Criterio de consistencia

Un sistema de votación satisface la consistencia de unión (también llamada criterio de refuerzo ) si la combinación de dos conjuntos de votos, ambos eligiendo A sobre B , siempre da como resultado un electorado combinado que clasifica a A sobre B.Es una forma más estricta del criterio de participación . Los sistemas que no cumplen con el criterio de consistencia (como el voto por segunda vuelta instantánea o los métodos de Condorcet ) son susceptibles a la paradoja de los distritos múltiples , un comportamiento patológico en el que un candidato puede ganar una elección sin obtener la victoria en un solo distrito electoral. ^{[ 1 ]} Por el contrario, puede considerarse que permite una forma particularmente flagrante de manipulación electoral : es posible trazar límites de tal manera que un candidato que gana la elección general no obtenga la victoria en un solo distrito electoral . ^{[ 1 ]}

Las reglas susceptibles a la paradoja de los distritos múltiples incluyen todos los métodos de Condorcet ^{[ 2 ]} y la votación por orden de preferencia (o votación por orden de preferencia) . Las reglas que no son susceptibles a ella incluyen todas las reglas de votación posicional (como la pluralidad de primera preferencia y el recuento de Borda ), así como la votación por puntuación y la votación por aprobación .

Variantes

Existen tres variantes de consistencia de unión:

Consistencia del ganador : si dos distritos eligen al mismo ganador A , A también gana en un nuevo distrito formado al combinar los dos.
Consistencia en la clasificación : si dos distritos clasifican a un conjunto de candidatos exactamente de la misma manera, entonces el distrito combinado arroja la misma clasificación para todos los candidatos.
Consistencia en la calificación : si dos distritos asignan a un candidato la misma calificación general , entonces el distrito combinado le asignará a ese candidato la misma calificación.

Un sistema de votación es consistente con el ganador si y solo si es un método de suma de puntos; en otras palabras, debe ser un sistema de votación posicional o de puntuación (incluida la votación de aprobación ). ^{[ 3 ]}^{[ 2 ]}

Como se muestra a continuación para la regla de Kemeny y el juicio por mayoría , estas tres variantes no siempre coinciden entre sí (lo que contrasta con la mayoría de los demás criterios de votación). Kemeny es el único método Condorcet consistente en cuanto a la clasificación, y ningún método Condorcet puede ser consistente en cuanto al ganador. ^{[ 2 ]}

Ejemplos

Copeland

Este ejemplo muestra que el método de Copeland viola el criterio de consistencia. Supongamos cinco candidatos A, B, C, D y E con 27 votantes con las siguientes preferencias:

Ahora, el conjunto de todos los votantes se divide en dos grupos en la línea en negrita. Los votantes que se encuentran más allá de la línea forman el primer grupo; los demás, el segundo.

Primer grupo de votantes

A continuación se determina el ganador del premio Copeland para el primer grupo de votantes.

Los resultados se tabularían de la siguiente manera:

↑ indica los votantes que prefirieron al candidato que aparece en el encabezado de la columna al candidato que aparece en el encabezado de la fila.
↑ indica los votantes que prefirieron al candidato que aparece en el encabezado de la fila al candidato que aparece en el encabezado de la columna.

Resultado : Con los votos del primer grupo de votantes, A puede derrotar a tres de los cuatro oponentes, mientras que ningún otro candidato logra vencer a más de dos oponentes. Por lo tanto, A es elegido ganador de Copeland por el primer grupo de votantes.

Segundo grupo de votantes

Ahora ya se conoce al ganador del premio Copeland para el segundo grupo de votantes.

Los resultados se tabularían de la siguiente manera:

Resultado : Si se tienen en cuenta únicamente los votos del segundo grupo, A logra derrotar a tres de sus cuatro oponentes, mientras que ningún otro candidato vence a más de dos. Por lo tanto, A es elegido ganador de Copeland por el segundo grupo de votantes.

Todos los votantes

Finalmente, se determina el ganador del premio Copeland entre todos los votantes.

Los resultados se tabularían de la siguiente manera:

Resultado : C es el ganador de Condorcet, por lo tanto, Copeland elige a C como ganador.

Votación por segunda vuelta instantánea

Este ejemplo muestra que la votación por segunda vuelta instantánea viola el criterio de consistencia. Supongamos tres candidatos A, B y C y 23 votantes con las siguientes preferencias:

Ahora, el conjunto de todos los votantes se divide en dos grupos en la línea en negrita. Los votantes que se encuentran más allá de la línea forman el primer grupo; los demás, el segundo.

