Modelo multinivel

Los modelos multinivel son modelos estadísticos de parámetros que varían en más de un nivel. ^{[ 1 ]} Un ejemplo podría ser un modelo de rendimiento estudiantil que contiene medidas para estudiantes individuales, así como medidas para las aulas dentro de las cuales se agrupan los estudiantes. Estos modelos también se conocen como modelos lineales jerárquicos, modelos lineales de efectos mixtos, modelos mixtos, modelos de datos anidados, modelos de coeficientes aleatorios, modelos de efectos aleatorios, modelos de parámetros aleatorios o diseños de parcelas divididas. Estos modelos pueden considerarse generalizaciones de los modelos lineales (en particular, la regresión lineal ), aunque también pueden extenderse a modelos no lineales. Estos modelos se popularizaron mucho más después de que se dispusiera de suficiente capacidad de computación y software. ^{[ 1 ]}

Los modelos multinivel son particularmente apropiados para diseños de investigación donde los datos de los participantes están organizados en más de un nivel (es decir, datos anidados ). ^{[ 2 ]} Las unidades de análisis suelen ser individuos (en un nivel inferior) que están anidados dentro de unidades contextuales/agregadas (en un nivel superior). ^{[ 3 ]} Si bien el nivel más bajo de datos en los modelos multinivel suele ser un individuo, también se pueden examinar mediciones repetidas de individuos. ^{[ 2 ] [ 4 ]} Por lo tanto, los modelos multinivel proporcionan un tipo de análisis alternativo para el análisis univariado o multivariado de medidas repetidas . Se pueden examinar las diferencias individuales en las curvas de crecimiento . ^{[ 2 ]} Además, los modelos multinivel se pueden utilizar como alternativa a ANCOVA , donde las puntuaciones en la variable dependiente se ajustan para covariables (por ejemplo, diferencias individuales) antes de probar las diferencias de tratamiento. ^{[ 5 ]} Los modelos multinivel pueden analizar estos experimentos sin los supuestos de homogeneidad de pendientes de regresión que requiere ANCOVA. ^{[ 2 ]}

Los modelos multinivel pueden utilizarse con datos de muchos niveles, aunque los modelos de dos niveles son los más comunes y el resto de este artículo se centra únicamente en ellos. La variable dependiente debe examinarse en el nivel de análisis más bajo. ^{[ 1 ]}

Cuando hay una sola variable independiente de nivel 1, el modelo de nivel 1 es

${\displaystyle Y_{ij}=\beta _{0j}+\beta _{1j}X_{ij}+e_{ij}}$.

• ${\displaystyle Y_{ij}}$se refiere a la puntuación en la variable dependiente para una observación individual en el Nivel j (el subíndice i se refiere al caso individual, el subíndice j se refiere al grupo).
• ${\displaystyle X_{ij}}$Se refiere al predictor de Nivel 1.
• ${\displaystyle \beta _{0j}}$se refiere a la intersección de la variable dependiente para el grupo j.
• ${\displaystyle \beta _{1j}}$se refiere a la pendiente de la relación en el grupo j (Nivel 2) entre el predictor de Nivel 1 y la variable dependiente.
• ${\displaystyle e_{ij}}$se refiere a los errores aleatorios de predicción para la ecuación de Nivel 1 (también se le denomina a veces como${\displaystyle r_{ij}}$).

${\displaystyle e_{ij}\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma _ {1}^{2})}$

En el Nivel 1, tanto las intersecciones como las pendientes en los grupos pueden ser fijas (lo que significa que todos los grupos tienen los mismos valores, aunque en el mundo real esto sería una ocurrencia rara), no aleatorias (lo que significa que las intersecciones y/o pendientes son predecibles a partir de una variable independiente en el Nivel 2), o aleatorias (lo que significa que las intersecciones y/o pendientes son diferentes en los diferentes grupos, y que cada uno tiene su propia media y varianza generales). ^{[ 2 ] [ 4 ]}

Cuando existen múltiples variables independientes de nivel 1, el modelo puede ampliarse sustituyendo vectores y matrices en la ecuación.

