número multicomplejo

En matemáticas , los sistemas de números multicomplejos${\displaystyle \mathbb {C} _ {n}}$se definen inductivamente de la siguiente manera: Sea C ₀ el sistema de números reales . Para cada n > 0, sea i _n una raíz cuadrada de  −1, es decir, una unidad imaginaria . Entonces${\displaystyle \mathbb {C} _{n+1}=\lbrace z=x+yi_{n+1}:x,y\in \mathbb {C} _{n}\rbrace }$. En los sistemas de números multicomplejos también se requiere que${\displaystyle i_{n}i_{m}=i_{m}i_{n}}$( conmutatividad ). Entonces${\displaystyle \mathbb {C} _ {1}}$es el sistema de números complejos ,${\displaystyle \mathbb {C} _ {2}}$es el sistema de numeración bicomplejo ,${\displaystyle \mathbb {C} _ {3}}$es el sistema de números tricomplejos de Corrado Segre y${\displaystyle \mathbb {C} _ {n}}$es el sistema de números multicomplejos de orden n .

Cada${\displaystyle \mathbb {C} _ {n}}$forma un álgebra de Banach . G. Bayley Price ha escrito sobre la teoría de funciones de sistemas multicomplejos, proporcionando detalles para el sistema bicomplejo.${\displaystyle \mathbb {C} _{2}.}$

Los sistemas de números multicomplejos no deben confundirse con los números de Clifford (elementos de un álgebra de Clifford ), ya que las raíces cuadradas de Clifford de  −1 anticonmutan (${\displaystyle i_{n}i_{m}+i_{m}i_{n}=0}$cuando m ≠ n para Clifford).

Debido a que los números multicomplejos tienen varias raíces cuadradas de –1 que conmutan, también tienen divisores de cero :${\displaystyle (i_{n}-i_{m})(i_{n}+i_{m})=i_{n}^{2}-i_{m}^{2}=0}$a pesar de${\displaystyle i_{n}-i_{m}\neq 0}$y${\displaystyle i_{n}+i_{m}\neq 0}$, y${\displaystyle (i_{n}i_{m}-1)(i_{n}i_{m}+1)=i_{n}^{2}i_{m}^{2}-1=0}$a pesar de${\displaystyle i_{n}i_{m}\neq 1}$y${\displaystyle i_{n}i_{m}\neq -1}$Cualquier producto${\displaystyle i_{n}i_{m}}$de dos unidades multicomplejas distintas se comporta como la${\displaystyle j}$de los números complejos divididos , y por lo tanto los números multicomplejos contienen una serie de copias del plano de los números complejos divididos.

Con respecto a la subálgebra${\displaystyle \mathbb {C} _{k}}$, k = 0, 1, ..., n − 1 , el sistema multicomplejo${\displaystyle \mathbb {C} _ {n}}$es de dimensión 2 ^{n − k} sobre${\displaystyle \mathbb {C} _{k}.}$

• G. Baley Price (1991) Una introducción a los espacios y funciones multicomplejos , Marcel Dekker .
• Corrado Segre (1892) "La representación real de elementos complejos y entidades hiperalgebraicas" (en italiano), Mathematische Annalen 40:413 – 67 (véanse especialmente las páginas 455 – 67).