Transformación multidimensional

En el análisis matemático y sus aplicaciones, las transformadas multidimensionales se utilizan para analizar el contenido de frecuencia de las señales en un dominio de dos o más dimensiones.

transformada de Fourier multidimensional

Una de las transformaciones multidimensionales más populares es la transformada de Fourier , que convierte una señal de una representación en el dominio del tiempo/espacio a una representación en el dominio de la frecuencia. ^{[ 1 ]} La transformada de Fourier (TF) multidimensional en el dominio discreto se puede calcular de la siguiente manera:

F(w_{1},w_{2},\dots ,w_{m})=\sum _{n_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{n_{2}=-\infty }^{\infty }\cdots \sum _{n_{m}=-\infty }^{\infty }f(n_{1},n_{2},\dots ,n_{m})e^{-iw_{1}n_{1}-iw_{2}n_{2}\cdots -iw_{m}n_{m}}

donde F representa la transformada de Fourier multidimensional y m representa la dimensión multidimensional. Definimos f como una señal multidimensional en el dominio discreto. La transformada inversa de Fourier multidimensional viene dada por

f(n_{1},n_{2},\dots ,n_{m})=\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{m}\int _{-\pi }^{\pi }\cdots \int _{-\pi }^{\pi }F(w_{1},w_{2},\ldots ,w_{m})e^{iw_{1}n_{1}+iw_{2}n_{2}+\cdots +iw_{m}n_{m}}\,dw_{1}\cdots \,dw_{m}

La transformada de Fourier multidimensional para señales en el dominio continuo se define de la siguiente manera: ^{[ 1 ]}

F(\Omega _{1},\Omega _{2},\ldots ,\Omega _{m})=\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }f(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{m})e^{-i\Omega _{1}t_{1}-i\Omega _{2}t_{2}\cdots -i\Omega _{m}t_{m}}\,dt_{1}\cdots \,dt_{m}

Propiedades de la transformada de Fourier

Se aplican propiedades similares a las de la transformada FT unidimensional, pero en lugar de que el parámetro de entrada sea una sola entrada, es una matriz o vector multidimensional (MD). Por lo tanto, es x(n ₁ ,…,n _M ) en lugar de x(n).

Linealidad

si $x_{1}(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X_{1}(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M})$ , y $x_{2}(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X_{2}(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M})$ entonces,

ax_{1}(n_{1},\ldots ,n_{M})+bx_{2}(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}aX_{1}(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M})+bX_{2}(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M})

Cambio

si $x(n_{1},...,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega _{1},...,\omega _{M})$ , entonces $x(n_{1}-a_{1},...,n_{M}-a_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}e^{-i(\omega _{1}a_{1}+,...,+\omega _{M}a_{M})}X(\omega _{1},...,\omega _{M})$

Modulación

si $x(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M})$ , entonces

e^{i(\theta _{1}n_{1}+\cdots +\theta _{M}n_{M})}x(n_{1}-a_{1},\ldots ,n_{M}-a_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega _{1}-\theta _{1},\ldots ,\omega _{M}-\theta _{M})

Multiplicación

si $x_{1}(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X_{1}(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M})$ , y $x_{2}(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X_{2}(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M})$

entonces,

o,

Diferenciación

Si $x(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M})$ , entonces

-in_{1}x(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}{\frac {\partial }{(\partial \omega _{1})}}X(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M}),

-in_{2}x(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}{\frac {\partial }{(\partial \omega _{2})}}X(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M}),

(-i)^{M}(n_{1}n_{2}\cdots n_{M})x(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}{\frac {(\partial )^{M}}{(\partial \omega _{1}\partial \omega _{2}\cdots \partial \omega _{M})}}X(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M}),

Transposición

Si $x(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M})$ , entonces

x(n_{M},\ldots ,n_{1}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega _{M},\ldots ,\omega _{1})

Reflexión

Si $x(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M})$ , entonces

x(\pm n_{1},\ldots ,\pm n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\pm \omega _{1},\ldots ,\pm \omega _{M})

conjugación compleja

Si $x(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M})$ , entonces

x^{*}(\pm n_{1},\ldots ,\pm n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X^{*}(\mp \omega _{1},\ldots ,\mp \omega _{M})