Cuando la relación entre la respuesta${\displaystyle Y_{ij}}$y predictor${\displaystyle X_{ij}}$Si no se puede describir mediante una relación lineal, entonces se puede encontrar alguna relación funcional no lineal entre la respuesta y el predictor, y extender el modelo a un modelo de efectos mixtos no lineales . Por ejemplo, cuando la respuesta${\displaystyle Y_{ij}}$es la trayectoria de infección acumulativa de la${\displaystyle i}$-ésimo país, y${\displaystyle X_{ij}}$representa el${\displaystyle j}$-ésimos puntos de tiempo, luego el par ordenado${\displaystyle (X_{ij},Y_{ij})}$para cada país puede mostrar una forma similar a la función logística . ^{[ 6 ] [ 7 ]}

Las variables dependientes son las intersecciones y las pendientes de las variables independientes en el Nivel 1 en los grupos del Nivel 2.

${\displaystyle u_{0j}\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma _ {2}^{2})}$

${\displaystyle u_{1j}\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma _ {3}^{2})}$

${\displaystyle \beta _ {0j}=\gamma _ {00}+\gamma _ {01}w_ {j}+u_ {0j}}$

${\displaystyle \beta _{1j}=\gamma _{10}+\gamma _{11}w_{j}+u_{1j}}$

• ${\displaystyle \gamma _{00}}$Se refiere a la intersección general. Esta es la media general de las puntuaciones de la variable dependiente en todos los grupos cuando todos los predictores son iguales a 0.
• ${\displaystyle \gamma _{10}}$Se refiere a la pendiente promedio entre la variable dependiente y el predictor de Nivel 1.
• ${\displaystyle w_{j}}$Se refiere al predictor de Nivel 2.
• ${\displaystyle \gamma _{01}}$y${\displaystyle \gamma _{11}}$Consulte el efecto del predictor de Nivel 2 sobre la intersección y la pendiente de Nivel 1, respectivamente.
• ${\displaystyle u_{0j}}$se refiere a la desviación en el grupo j con respecto a la intersección general.
• ${\displaystyle u_{1j}}$se refiere a la desviación en el grupo j de la pendiente promedio entre la variable dependiente y el predictor de Nivel 1.

Antes de realizar un análisis de modelo multinivel, un investigador debe decidir varios aspectos, incluyendo qué predictores se incluirán en el análisis, si es que hay alguno. En segundo lugar, el investigador debe decidir si los valores de los parámetros (es decir, los elementos que se estimarán) serán fijos o aleatorios. ^{[ 2 ] [ 5 ] [ 4 ]} Los parámetros fijos se componen de una constante en todos los grupos, mientras que un parámetro aleatorio tiene un valor diferente para cada uno de los grupos. ^{[ 4 ]} Además, el investigador debe decidir si empleará una estimación de máxima verosimilitud o una estimación de máxima verosimilitud restringida. ^{[ 2 ]}

Los modelos multinivel parten de los mismos supuestos que otros modelos lineales generales importantes (por ejemplo, ANOVA , regresión ), pero algunos de estos supuestos se modifican debido a la naturaleza jerárquica del diseño (es decir, datos anidados).

Linealidad

El supuesto de linealidad establece que existe una relación rectilínea (en línea recta, a diferencia de una relación no lineal o en forma de U) entre las variables. ^{[ 9 ]} Sin embargo, el modelo puede extenderse a relaciones no lineales. ^{[ 10 ]} En particular, cuando la parte media de la ecuación de regresión de nivel 1 se reemplaza con una función paramétrica no lineal, dicho marco de modelo se denomina comúnmente modelo de efectos mixtos no lineales . ^{[ 7 ]}

Normalidad

El supuesto de normalidad establece que los términos de error en cada nivel del modelo siguen una distribución normal. ^{[ 9 ]} Sin embargo, la mayoría del software estadístico permite especificar diferentes distribuciones para los términos de varianza, como Poisson, binomial o logística. El enfoque de modelado multinivel puede utilizarse para todas las formas de modelos lineales generalizados.

