ Enlaces recopilados de John McPhee