Teorema de Parseval (MD)

si $x_{1}(n_{1},...,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X_{1}(\omega _{1},...,\omega _{M})$ , y $x_{2}(n_{1},...,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X_{2}(\omega _{1},...,\omega _{M})$ entonces,

$\sum _{n_{1}=-\infty }^{\infty }...\sum _{n_{M}=-\infty }^{\infty }x_{1}(n_{1},...,n_{M})x_{2}^{*}(n_{1},...,n_{M}){=}{\frac {1}{(2\pi )^{M}}}\int \limits _{-\pi }^{\pi }...\int \limits _{-\pi }^{\pi }X_{1}(\omega _{1},...,\omega _{M})X_{2}^{*}(\omega _{1},...,\omega _{M})d\omega _{1}...d\omega _{M}$

si $x_{1}(n_{1},...,n_{M}){=}x_{2}(n_{1},...,n_{M})$ , entonces

$\sum _{n_{1}=-\infty }^{\infty }...\sum _{n_{M}=-\infty }^{\infty }|x_{1}(n_{1},...,n_{M})|^{2}{=}{\frac {1}{(2\pi )^{M}}}\int \limits _{-\pi }^{\pi }...\int \limits _{-\pi }^{\pi }|X_{1}(\omega _{1},...,\omega _{M})|^{2}d\omega _{1}...d\omega _{M}$

Un caso especial del teorema de Parseval se da cuando las dos señales multidimensionales son idénticas. En este caso, el teorema describe la conservación de la energía de la señal, y el término en la suma o integral representa la densidad de energía de la señal.

Posibilidad de separación

Se dice que una señal o sistema es separable si puede expresarse como un producto de funciones unidimensionales con diferentes variables independientes. Este fenómeno permite calcular la transformada de Fourier como un producto de transformadas de Fourier unidimensionales en lugar de transformadas de Fourier multidimensionales.

si $x(n_{1},...,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega _{1},...,\omega _{M})$ , $a(n_{1}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}A(\omega _{1})$ , $b(n_{2}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}B(\omega _{2})$ ... $y(n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}Y(\omega _{M})$ y si $x(n_{1},...,n_{M}){=}a(n_{1})b(n_{2})...y(n_{M})$ , entonces

$X(\omega _{1},...,\omega _{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}x(n_{1},...,n_{M}){=}a(n_{1})b(n_{2})...y(n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}A(\omega _{1})B(\omega _{2})...Y(\omega _{M})$ , entonces

$X(\omega _{1},...,\omega _{M}){=}A(\omega _{1})B(\omega _{2})...Y(\omega _{M})$

MD FFT

La transformada rápida de Fourier (FFT) es un algoritmo para calcular la transformada discreta de Fourier (DFT) y su inversa. La FFT calcula la DFT y produce exactamente el mismo resultado que la evaluación directa de la definición de DFT; la única diferencia es que la FFT es mucho más rápida. (En presencia de errores de redondeo , muchos algoritmos de FFT también son mucho más precisos que la evaluación directa de la definición de DFT). Existen muchos algoritmos de FFT diferentes que abarcan una amplia gama de matemáticas, desde aritmética simple de números complejos hasta teoría de grupos y teoría de números. Véase más en FFT .

MD DFT

La transformada discreta de Fourier (DFT) multidimensional es una versión muestreada de la transformada de Fourier (FT) en el dominio discreto, evaluada en frecuencias de muestreo uniformemente espaciadas. ^{[ 2 ]} La DFT de N ₁ × N ₂ × ... N _m viene dada por:

Fx(K_{1},K_{2},\ldots ,K_{m})=\sum _{n_{1}=0}^{N_{1}-1}\cdots \sum _{n_{m}=0}^{N_{m}-1}fx(n_{1},n_{2},\ldots ,n_{m})e^{-i{\frac {2\pi }{N_{1}}}n_{1}K_{1}-i{\frac {2\pi }{N_{2}}}n_{2}K_{2}\cdots -i{\frac {2\pi }{N_{m}}}n_{m}K_{m}}

para 0 ≤ K _i ≤ N _i − 1 , i = 1, 2, ..., m .

