Teoría de dispersión de prismas múltiples

La primera descripción de conjuntos de prismas múltiples y de la dispersión de prismas múltiples fue dada por Isaac Newton en su libro Óptica , donde también introdujo los prismas como expansores de haz. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} Los expansores de pares de prismas fueron introducidos por David Brewster en 1813. ^{[ 4 ]} Una descripción matemática moderna de la dispersión de un solo prisma fue dada por Max Born y Emil Wolf en 1959. ^{[ 5 ]} La teoría generalizada de la dispersión de prismas múltiples fue introducida por FJ Duarte y Piper ^{[ 6 ] [ 7 ]} en 1982.

La descripción matemática generalizada de la dispersión de prismas múltiples, en función del ángulo de incidencia, la geometría del prisma, el índice de refracción del prisma y el número de prismas, fue introducida como una herramienta de diseño para osciladores láser de rejilla de prismas múltiples por Duarte y Piper, ^{[ 6 ] [ 7 ]} y viene dada por

$${\displaystyle {\frac {\partial \phi _{2,m}}{\partial \lambda }}=H_{2,m}{\frac {\partial n_{m}}{\partial \lambda }}+(k_{1,m}k_{2,m})^{-1}{\bigg (}H_{1,m}{\frac {\partial n_{m}}{\partial \lambda }}\pm \ {\frac {\partial \phi _{2,(m-1)}}{\partial \lambda }}{\bigg )}}$$

que también se puede escribir como

$${\displaystyle \nabla _{\lambda }\phi _{2,m}=H_{2,m}\nabla _{\lambda }n_{m}+(k_{1,m}k_{2,m})^{-1}{\bigg (}H_{1,m}\nabla _{\lambda }n_{m}\pm \nabla _{\lambda }\phi _{2,(m-1)}{\bigg )}}$$

usando

$${\displaystyle \nabla _{\lambda }={\frac {\partial }{\partial \lambda }}}$$

También,

$${\displaystyle {\begin{aligned}k_{1,m}={\frac {\cos \psi _{1,m}}{\cos \phi _{1,m}}}&\qquad k_{2,m}={\frac {\cos \phi _{2,m}}{\cos \psi _{2,m}}}\\[8pt]H_{1,m}={\frac {\tan \phi _{1,m}}{n_{m}}}&\qquad H_{2,m}={\frac {\tan \phi _{2,m}}{n_{m}}}\end{aligned}}}$$

Aquí,${\displaystyle \phi _{1,m}}$es el ángulo de incidencia, en el prisma m , y${\displaystyle \psi _{1,m}}$su ángulo de refracción correspondiente. De manera similar,${\displaystyle \phi _{2,m}}$es el ángulo de salida y${\displaystyle \psi _{2,m}}$su ángulo de refracción correspondiente. Las dos ecuaciones principales dan la dispersión de primer orden para una matriz de m prismas en la superficie de salida del m -ésimo prisma. El signo más en el segundo término entre paréntesis se refiere a una configuración dispersiva positiva, mientras que el signo menos se refiere a una configuración compensadora. ^{[ 6 ] [ 7 ]} Los factores k son las expansiones de haz correspondientes, y los factores H son cantidades geométricas adicionales. También se puede ver que la dispersión del m -ésimo prisma depende de la dispersión del prisma anterior ( m – 1 ) .

Estas ecuaciones también pueden utilizarse para cuantificar la dispersión angular en conjuntos de prismas, como se describe en el libro Óptica de Isaac Newton , y como se emplea en instrumentación dispersiva, como los espectrómetros de prismas múltiples. Duarte ofrece una revisión exhaustiva sobre expansores de haz de prismas múltiples prácticos y la teoría de la dispersión angular de prismas múltiples, incluyendo ecuaciones explícitas y listas para aplicar (estilo de ingeniería). ^{[ 9 ]}

Más recientemente, la teoría generalizada de dispersión de prismas múltiples se ha extendido para incluir la refracción positiva y negativa . ^{[ 10 ]} Además, se han derivado derivadas de fase de orden superior utilizando un enfoque iterativo newtoniano. ^{[ 11 ]} Esta extensión de la teoría permite la evaluación de la N-ésima derivada superior a través de un elegante marco matemático. Las aplicaciones incluyen refinamientos adicionales en el diseño de compresores de pulsos de prisma y óptica no lineal .