Homocedasticidad

El supuesto de homocedasticidad , también conocido como homogeneidad de varianza, presupone la igualdad de las varianzas poblacionales. ^{[ 9 ]} Sin embargo, se puede especificar una matriz de correlación de varianza diferente para tener esto en cuenta, y la heterogeneidad de la varianza en sí misma puede modelarse.

Independencia de las observaciones (sin autocorrelación de los residuos del modelo)

La independencia es un supuesto de los modelos lineales generales, que establece que los casos son muestras aleatorias de la población y que las puntuaciones de la variable dependiente son independientes entre sí. ^{[ 9 ]} Uno de los principales propósitos de los modelos multinivel es abordar los casos en los que se viola el supuesto de independencia; sin embargo, los modelos multinivel asumen que 1) los residuos de nivel 1 y nivel 2 no están correlacionados y 2) los errores (medidos por los residuos) en el nivel más alto no están correlacionados. ^{[ 11 ]}

Ortogonalidad de los regresores a los efectos aleatorios

Los regresores no deben estar correlacionados con los efectos aleatorios,${\displaystyle u_{0j}}$. Esta suposición es comprobable pero a menudo se ignora, lo que hace que el estimador sea inconsistente. ^{[ 12 ]} Si se viola esta suposición, el efecto aleatorio debe modelarse explícitamente en la parte fija del modelo, ya sea utilizando variables ficticias o incluyendo medias de clúster de todos${\displaystyle X_{ij}}$regresores. ^{[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]} Esta suposición es probablemente la más importante que hace el estimador, pero es malinterpretada por la mayoría de los investigadores aplicados que utilizan este tipo de modelos. ^{[ 12 ]}

El tipo de pruebas estadísticas que se emplean en los modelos multinivel depende de si se examinan efectos fijos o componentes de varianza. Al examinar efectos fijos, las pruebas se comparan con el error estándar del efecto fijo, lo que da como resultado una ^prueba Z. [ ^{5 ]} También se puede calcular una prueba t . Al calcular una prueba t, es importante tener en cuenta los grados de libertad, que dependerán del nivel del predictor (por ejemplo, predictor de nivel 1 o predictor de nivel 2). ^{[ 5 ]} Para un predictor de nivel 1, los grados de libertad se basan en el número de predictores de nivel 1, el número de grupos y el número de observaciones individuales. Para un predictor de nivel 2, los grados de libertad se basan en el número de predictores de nivel 2 y el número de grupos. ^{[ 5 ]}

La potencia estadística para modelos multinivel difiere según si se examinan efectos de nivel 1 o de nivel 2. La potencia para efectos de nivel 1 depende del número de observaciones individuales, mientras que la potencia para efectos de nivel 2 depende del número de grupos. ^{[ 16 ]} Para realizar una investigación con suficiente potencia, se requieren tamaños de muestra grandes en modelos multinivel. Sin embargo, el número de observaciones individuales en grupos no es tan importante como el número de grupos en un estudio. Para detectar interacciones entre niveles, dado que los tamaños de los grupos no son demasiado pequeños, se ha recomendado que se necesitan al menos 20 grupos, ^{[ 16 ]} aunque se pueden usar muchos menos si solo se está interesado en la inferencia sobre los efectos fijos y los efectos aleatorios son variables de control o "molestias". ^{[ 4 ]} El problema de la potencia estadística en modelos multinivel se complica por el hecho de que la potencia varía como una función del tamaño del efecto y las correlaciones intraclase, difiere para efectos fijos versus efectos aleatorios, y cambia dependiendo del número de grupos y el número de observaciones individuales por grupo. ^{[ 16 ]}