La ecuación DFT multidimensional inversa es

fx(n_{1},n_{2},\ldots ,n_{m})={\frac {1}{N_{1}\cdots N_{m}}}\sum _{K_{1}=0}^{N_{1}-1}\cdots \sum _{K_{m}=0}^{N_{m}-1}Fx(K_{1},K_{2},\ldots ,K_{m})e^{i{\frac {2\pi }{N_{1}}}n_{1}K_{1}+i{\frac {2\pi }{N_{2}}}n_{2}K_{2}\cdots +i{\frac {2\pi }{N_{m}}}n_{m}K_{m}}

para 0 ≤ n ₁ , n ₂ , ... , n _m ≤ N _{(1, 2, ... , m )} – 1 .

transformada discreta del coseno multidimensional

La transformada discreta del coseno (DCT) se utiliza en una amplia gama de aplicaciones, como compresión de datos , extracción de características , reconstrucción de imágenes , detección de múltiples fotogramas , etc. La DCT multidimensional viene dada por:

Fx(K_{1},K_{2},\ldots ,K_{r})=\sum _{n_{1}=0}^{N_{1}-1}\sum _{n_{2}=0}^{N_{2}-1}\cdots \sum _{n_{r}=0}^{N_{r}-1}fx(n_{1},n_{2},\ldots ,n_{r})\cos {\frac {\pi (2n_{1}+1)K_{1}}{2N_{1}}}\cdots \cos {\frac {\pi (2n_{r}+1)K_{r}}{2N_{r}}}

para k _i = 0, 1, ..., N _i − 1 , i = 1, 2, ..., r .

Transformada de Laplace multidimensional

La transformada de Laplace multidimensional es útil para la solución de problemas de valores en la frontera. Los problemas de valores en la frontera en dos o más variables caracterizados por ecuaciones diferenciales parciales pueden resolverse mediante el uso directo de la transformada de Laplace. ^{[ 3 ]} La transformada de Laplace para un caso M-dimensional se define ^{[ 3 ]} como

$F(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n})=\int _{0}^{\infty }\cdots \int _{0}^{\infty }f(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n})e^{-s_{n}t_{n}-s_{n-1}t_{n-1}\cdots \cdots s_{1}t_{1}}\,dt_{1}\cdots \,dt_{n}$

donde F representa la representación en el dominio s de la señal f(t).

Un caso especial (a lo largo de 2 dimensiones) de la transformada de Laplace multidimensional de la función f(x,y) se define ^{[ 4 ]} como

$F(s_{1},s_{2})=\int \limits _{0}^{\infty }\int \limits _{0}^{\infty }\ f(x,y)e^{-s_{1}x-s_{2}y}\,dxdy$

$F(s_{1},s_{2})$ se llama la imagen de $f(x,y)$ y $f(x,y)$ es conocido como el original de $F(s_{1},s_{2})$ Este caso especial puede utilizarse para resolver las ecuaciones del telegrafista .

Transformada Z multidimensional

Fuente: ^{[ 5 ]}

La transformada Z multidimensional se utiliza para mapear la señal multidimensional del dominio del tiempo discreto al dominio Z. Esto se puede utilizar para comprobar la estabilidad de los filtros. La ecuación de la transformada Z multidimensional viene dada por

$F(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{m})=\sum _{n_{1}=-\infty }^{\infty }\cdots \sum _{n_{m}=-\infty }^{\infty }f(n_{1},n_{2},\ldots ,n_{m})z_{1}^{-n_{1}}z_{2}^{-n_{2}}\ldots z_{m}^{-n_{m}}$

donde F representa la representación en el dominio z de la señal f(n).

Un caso especial de la transformada Z multidimensional es la transformada Z 2D que se define como:

$F(z_{1},z_{2})=\sum _{n_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{n_{2}=-\infty }^{\infty }f(n_{1},n_{2})z_{1}^{-n_{1}}z_{2}^{-n_{2}}$

La transformada de Fourier es un caso especial de la transformada Z evaluada a lo largo del círculo unitario (en 1D) y del bicírculo unitario (en 2D). Es decir, en

${\textstyle z=e^{iw}}$ donde z y w son vectores.

Región de convergencia

Puntos ( _z1, z2 ) para los _cuales $F(z_{1},z_{2})=\sum _{n_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{n_{2}=-\infty }^{\infty }|f(n_{1},n_{2})||z_{1}|^{-n_{1}}|z_{2}|^{-n_{2}}$ $<\infty$ están ubicados en la República de China.

