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En matemáticas, un conjunto multibrot es el conjunto de valores en el plano complejo cuyo valor absoluto permanece por debajo de algún valor finito a lo largo de las iteraciones de un miembro de la familia general de polinomios univariados mónicos de recursión . [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] El nombre es una combinación de multiple y Mandelbrot . Lo mismo se puede aplicar al conjunto de Julia , que se denomina conjunto multijulia .
donde d ≥ 2. El exponente d puede generalizarse aún más a valores negativos y fraccionarios. [ 4 ]
Ejemplos
El caso de
es el clásico conjunto de Mandelbrot del que deriva su nombre.
Los conjuntos para otros valores de d también muestran imágenes fractales [ 7 ] cuando se representan en el plano complejo.
Cada uno de los ejemplos de distintas potencias d que se muestran a continuación se representa a la misma escala. Los valores de c que pertenecen al conjunto se muestran en negro. Los valores de c que tienen un valor ilimitado bajo recursión, y que por lo tanto no pertenecen al conjunto, se representan en diferentes colores, que se muestran como contornos, dependiendo del número de recursiones que provocaron que un valor superara una magnitud fija en el algoritmo de tiempo de escape.
Poderes positivos
El ejemplo d = 2 corresponde al conjunto de Mandelbrot original. Los ejemplos para d > 2 suelen denominarse conjuntos multibrot . Estos conjuntos incluyen el origen y poseen perímetros fractales, con simetría rotacional de orden ( d − 1) .
Poderes negativos
Cuando d es negativo, el conjunto parece rodear el origen pero no lo incluye. Sin embargo, esto es solo un artefacto del radio máximo fijo permitido por el algoritmo de tiempo de escape, y no es un límite de los conjuntos que realmente tienen una forma en el medio sin un agujero (esto se puede ver usando el exponente de Lyapunov [sin agujero porque el origen diverge a indefinido, no al infinito porque el origen {0 o 0+0i} llevado a una potencia negativa se vuelve indefinido]). Hay un comportamiento complejo interesante en los contornos entre el conjunto y el origen, en un área en forma de estrella con simetría rotacional de (1 − d ) veces . Los conjuntos parecen tener un perímetro circular, sin embargo, esto es un artefacto del radio máximo fijo permitido por el algoritmo de tiempo de escape, y no es un límite de los conjuntos que realmente se extienden en todas las direcciones hasta el infinito.
Potencias fraccionarias
Representación a lo largo del exponente
Un método alternativo consiste en representar el exponente a lo largo del eje vertical. Esto requiere fijar el valor real o el imaginario y representar el valor restante a lo largo del eje horizontal. El conjunto resultante asciende verticalmente desde el origen en una columna estrecha hasta el infinito. La ampliación revela una complejidad creciente. El primer pico o elevación prominente se observa en un exponente de 2, la ubicación del conjunto de Mandelbrot tradicional en su sección transversal. La tercera imagen se representa en un plano fijo con un ángulo de 45 grados entre los ejes real e imaginario. [ 8 ]
Renderizado de imágenes
Todas las imágenes anteriores se renderizan utilizando un algoritmo de tiempo de escape que identifica puntos fuera del conjunto de forma sencilla. Se revela un detalle fractal mucho mayor al graficar el exponente de Lyapunov , [ 9 ] como se muestra en el ejemplo a continuación. El exponente de Lyapunov es la tasa de crecimiento del error de una secuencia dada. Primero se calcula la secuencia de iteración con N iteraciones, luego se calcula el exponente como
Si el exponente es negativo, la secuencia es estable. Los píxeles blancos de la imagen representan los parámetros c para los que el exponente es positivo, es decir, inestables. Los colores indican los periodos de los ciclos a los que se sienten atraídas las órbitas. Todos los puntos de color azul oscuro (exterior) son atraídos por un punto fijo; todos los puntos del centro (azul claro) son atraídos por un ciclo de periodo 2, y así sucesivamente.
Pseudocódigo
ALGORITMO DE TIEMPO DE ESCAPEpara cada píxel en la pantalla hacer x = x0 = coordenada x del píxel y = y0 = coordenada y del píxel iteración := 0 max_iteration := 1000 mientras (x*x + y*y ≤ (2*2) y iteración < iteración_máxima hacer /* INSERTAR CÓDIGO(S) PARA Z^d DE LA TABLA A CONTINUACIÓN */ iteración := iteración + 1 si iteración = iteración_máxima entonces color := negro demás color := iteración trazar(x0, y0, color)
El valor complejo z tiene coordenadas ( x , y ) en el plano complejo y se eleva a diversas potencias dentro del bucle de iteración mediante los códigos que se muestran en esta tabla. Las potencias que no aparecen en la tabla se pueden obtener concatenando los códigos mostrados.
Referencias
- ↑ "Definición de multibrots" . Consultado el 28 de septiembre de 2008 .
- ↑ "Multibrots" . Consultado el 28 de septiembre de 2008 .
- ↑ Wolf Jung. "Homeomorfismos en aristas del conjunto de Mandelbrot" (PDF) . pág. 23.
El conjunto multibrot Md es el lugar de conectividad de la familia de polinomios unicríticos
z
d
+
c
,
d
≥
2
- ↑ "Motor de conocimiento computacional WolframAlpha" .
- ↑ "23 hermosos fractales de JavaScript" . 23 de octubre de 2008. Archivado del original el 11 de agosto de 2014.
- ↑ "Fractales de Javascript" . Archivado del original el 19 de agosto de 2014.
- ↑ "Morf animado de multibrots d = − 7 a 7" . Recuperado el 28 de septiembre de 2008 .
- ↑ Generador de fractales , "Multibrot Slice"
- ↑ Ken Shirriff (septiembre de 1993). "Una investigación de fractales generados por z → 1/ z n + c " . Computers & Graphics . 17 (5): 603– 607. doi : 10.1016/0097-8493(93)90012-x . Consultado el 28 de septiembre de 2008 .
- Dinámica compleja
- Fractales