Primer grupo de votantes

A continuación se determina el ganador de la segunda vuelta instantánea para el primer grupo de votantes.

B solo tiene 2 votos y es eliminado primero. Sus votos se transfieren a A. Ahora, A tiene 6 votos y gana contra C, que tiene 4 votos.

Resultado : A vence a C, después de que B haya sido eliminado.

Segundo grupo de votantes

Ahora ya se conoce al ganador de la segunda vuelta instantánea para el segundo grupo de votantes.

C tiene la menor cantidad de votos, 3, y queda eliminada. A se beneficia de ello, obteniendo todos los votos de C. Ahora, con 7 votos, A gana contra B, que tiene 6 votos.

Resultado : A gana contra B, después de que C haya sido eliminado.

Todos los votantes

Finalmente, se determina el ganador de la segunda vuelta instantánea entre todos los votantes.

C tiene el menor número de preferencias de primera preferencia y, por lo tanto, es eliminado primero; sus votos se dividen: 4 se transfieren a B y 3 a A. Así, B gana con 12 votos frente a los 11 votos de A.

Resultado : B gana contra A, después de que C sea eliminado.

Conclusión

A es el ganador de la segunda vuelta instantánea tanto en el primer grupo de votantes como en el segundo. Sin embargo, ambos grupos, en conjunto, eligen a B como ganador de la segunda vuelta instantánea. Por lo tanto, la votación por segunda vuelta instantánea no cumple con el criterio de consistencia.

Método Kemeny

Este ejemplo muestra que el método de Kemeny viola el criterio de consistencia. Supongamos tres candidatos A, B y C y 38 votantes con las siguientes preferencias:

Ahora, el conjunto de todos los votantes se divide en dos grupos en la línea en negrita. Los votantes que se encuentran más allá de la línea forman el primer grupo; los demás, el segundo.

Primer grupo de votantes

A continuación se determina el ganador de Kemeny para el primer grupo de votantes.

El método Kemeny organiza los recuentos de comparaciones por pares en la siguiente tabla de recuento:

Las puntuaciones de clasificación de todas las posibles clasificaciones son:

Resultado : La clasificación A > B > C tiene la puntuación más alta. Por lo tanto, A gana por delante de B y C.

Segundo grupo de votantes

Ahora ya se conoce al ganador de Kemeny para el segundo grupo de votantes.

El método Kemeny organiza los recuentos de comparaciones por pares en la siguiente tabla de recuento:

Las puntuaciones de clasificación de todas las posibles clasificaciones son:

Resultado : La clasificación A > C > B tiene la puntuación más alta. Por lo tanto, A gana por delante de C y B.

Todos los votantes

Finalmente, se determina el ganador de Kemeny según el conjunto completo de votantes.

El método Kemeny organiza los recuentos de comparaciones por pares en la siguiente tabla de recuento:

Las puntuaciones de clasificación de todas las posibles clasificaciones son:

Resultado : La clasificación B > A > C tiene la puntuación más alta. Por lo tanto, B gana por delante de A y C.

Conclusión

A es el ganador de Kemeny tanto en el primer grupo de votantes como en el segundo. Sin embargo, ambos grupos, en conjunto, eligen a B como ganador de Kemeny. Por lo tanto, el método Kemeny no cumple con el criterio de refuerzo.

Consistencia en la clasificación

El método de Kemeny cumple con el principio de consistencia de ordenación; es decir, si el electorado se divide arbitrariamente en dos partes y las elecciones separadas en cada parte dan como resultado la misma ordenación, una elección del electorado completo también seleccionará esa misma ordenación. De hecho, es el único método de Condorcet que cumple con el principio de consistencia de ordenación.

Prueba informal

La puntuación Kemeny de una clasificación ${\mathcal {R}}$ se calcula sumando el número de comparaciones por pares en cada papeleta que coinciden con la clasificación. ${\mathcal {R}}$ . Por lo tanto, la puntuación de Kemeny $s_{V}({\mathcal {R}})$ para un electorado $V$ se puede calcular separando el electorado en subconjuntos disjuntos $V=V_{1}\cup V_{2}$ (con $V_{1}\cap V_{2}=\emptyset$ ), calculando las puntuaciones de Kemeny para estos subconjuntos y sumándolas:

{\text{(I)}}\quad s_{V}({\mathcal {R}})=s_{V_{1}}({\mathcal {R}})+s_{V_{2}}({\mathcal {R}})

.

