Modelos de múltiples factores

En finanzas matemáticas , los modelos multifactoriales son modelos de valoración de activos que se utilizan para estimar la tasa de descuento en la valoración de activos financieros; a su vez, pueden emplearse para gestionar el riesgo de la cartera . Generalmente, son extensiones del modelo de valoración de activos de capital (CAPM) de un solo factor.

El modelo de riesgo de renta variable multifactorial fue desarrollado por primera vez por Barr Rosenberg y Vinay Marathe. ^{[ 1 ]} Inicialmente propusieron un modelo lineal de beta

${\displaystyle r(i,t)-r(0,t)=b(i,t)[m(t)-r(0,t)]+g(i,t)}$${\displaystyle b(i,t)=\sum _{j}X(i,j,t)f(j,t)+e(i,t)}$

dónde${\displaystyle r(i,t)}$es el retorno al capital propio${\displaystyle i}$en el período${\displaystyle [t,t+1]}$,${\displaystyle r(0,t)}$es el retorno sin riesgo,${\displaystyle m(t)}$es el rendimiento del índice de mercado,${\displaystyle e(i,t)}$es un rendimiento residual del mercado y${\displaystyle b(i,t)}$es un parámetro ajustado mediante una regresión de series temporales sobre el historial anterior al tiempo t. Entonces${\displaystyle X(i,j,t)}$son valores de exposición al riesgo calculados a partir de datos fundamentales y técnicos,${\displaystyle f(j,t)}$son rendimientos de factores determinados por una regresión transversal para cada período de tiempo y${\displaystyle g(i,t)}$son los residuos de la regresión. Este modelo fue reformulado por Rosenberg et al. en un modelo directo de rendimiento de activos,

${\displaystyle r(i,t)=\sum _{j}X(i,j,t)f(j,t)+e(i,t)}$

Aquí regresa el factor${\displaystyle f(j,t)}$y devoluciones específicas${\displaystyle e(i,t)}$se ajustan mediante una regresión ponderada en cada período de tiempo${\displaystyle t}$para un universo de activos representativo. Por ejemplo, el modelo podría ajustarse a las 3000 acciones comunes estadounidenses de mayor capitalización. La aplicación principal del modelo es estimar la matriz de covarianza activo por activo.${\displaystyle C}$de los rendimientos de los activos mediante la ecuación

${\displaystyle C=XFX^{t}+D}$

dónde${\displaystyle F}$es la matriz de covarianza de los rendimientos de los factores, y${\displaystyle D}$es una matriz diagonal por bloques de rendimientos específicos. La matriz${\displaystyle C}$Luego se utiliza para la construcción de la cartera de Markowitz, que implica maximizar la función de utilidad cuadrática.

${\displaystyle u(h)=a^{t}h-kh^{t}Ch}$

sujeto a restricciones lineales sobre el vector de tenencias de activos${\displaystyle h}$. Aquí a es un vector de rendimientos esperados y${\displaystyle k}$es un parámetro escalar denominado aversión al riesgo.

Nicolo G. Torre realizó varias mejoras a este marco que, de manera importante, agudizaron el control de riesgos alcanzable por estos medios. ^{[ 2 ]} En el modelo de Rosenberg, los índices de riesgo X consistían en ponderaciones de la industria e índices de riesgo. A cada activo se le asignaba una exposición a una o más industrias, por ejemplo, en función de desgloses del balance o estado de resultados de las empresas en segmentos de la industria. Estas exposiciones a la industria sumaban 1 para cada activo. Por lo tanto, el modelo no tenía un factor de mercado explícito, sino que el rendimiento del mercado se proyectaba sobre los rendimientos de la industria. Torre modificó este esquema introduciendo un factor de mercado explícito (con exposición unitaria para cada activo). Para mantener el modelo identificado, se impuso la condición de que los rendimientos del factor de la industria sumaran cero en cada período de tiempo. Por lo tanto, el modelo se estima como

${\displaystyle f(i,t)=m(t)+\sum _{j}X(i,j,t)f(j,t)+e(i,t)}$

sujeto a

${\displaystyle \sum _{k}f(k,t)=0}$a pesar de${\displaystyle t}$

donde la suma se realiza sobre factores de la industria. Aquí m(t) es el rendimiento del mercado. La identificación explícita del factor de mercado permitió a Torre estimar la varianza de este factor utilizando un modelo GARCH(1,1) apalancado debido a Robert Engle y Tim Bollerslev.

 s^2(t)=w+as^2(t-1)+ b1 fp(m(t-1))^2 + b2 fm(m(t-1))^2

Aquí

 fp(x)=x para x>0 0 para x<=0

 fm(x)=0 para x>=0 x para x<0

w, a, b1 y b2 son parámetros ajustados a partir de estimaciones de series temporales largas mediante métodos de máxima verosimilitud. Este modelo proporciona una actualización rápida de la varianza del mercado, la cual se incorpora a la actualización de F, lo que resulta en un modelo de riesgo más dinámico. En particular, considera la convergencia de los rendimientos de los activos y la consiguiente pérdida de diversificación que se produce en las carteras durante períodos de turbulencia del mercado.