Un ejemplo:

Si una secuencia tiene un soporte como se muestra en la Figura 1.1a, entonces su ROC se muestra en la Figura 1.1b. Esto implica que | F ( z ₁ , z ₂ )| < ∞ .

$(z_{01},z_{02})$ está en la ROC, entonces todos los puntos $(z_{1},z_{2})$ que satisfacen |z1|≥|z01| y |z2|≥|z02| se encuentran en la ROC.

Por lo tanto, para las figuras 1.1a y 1.1b, la ROC sería

\ln |z_{1}|\geq \ln |z_{01}|{\text{ and }}\ln |z_{2}|\geq L\ln |z_{1}|+\{\ln |z_{02}|-L\ln |z_{01}|\}

donde L es la pendiente.

La transformada Z bidimensional , similar a la transformada Z, se utiliza en el procesamiento de señales multidimensionales para relacionar una señal discreta bidimensional con el dominio de la frecuencia compleja, en el que la superficie bidimensional en el espacio tetradimensional sobre la que se encuentra la transformada de Fourier se conoce como superficie unitaria o bicircle unitario.

Aplicaciones

La DCT y la DFT se utilizan frecuentemente en el procesamiento de señales ^{[ 6 ]} y el procesamiento de imágenes, y también para resolver eficientemente ecuaciones diferenciales parciales mediante métodos espectrales. La DFT también puede utilizarse para realizar otras operaciones, como convoluciones o multiplicaciones de números enteros grandes. La DFT y la DCT tienen un amplio uso en numerosos campos; a continuación, solo esbozamos algunos ejemplos.

Procesamiento de imágenes

Frecuencias DCT bidimensionales a partir de la DCT JPEG

La DCT se utiliza en la compresión de imágenes JPEG , MJPEG , MPEG , DV , Daala y Theora . Allí, se calcula la DCT-II bidimensional de bloques N x N y los resultados se cuantifican y codifican mediante entropía . En este caso, N suele ser 8 y la fórmula de la DCT-II se aplica a cada fila y columna del bloque. El resultado es una matriz de coeficientes de transformación de 8x8 en la que el elemento (0,0) (arriba a la izquierda) es el componente de CC (frecuencia cero) y las entradas con valores de índice vertical y horizontal crecientes representan frecuencias espaciales verticales y horizontales más altas, como se muestra en la imagen de la derecha.

En el procesamiento de imágenes, también se pueden analizar y describir métodos criptográficos no convencionales basados en DCT 2D, para insertar marcas de agua binarias no visibles en el plano de la imagen 2D, ^{[ 7 ]} y Según diferentes orientaciones, la transformada híbrida DCT-DWT direccional 2D se puede aplicar en la eliminación de ruido de imágenes de ultrasonido. ^{[ 8 ]} La DCT 3D también se puede utilizar para transformar datos de vídeo o datos de imágenes 3D en esquemas de incrustación de marcas de agua en el dominio de la transformada. ^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}

Análisis espectral

Cuando se utiliza la DFT para el análisis espectral , la secuencia { x _n } generalmente representa un conjunto finito de muestras de tiempo uniformemente espaciadas de alguna señal x ( t ), donde t representa el tiempo. La conversión de tiempo continuo a muestras (tiempo discreto) cambia la transformada de Fourier subyacente de x ( t ) en una transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT), lo que generalmente implica un tipo de distorsión llamada aliasing . La elección de una frecuencia de muestreo apropiada (véase frecuencia de Nyquist ) es clave para minimizar esa distorsión. De manera similar, la conversión de una secuencia muy larga (o infinita) a un tamaño manejable implica un tipo de distorsión llamada fuga , que se manifiesta como una pérdida de detalle ( también conocida como resolución) en la DTFT. La elección de una longitud de subsecuencia apropiada es la clave principal para minimizar ese efecto. Cuando los datos disponibles (y el tiempo para procesarlos) superan la cantidad necesaria para alcanzar la resolución de frecuencia deseada, una técnica estándar consiste en realizar múltiples transformadas discretas de Fourier (DFT), por ejemplo, para crear un espectrograma . Si el resultado deseado es un espectro de potencia y los datos presentan ruido o aleatoriedad, promediar las componentes de magnitud de las múltiples DFT es un procedimiento útil para reducir la varianza del espectro (también llamado periodograma en este contexto); dos ejemplos de estas técnicas son el método de Welch y el método de Bartlett ; el tema general de la estimación del espectro de potencia de una señal ruidosa se denomina estimación espectral .