Ahora, consideremos una elección con electorado $V$ La premisa del refuerzo es dividir arbitrariamente al electorado en dos partes. $V=V_{1}\cup V_{2}$ y en cada parte la misma clasificación ${\mathcal {R}}$ Se selecciona. Esto significa que la puntuación de Kemeny para la clasificación ${\mathcal {R}}$ en cada electorado es mayor que en cualquier otro ranking ${\mathcal {R}}'$ :

{\begin{aligned}{\text{(II)}}\quad \forall {\mathcal {R}}':{}&s_{V_{1}}({\mathcal {R}})>s_{V_{1}}({\mathcal {R}}')\\{\text{(III)}}\quad \forall {\mathcal {R}}':{}&s_{V_{2}}({\mathcal {R}})>s_{V_{2}}({\mathcal {R}}')\end{aligned}}

Ahora bien, hay que demostrar que la puntuación de Kemeny del ranking ${\mathcal {R}}$ En todo el electorado es mayor que la puntuación de Kemeny de cualquier otro ranking. ${\mathcal {R}}'$ :

s_{V}({\mathcal {R}})\ {\stackrel {(I)}{=}}\ s_{V_{1}}({\mathcal {R}})+s_{V_{2}}({\mathcal {R}})\ {\stackrel {(II)}{>}}\ s_{V_{1}}({\mathcal {R}}')+s_{V_{2}}({\mathcal {R}})\ {\stackrel {(III)}{>}}\ s_{V_{1}}({\mathcal {R}}')+s_{V_{2}}({\mathcal {R}}')\ {\stackrel {(I)}{=}}\ s_{V}({\mathcal {R}}')\quad q.e.d.

Por lo tanto, el método de Kemeny es consistente con respecto a las clasificaciones completas.

Sentencia mayoritaria

Este ejemplo muestra que el juicio de la mayoría viola el principio de refuerzo. Supongamos dos candidatos, A y B, y 10 votantes con las siguientes calificaciones:

Ahora, el conjunto de todos los votantes se divide en dos grupos en la línea en negrita. Los votantes que se encuentran más allá de la línea forman el primer grupo; los demás, el segundo.

Primer grupo de votantes

A continuación se determina el ganador por mayoría de votos para el primer grupo de votantes.

Las calificaciones ordenadas serían las siguientes:

Resultado : Con los votos del primer grupo de votantes, A tiene una calificación media de "Excelente" y B tiene una calificación media de "Regular". Por lo tanto, A es elegido ganador por mayoría simple del primer grupo de votantes.

Segundo grupo de votantes

Ahora, se determina quién será el ganador por mayoría de votos para el segundo grupo de votantes.

Las calificaciones ordenadas serían las siguientes:

Resultado : Si se tienen en cuenta únicamente los votos del segundo grupo, A obtiene una calificación media de "Regular" y B una calificación media de "Malo". Por lo tanto, A resulta elegido ganador por mayoría de votos del segundo grupo de votantes.

Todos los votantes

Finalmente, se determina quién ganó por mayoría de votos del conjunto completo de votantes.

Las calificaciones ordenadas serían las siguientes:

Las calificaciones medianas de A y B son ambas "Regular". Dado que hay un empate, se eliminan las calificaciones "Regular" de ambas hasta que sus medianas sean diferentes. Después de eliminar el 20% de las calificaciones "Regular" de los votos de cada una, las calificaciones ordenadas son ahora:

Resultado : Ahora, la calificación media de A es "Mala" y la de B es "Regular". Por lo tanto, B es elegido ganador por mayoría de votos.

Conclusión

A es el ganador del juicio mayoritario tanto en el primer grupo de votantes como en el segundo. Sin embargo, ambos grupos, en conjunto, eligen a B como ganador del juicio mayoritario. Por lo tanto, el juicio mayoritario no cumple con el criterio de consistencia.

Parejas clasificadas

Este ejemplo muestra que el método de pares ordenados viola el criterio de consistencia. Supongamos tres candidatos A, B y C con 39 votantes con las siguientes preferencias:

Ahora, el conjunto de todos los votantes se divide en dos grupos en la línea en negrita. Los votantes que se encuentran más allá de la línea forman el primer grupo; los demás, el segundo.