Existen varias formas alternativas de analizar datos jerárquicos, aunque la mayoría presenta algunos problemas. En primer lugar, se pueden utilizar técnicas estadísticas tradicionales. Se podrían desagregar las variables de orden superior al nivel individual y, por lo tanto, realizar un análisis en este nivel (por ejemplo, asignar variables de clase al nivel individual). El problema con este enfoque es que violaría el supuesto de independencia y, por lo tanto, podría sesgar los resultados. Esto se conoce como falacia atomista. ^{[ 17 ]} Otra forma de analizar los datos utilizando enfoques estadísticos tradicionales es agregar las variables de nivel individual a variables de orden superior y luego realizar un análisis en este nivel superior. El problema con este enfoque es que descarta toda la información dentro del grupo (porque toma el promedio de las variables de nivel individual). Hasta un 80-90% de la varianza podría desperdiciarse, y la relación entre las variables agregadas se infla y, por lo tanto, se distorsiona. ^{[ 18 ]} Esto se conoce como falacia ecológica y, estadísticamente, este tipo de análisis resulta en una menor potencia además de la pérdida de información. ^{[ 2 ]}

Otra forma de analizar datos jerárquicos sería mediante un modelo de coeficientes aleatorios. Este modelo supone que cada grupo tiene un modelo de regresión diferente, con su propia intersección y pendiente. ^{[ 5 ]} Dado que los grupos se muestrean, el modelo supone que las intersecciones y pendientes también se muestrean aleatoriamente de una población de intersecciones y pendientes de grupo. Esto permite un análisis en el que se puede suponer que las pendientes son fijas, pero las intersecciones pueden variar. ^{[ 5 ]} Sin embargo, esto presenta un problema, ya que los componentes individuales son independientes, pero los componentes de grupo son independientes entre grupos, pero dependientes dentro de los grupos. Esto también permite un análisis en el que las pendientes son aleatorias; sin embargo, las correlaciones de los términos de error (perturbaciones) dependen de los valores de las variables a nivel individual. ^{[ 5 ]} Por lo tanto, el problema de usar un modelo de coeficientes aleatorios para analizar datos jerárquicos es que todavía no es posible incorporar variables de orden superior.

Los modelos multinivel tienen dos términos de error, también conocidos como perturbaciones. Los componentes individuales son todos independientes, pero también existen componentes de grupo, que son independientes entre grupos pero correlacionados dentro de ellos. Sin embargo, los componentes de varianza pueden diferir, ya que algunos grupos son más homogéneos que otros. ^{[ 18 ]}

El modelado multinivel se utiliza con frecuencia en diversas aplicaciones y puede formularse mediante el marco bayesiano. En particular, los modelos bayesianos no lineales de efectos mixtos han recibido recientemente una atención significativa. Una versión básica de los modelos bayesianos no lineales de efectos mixtos se representa como el siguiente modelo de tres etapas:

Etapa 1: Modelo a nivel individual

${\displaystyle {\begin{aligned}&{y}_{ij}=f(t_{ij};\theta _{1i},\theta _{2i},\ldots ,\theta _{li},\ldots ,\theta _{Ki})+\epsilon _{ij},\\{\phantom {spacer}}\\&\epsilon _{ij}\sim N(0,\sigma ^{2}),\\{\phantom {spacer}}\\&i=1,\ldots ,N,\,j=1,\ldots ,M_{i}.\end{aligned}}}$

Etapa 2: Modelo de población

${\displaystyle {\begin{aligned}&\theta _{li}=\alpha _{l}+\sum _{b=1}^{P}\beta _{lb}x_{ib}+\eta _{li},\\{\phantom {spacer}}\\&\eta _{li}\sim N(0,\omega _{l}^{2}),\\{\phantom {spacer}}\\&i=1,\ldots ,N,\,l=1,\ldots ,K.\end{aligned}}}$

Etapa 3: Previa

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sigma ^{2}\sim \pi (\sigma ^{2}),\\{\phantom {spacer}}\\&\alpha _{l}\sim \pi (\alpha _{l}),\\{\phantom {spacer}}\\&(\beta _{l1},\ldots ,\beta _{lb},\ldots ,\beta _{lP})\sim \pi (\beta _{l1},\ldots ,\beta _{lb},\ldots ,\beta _{lP}),\\{\phantom {spacer}}\\&\omega _{l}^{2}\sim \pi (\omega _{l}^{2}),\\{\phantom {spacer}}\\&l=1,\ldots ,K.\end{aligned}}}$