Una fuente final de distorsión (o quizás ilusión ) es la propia DFT, ya que se trata simplemente de un muestreo discreto de la DTFT, que es una función de un dominio de frecuencia continuo. Esto se puede mitigar aumentando la resolución de la DFT. Este procedimiento se ilustra en la sección « Muestreo de la DTFT» .

Este procedimiento se conoce a veces como relleno con ceros , una implementación particular que se utiliza junto con el algoritmo de la transformada rápida de Fourier (FFT). La ineficiencia de realizar multiplicaciones y sumas con "muestras" de valor cero se compensa con creces por la eficiencia inherente de la FFT.
Como ya se ha señalado, las fugas de información limitan la resolución inherente de la DTFT. Por lo tanto, existe un límite práctico al beneficio que se puede obtener de una DFT de grano fino.

Ecuaciones diferenciales parciales

Las transformadas discretas de Fourier se utilizan a menudo para resolver ecuaciones diferenciales parciales , donde nuevamente la DFT se utiliza como una aproximación para la serie de Fourier (que se recupera en el límite de N infinito ). La ventaja de este enfoque es que expande la señal en exponenciales complejas e ^inx , que son autofunciones de diferenciación: d / dx e ^inx = in e ^inx . Por lo tanto, en la representación de Fourier, la diferenciación es simple: solo multiplicamos por in . (Tenga en cuenta, sin embargo, que la elección de n no es única debido al aliasing; para que el método sea convergente, se debe utilizar una elección similar a la de la sección de interpolación trigonométrica anterior). Una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes se transforma en una ecuación algebraica fácilmente resoluble. Luego se utiliza la DFT inversa para transformar el resultado de nuevo a la representación espacial ordinaria. Este enfoque se llama método espectral .

Las DCT también se emplean ampliamente en la resolución de ecuaciones diferenciales parciales mediante métodos espectrales, donde las diferentes variantes de la DCT corresponden a condiciones de contorno pares/impares ligeramente diferentes en los dos extremos de la matriz.

Las transformadas de Laplace se utilizan para resolver ecuaciones diferenciales parciales. La teoría general para obtener soluciones en esta técnica se desarrolla mediante teoremas sobre la transformada de Laplace en n dimensiones. ^{[ 3 ]}

La transformada Z multidimensional también se puede utilizar para resolver ecuaciones diferenciales parciales. ^{[ 11 ]}

Procesamiento de imágenes para el análisis de superficies artísticas mediante FFT

Un factor muy importante es que debemos aplicar un método no destructivo para obtener esa información valiosa y poco común (desde el punto de vista del HVS, se centra en toda la información colorimétrica y espacial) sobre las obras de arte y no dañarlas. Podemos comprender las obras de arte observando un cambio de color o midiendo el cambio de uniformidad de la superficie. Dado que la imagen completa será muy grande, utilizamos una ventana de coseno doblemente elevada para truncarla: ^{[ 12 ]}

w(x,y)={\frac {1}{4}}\left(1+\cos {\frac {x\pi }{N}}\right)\left(1+\cos {\frac {y\pi }{N}}\right)

donde N es la dimensión de la imagen y x , y son las coordenadas desde el centro de la imagen, que abarcan desde 0 hasta N /2. El autor quería calcular un valor igual para la frecuencia espacial, como por ejemplo: ^{[ 12 ]}

{\begin{aligned}A_{m}(f)^{2}=\left[\sum _{i=-f}^{f}\right.&\operatorname {FFT} (-f,i)^{2}+\sum _{i=-f}^{f}\operatorname {FFT} (f,i)^{2}\\[5pt]&\left.{}+\sum _{i=-f+1}^{f-1}\operatorname {FFT} (i,-f)^{2}+\sum _{i=-f+1}^{f-1}\operatorname {FFT} (i,f)^{2}\right]\end{aligned}}

donde "FFT" denota la transformada rápida de Fourier, y f es el rango de frecuencia espacial de 0 a N /2 – 1. El enfoque de imagen basado en FFT propuesto es una tecnología de diagnóstico para garantizar una larga vida útil y estabilidad a las artes culturales. Es un método simple y económico que puede utilizarse en museos sin afectar su uso diario. Sin embargo, este método no permite una medición cuantitativa de la tasa de corrosión.