Primer grupo de votantes

A continuación se determina el ganador de la pareja clasificada para el primer grupo de votantes.

Los resultados se tabularían de la siguiente manera:

La lista ordenada de victorias sería:

Resultado : B > C y A > B se fijan primero (y C > A no se puede fijar después), por lo que la clasificación completa es A > B > C. Por lo tanto, A es elegido ganador de pares clasificados por el primer grupo de votantes.

Segundo grupo de votantes

Ahora, se determina el ganador de la clasificación por parejas para el segundo grupo de votantes.

Los resultados se tabularían de la siguiente manera:

La lista ordenada de victorias sería:

Resultado : Si solo se tienen en cuenta los votos del segundo grupo, A > C y C > B quedan fijados en primer lugar (y B > A no puede fijarse después), por lo que la clasificación completa es A > C > B. Por lo tanto, A es elegido ganador en la clasificación por pares por el segundo grupo de votantes.

Todos los votantes

Finalmente, se determina el ganador de la pareja clasificada según el conjunto completo de votantes.

Los resultados se tabularían de la siguiente manera:

La lista ordenada de victorias sería:

Resultado : Ahora, los tres pares (A > C, B > C y B > A) pueden quedar fijos sin ciclo. La clasificación completa es B > A > C. Por lo tanto, los pares clasificados eligen a B como ganador, que es el ganador de Condorcet, debido a la ausencia de ciclo.

Conclusión

A es el ganador en el método de pares ordenados tanto en el primer grupo de votantes como en el segundo. Sin embargo, ambos grupos, en conjunto, eligen a B como ganador. Por lo tanto, el método de pares ordenados no cumple con el criterio de consistencia.

Referencias

1 2 Franceschini, Fiorenzo; Maisano, Domenico A. (2022-06-01). "Analizando paradojas en decisiones de diseño: el caso de la paradoja de "distrito múltiple"" . International Journal on Interactive Design and Manufacturing (IJIDeM) . 16 (2): 677– 689. doi : 10.1007/s12008-022-00860-x . ISSN 1955-2505 .
1 2 3 Young, HP; Levenglick, A. (1978). "Una extensión consistente del principio de elección de Condorcet" (PDF) . SIAM Journal on Applied Mathematics . 35 (2): 285– 300. doi : 10.1137/0135023 . ISSN 0036-1399 . JSTOR 2100667 .
^ Balinski, Michel; Laraki, Rida (28 de enero de 2011). Sentencia de Mayoría . La prensa del MIT. doi : 10.7551/mitpress/9780262015134.001.0001 . ISBN 978-0-262-01513-4.

^ John H Smith, "Agregación de preferencias con electorado variable",Econometrica,vol. 41 (1973), págs. 1027-1041.
^ DR Woodall, "Propiedades de las reglas de elección preferencial",Voting matters, Número 3 (diciembre de 1994), págs. 8-15.
^ HP Young, "Funciones de puntuación de elección social",SIAM Journal on Applied MathematicsVol. 28, No. 4 (1975), pp. 824–838.

[4] s votantes que prefirieron al candidato que aparece en el encabezado de la columna al candidato que aparece en el encabezado de la fila.

[5] s votantes que prefirieron al candidato que aparece en el encabezado de la fila al candidato que aparece en el encabezado de la columna.

[:1-1] 1 2 Franceschini, Fiorenzo; Maisano, Domenico A. (2022-06-01). "Analizando paradojas en decisiones de diseño: el caso de la paradoja de "distrito múltiple"" . International Journal on Interactive Design and Manufacturing (IJIDeM) . 16 (2): 677– 689. doi : 10.1007/s12008-022-00860-x . ISSN 1955-2505 .

[:0-2] 1 2 3 Young, HP; Levenglick, A. (1978). "Una extensión consistente del principio de elección de Condorcet" (PDF) . SIAM Journal on Applied Mathematics . 35 (2): 285– 300. doi : 10.1137/0135023 . ISSN 0036-1399 . JSTOR 2100667 .

[3] Balinski, Michel; Laraki, Rida (28 de enero de 2011). Sentencia de Mayoría . La prensa del MIT. doi : 10.7551/mitpress/9780262015134.001.0001 . ISBN 978-0-262-01513-4.

[ 3 ]