Aquí,${\displaystyle y_{ij}}$denota la respuesta continua de la${\displaystyle i}$-ésimo sujeto en el momento${\displaystyle t_{ij}}$, y${\displaystyle x_{ib}}$es el${\displaystyle b}$-ésima covariable de la${\displaystyle i}$-ésimo sujeto. Los parámetros involucrados en el modelo están escritos en letras griegas.${\displaystyle f(t;\theta _{1},\ldots ,\theta _{K})}$es una función conocida parametrizada por la${\displaystyle K}$vector de -dimensiones${\displaystyle (\theta _{1},\ldots ,\theta _{K})}$. Normalmente,${\displaystyle f}$es una función "no lineal" y describe la trayectoria temporal de los individuos. En el modelo,${\displaystyle \epsilon _ {ij}}$y ${\displaystyle \eta _{li}}$describen la variabilidad intraindividual y la variabilidad interindividual, respectivamente. Si no se considera la Etapa 3: Prior , el modelo se reduce a un modelo de efectos mixtos no lineal frecuentista.

Una tarea central en la aplicación de los modelos bayesianos no lineales de efectos mixtos es evaluar la densidad posterior:

${\displaystyle \pi (\{\theta _{li}\}_{i=1,l=1}^{N,K},\sigma ^{2},\{\alpha _{l}\}_{l=1}^{K},\{\beta _{lb}\}_{l=1,b=1}^{K,P},\{\omega _{l}\}_{l=1}^{K}|\{y_{ij}\}_{i=1,j=1}^{N,M_{i}})}$

${\displaystyle \propto \pi (\{y_{ij}\}_{i=1,j=1}^{N,M_{i}},\{\theta _{li}\}_{i=1,l=1}^{N,K},\sigma ^{2},\{\alpha _{l}\}_{l=1}^{K},\{\beta _{lb}\}_{l=1,b=1}^{K,P},\{\omega _{l}\}_{l=1}^{K})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}=&~\left.{\pi (\{y_{ij}\}_{i=1,j=1}^{N,M_{i}}|\{\theta _{li}\}_{i=1,l=1}^{N,K},\sigma ^{2})}\right\}{\text{Stage 1: Individual-Level Model}}\\{\phantom {spacer}}\\\times &~\left.{\pi (\{\theta _{li}\}_{i=1,l=1}^{N,K}|\{\alpha _{l}\}_{l=1}^{K},\{\beta _{lb}\}_{l=1,b=1}^{K,P},\{\omega _{l}\}_{l=1}^{K})}\right\}{\text{Stage 2: Population Model}}\\{\phantom {spacer}}\\\times &~\left.{p(\sigma ^{2},\{\alpha _{l}\}_{l=1}^{K},\{\beta _{lb}\}_{l=1,b=1}^{K,P},\{\omega _{l}\}_{l=1}^{K})}\right\}{\text{Stage 3: Prior}}\end{aligned}}}$

El panel de la derecha muestra el ciclo de investigación bayesiano utilizando el modelo bayesiano de efectos mixtos no lineales. ^{[ 19 ]} Un ciclo de investigación que utiliza el modelo bayesiano de efectos mixtos no lineales comprende dos pasos: (a) ciclo de investigación estándar y (b) flujo de trabajo específico bayesiano. El ciclo de investigación estándar implica la revisión de la literatura, la definición de un problema y la especificación de la pregunta de investigación y la hipótesis. El flujo de trabajo específico bayesiano comprende tres subpasos: (b)–(i) formalizar las distribuciones previas basadas en el conocimiento previo y la obtención de información previa; (b)–(ii) determinar la función de verosimilitud basada en una función no lineal.${\displaystyle f}$; y (b)–(iii) realizar una inferencia posterior. La inferencia posterior resultante puede utilizarse para iniciar un nuevo ciclo de investigación.

• Hiperparámetro
• Análisis de varianza de diseño mixto
• Modelado multiescala
• modelo de efectos aleatorios
• Modelo de efectos mixtos no lineal
• Modelado jerárquico bayesiano
• Aleatorización restringida

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• Centro de Modelado Multinivel