Aplicación a la simulación de circuitos débilmente no lineales

Fuente: ^{[ 13 ]}

La transformada inversa multidimensional de Laplace se puede aplicar para simular circuitos no lineales. Esto se logra formulando un circuito como un espacio de estados y expandiendo la transformada inversa de Laplace mediante la expansión de la función de Laguerre .

El método de Laguerre se puede utilizar para simular un circuito débilmente no lineal y también puede invertir una transformada de Laplace multidimensional de manera eficiente y con alta precisión.

Se observa que se puede lograr una alta precisión y una aceleración significativa al simular grandes circuitos no lineales utilizando transformadas de Laplace multidimensionales.

Véase también

Referencias

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↑ Dudgeon y Mersereau, Procesamiento de señales digitales multidimensionales, 2.ª edición, 1995
1 2 3 Debnath, Joyati; Dahiya, RS (1989-01-01). "Teoremas sobre la transformada de Laplace multidimensional para la solución de problemas de valores en la frontera" . Computers & Mathematics with Applications . 18 (12): 1033– 1056. doi : 10.1016/0898-1221(89)90031-X .
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[Smith-1] 1 2 Smith, W. Manual de transformadas rápidas de Fourier en tiempo real: algoritmos para pruebas de productos, Wiley_IEEE Press, 1.ª edición, páginas 73–80, 1995

[2] Dudgeon y Mersereau, Procesamiento de señales digitales multidimensionales, 2.ª edición, 1995

[:0-3] 1 2 3 Debnath, Joyati; Dahiya, RS (1989-01-01). "Teoremas sobre la transformada de Laplace multidimensional para la solución de problemas de valores en la frontera" . Computers & Mathematics with Applications . 18 (12): 1033– 1056. doi : 10.1016/0898-1221(89)90031-X .

[4] Cálculo operacional en dos variables y su aplicación (1.ª edición en inglés) - traducido por DMG Wishart (Calcul opérationnel) .

[5] "Libro de Narod" (PDF) .

[6] Tan Xiao, Shao-hai Hu, Yang Xiao. Aplicación de DFT-DWT 2D al procesamiento de señales multidimensionales. Actas de ICSP2006, IEEE 2006

[7] Peter KULLAI, Pavol SABAKAI, Jozef HUSKAI. Posibilidades sencillas de la aplicación de la DCT 2D en la criptografía de imágenes monocromáticas digitales. Radioelektronika, 17.ª Conferencia Internacional, IEEE, 2007, págs. 1-6

[8] Xin-ling Wen, Yang Xiao. La transformada híbrida DCT-DWT direccional bidimensional y su aplicación en la reducción de ruido en imágenes de ultrasonido. Procesamiento de señales. ICSP 2008. 9.ª Conferencia Internacional, págs. 946-949.

[9] Jinwei Wang, Shiguo Lian, Zhongxuan Liu, Zhen Ren, Yuewei Dai, Haila Wang. Esquema de marca de agua de imagen basado en 3-D DCT. Electrónica y aplicaciones industriales, 1.ª conferencia del IEEE de 2006, págs. 1–6

[10] Jin Li, Moncef Gabbouj, Jarmo Takala, Hexin Chen. Algoritmo de redimensionamiento directo de DCT a DCT en 3D para codificación de vídeo. Procesamiento y análisis de imágenes y señales, 2009. ISPA 2009. Actas del 6.º Simposio Internacional, págs. 105-110.

[11] Gregor, Jiří (1998). "Kybernetika" (PDF) . Kybernética . 24 .

[Angelini_et_al-12] 1 2 Angelini, E., Grassin, S.; Piantanida, M.; Corbellini, S.; Ferraris, F.; Neri, A.; Parvis, M. Procesamiento de imágenes basado en FFT para el monitoreo del patrimonio cultural Conferencia de Tecnología de Instrumentación y Medición (I2MTC), 2010 IEEE

[13] Wang, Tingting (2012). "Análisis de circuitos débilmente no lineales basado en la transformada inversa de Laplace multidimensional rápida" . 17.ª Conferencia de Automatización del Diseño de Asia y el Pacífico Sur . págs. 547–552 . doi : 10.1109/ASPDAC.2012.6165013 . ISBN 978-1-4673-0772-7. S2CID 15427178 .

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