Dispersión de prisma único

Para un único prisma generalizado ( m = 1 ), la ecuación de dispersión generalizada de prismas múltiples se simplifica a ^{[ 5 ] [ 12 ]}

$${\displaystyle {\frac {\partial \phi _{2,1}}{\partial \lambda }}={\frac {\sin \psi _{2,1}}{\cos \phi _{2,1}}}{\frac {\partial n_{1}}{\partial \lambda }}+{\frac {\cos \psi _{2,1}}{\cos \phi _{2,1}}}\tan \psi _{1,1}{\frac {\partial n_{1}}{\partial \lambda }}}$$

Si el prisma único es un prisma de ángulo recto con el haz saliendo normal a la cara de salida, es decir${\displaystyle \phi _{2,m}}$igual a cero, esta ecuación se reduce a ^{[ 9 ]}

$${\displaystyle {\frac {\partial \phi _{2,1}}{\partial \lambda }}=\tan \psi _{1,1}{\frac {\partial n_{1}}{\partial \lambda }}}$$

La primera aplicación de esta teoría fue evaluar el ancho de línea del láser en osciladores láser de rejilla de prismas múltiples. ^{[ 6 ]} La dispersión angular intracavitaria total juega un papel importante en el estrechamiento del ancho de línea de los láseres sintonizables pulsados ​​a través de la ecuación ^{[ 6 ] [ 9 ]}

${\displaystyle \Delta \lambda \approx \Delta \theta \left({\partial \Theta \over \partial \lambda }\right)^{-1}}$

dónde${\displaystyle \Delta \theta }$es la divergencia del haz y la dispersión angular intracavitaria total es la cantidad entre paréntesis (elevada a –1). Aunque originalmente de origen clásico, en 1992 se demostró que esta ecuación de ancho de línea de cavidad láser también puede derivarse de principios cuánticos interferométricos . ^{[ 13 ]}

Para el caso especial de dispersión cero del expansor de haz de prismas múltiples, el ancho de línea láser de paso único viene dado por ^{[ 9 ] [ 12 ].}

${\displaystyle \Delta \lambda \approx \Delta \theta \left(M{\partial \theta \over \partial \lambda }\right)^{-1}}$

donde M es la magnificación del haz proporcionada por el expansor de haz que multiplica la dispersión angular proporcionada por la rejilla de difracción. En la práctica, M puede llegar a ser tan alta como 100-200. ^{[ 9 ] [ 12 ]}

Cuando la dispersión del expansor de prismas múltiples no es igual a cero, entonces el ancho de línea de paso único viene dado por ^{[ 6 ] [ 9 ].}

${\displaystyle \Delta \lambda \approx \Delta \theta \left(M{\partial \theta \over \partial \lambda }+{\partial \phi _{2,m} \over \partial \lambda }\right)^{-1}}$

donde el primer diferencial se refiere a la dispersión angular de la rejilla y el segundo diferencial se refiere a la dispersión total del expansor de haz de prismas múltiples (dado en la sección anterior). ^{[ 9 ] [ 12 ]}

En 1987, la teoría de dispersión angular de prismas múltiples se extendió para proporcionar ecuaciones explícitas de segundo orden directamente aplicables al diseño de compresores de pulsos prismáticos . ^{[ 14 ]} La teoría generalizada de dispersión de prismas múltiples es aplicable a:

• Prismas de Amici ^{[ 15 ] [ 16 ]}
• microscopía láser , ^{[ 17 ] [ 18 ]}
• diseño de láser sintonizable de ancho de línea estrecho , ^{[ 19 ]}
• expansores de haz prismáticos ^{[ 6 ] [ 7 ]}
• Compresores de prisma para láseres de pulsos de femtosegundos . ^{[ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]}

• Expansor de haz
• ancho de línea láser
• Oscilador láser de rejilla de prismas múltiples

• Compresión de pulsos mediante prismas y prismas múltiples: Tutorial