En el modelo de riesgo, los factores sectoriales aportan aproximadamente la mitad del poder explicativo una vez considerado el efecto del mercado. Sin embargo, Rosenberg dejó sin resolver cómo definir las agrupaciones sectoriales, optando por basarse simplemente en un conjunto convencional de sectores. Definir conjuntos sectoriales es un problema de taxonomía. La dificultad fundamental reside en que el sector se define por los miembros que se le asignan, pero a menudo no está claro a qué sector debe asignarse una acción individual. Estas dificultades pueden mitigarse introduciendo un gran número de sectores definidos con precisión, pero este enfoque entra en conflicto con las exigencias de la estimación de riesgos. Para obtener estimaciones de riesgo sólidas, preferimos un número moderado de sectores, donde cada sector represente unos pocos puntos porcentuales de la capitalización de mercado y no esté dominado exclusivamente por la empresa más grande del sector. Torre resolvió este problema introduciendo varios cientos de minisectores definidos con precisión y aplicando técnicas de agrupamiento guiado para combinarlos en grupos sectoriales adecuados para la estimación de riesgos.

En el enfoque inicial de Rosenberg, se asume que los rendimientos específicos y de los factores siguen una distribución normal. Sin embargo, la experiencia revela una serie de observaciones atípicas que son demasiado grandes y frecuentes para ajustarse a una distribución normal. Aunque la introducción de un factor de mercado GARCH reduce parcialmente esta dificultad, no la elimina. Torre demostró que las distribuciones de rendimiento pueden modelarse como una mezcla de una distribución normal y una distribución de saltos. En el caso de un solo factor, el modelo de mezcla se enuncia fácilmente. En cada período de tiempo t, existe una variable de mezcla binaria b(t). Si b(t)=0, el rendimiento del factor en ese período se extrae de la distribución normal, y si b(t)=1, se extrae de la distribución de saltos. Torre descubrió que se producen saltos simultáneos en los factores. Por consiguiente, en el caso multivariado, es necesario introducir un vector de choque multivariado w(i,t), donde w(i,t)=0 si la variable de mezcla multivariada b(i,t)=0 y w(i,t) se extrae de la i-ésima distribución de saltos si b(i,t)=1. Una matriz de transmisión T mapea entonces w del espacio de choques al espacio de factores. Torre descubrió que los rendimientos del mercado, de los factores y específicos podían describirse mediante una combinación de rendimientos normales y choques con distribución de ley de potencias que ocurren con baja frecuencia. Este refinamiento del modelo mejora sustancialmente su desempeño con respecto a eventos extremos. De este modo, permite la construcción de carteras que se comportan de manera más predecible durante períodos de turbulencia del mercado.

Aunque originalmente desarrollado para el mercado de renta variable estadounidense, el modelo de riesgo multifactorial se extendió rápidamente a otros mercados de renta variable y a otros tipos de valores, como bonos y opciones sobre acciones. Surge entonces el problema de cómo construir un modelo de riesgo multiactivo. Beckers, Rudd y Stefek realizaron un primer enfoque para el mercado de renta variable global. Estimaron un modelo que incluía divisas, países, industrias globales e índices de riesgo globales. Este modelo funcionó bien para carteras construidas mediante el proceso descendente, seleccionando primero países y luego activos dentro de ellos. Tuvo menos éxito en carteras construidas mediante un proceso ascendente, en el que las carteras dentro de los países fueron seleccionadas primero por especialistas de cada país y luego se aplicó una superposición global. Además, el modelo global aplicado a una cartera de un solo país a menudo entraba en conflicto con el modelo de mercado local. Torre resolvió estas dificultades introduciendo un análisis factorial en dos etapas. La primera etapa consiste en ajustar una serie de modelos factoriales locales de la forma habitual, lo que da como resultado un conjunto de rendimientos factoriales f(i,j,t), donde f(i,j,t) es el rendimiento del factor i en el j-ésimo modelo local en t. Los rendimientos de los factores se ajustan luego a un modelo de segunda etapa de la forma

${\displaystyle f(i,j,t)=\sum _{k}Y(i,j,k)g(k,t)+h(i,j,t)}$

Aquí Y da la exposición del factor local (i,j) al${\displaystyle k^{t}h}$factor global cuyo retorno es g(k,t) y h(i,j,t) es el retorno del factor específico local. La matriz de covarianza de los retornos de los factores se estima como

${\displaystyle \mathbf {F=YGY^{t}+H} }$

donde G es la matriz de covarianza de los factores globales y H son las covarianzas diagonales por bloques de los rendimientos de los factores específicos locales. Este enfoque de modelado permite combinar cualquier número de modelos locales para proporcionar un análisis integral de múltiples clases de activos. Esto es particularmente relevante para las carteras de renta variable globales y para la gestión de riesgos a nivel empresarial.

El modelo de riesgo multifactorial, con las mejoras descritas anteriormente, es el método predominante para controlar el riesgo en las carteras gestionadas profesionalmente. Se estima que más de la mitad del capital mundial se gestiona utilizando este tipo de modelos.

Muchos académicos han intentado construir modelos factoriales con un número relativamente pequeño de parámetros. Estos incluyen:

• Modelo trifactorial de Fama-French
• Modelo de cuatro factores de Carhart
• Teoría de precios de arbitraje

Sin embargo, aún no existe un acuerdo general sobre cuántos factores hay. ^{[ 3 ]} Hay numerosos modelos comerciales disponibles, incluidos los de MSCI y el modelo de factores de gestión de activos de Goldman Sachs . ^{[ 4 ]}