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Articulo de referencia

Integral múltiple

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Integral como área entre dos curvas.
Integral doble como volumen bajo una superficie z = 10 − ( ⁠ x 2 − y 2 / 8 ⁠ ) . La región rectangular en la parte inferior del cuerpo es el dominio de integración, mientras que la superficie es la gráfica de la función de dos variables que se va a integrar.

En matemáticas (específicamente en cálculo multivariable ), una integral múltiple es una integral definida de una función de varias variables reales , por ejemplo, f ( x , y ) o f ( x , y , z ) .

Integrales de una función de dos variables sobre una región enR2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}(el plano de los números reales ) se llaman integrales dobles , e integrales de una función de tres variables sobre una región enR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}(espacio 3D de números reales) se denominan integrales triples . [ 1 ]

Introducción

Así como la integral definida de una función positiva de una variable representa el área de la región entre la gráfica de la función y el eje x , la integral doble de una función positiva de dos variables representa el volumen de la región entre la superficie definida por la función (en el plano cartesiano tridimensional donde z = f ( x , y ) ) y el plano que contiene su dominio . [ 1 ] Si hay más variables, una integral múltiple producirá hipervolúmenes de funciones multidimensionales.

La integración múltiple de una función en n variables: f ( x 1 , x 2 , ..., x n ) sobre un dominio D se representa comúnmente mediante signos de integral anidados en orden inverso de ejecución (el signo de integral más a la izquierda se calcula al final), seguidos de la función y los argumentos del integrando en el orden correcto (la integral con respecto al argumento más a la derecha se calcula al final). El dominio de integración se representa simbólicamente para cada argumento sobre cada signo de integral, o se abrevia mediante una variable en el signo de integral más a la derecha: [ 2 ]

∫⋯∫DF(incógnita1,incógnita2,…,incógnitanorte)dincógnita1⋯dincógnitanorte{\displaystyle \int \cdots \int _{\mathbf {D} }\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}}

Dado que el concepto de antiderivada solo está definido para funciones de una sola variable real, la definición habitual de la integral indefinida no se extiende inmediatamente a la integral múltiple.

Definición matemática

Para n > 1 , consideremos un dominio hiperrectangular n -dimensional denominado "semiabierto" T , definido como

T=[a1,b1)×[a2,b2)×⋯×[anorte,bnorte)⊆Rnorte{\displaystyle T=[a_{1},b_{1})\times [a_{2},b_{2})\times \cdots \times [a_{n},b_{n})\subseteq \mathbb {R} ^{n}}.

Dividir cada intervalo [ a j , b j ) en una familia finita I j de subintervalos no superpuestos i j α , con cada subintervalo cerrado en el extremo izquierdo y abierto en el extremo derecho.

Entonces, la familia finita de subrectángulos C dada por

do=I1×I2×⋯×Inorte{\displaystyle C=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}}

es una partición de T ; es decir, los subrectángulos C k no se superponen y su unión es T.

Sea f  : T → R una función definida en T . Consideremos una partición C de T como se definió anteriormente, tal que C es una familia de m subrectángulos C m y

T=do1∪do2∪⋯∪dometro{\displaystyle T=C_{1}\cup C_{2}\cup \cdots \cup C_{m}}

Podemos aproximar el volumen total ( n + 1) dimensional acotado inferiormente por el hiperrectángulo n- dimensional T y superiormente por la gráfica n- dimensional de f con la siguiente suma de Riemann :

∑k=1metroF(PAGk)metro⁡(dok){\displaystyle \sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} (C_{k})}

donde P k es un punto en C k y m( C k ) es el producto de las longitudes de los intervalos cuyo producto cartesiano es C k , también conocido como la medida de C k .

El diámetro de un subrectángulo C k es la mayor de las longitudes de los intervalos cuyo producto cartesiano es C k . El diámetro de una partición dada de T se define como el mayor de los diámetros de los subrectángulos en la partición. Intuitivamente, a medida que el diámetro de la partición C se restringe cada vez más, el número de subrectángulos m aumenta y la medida m( C k ) de cada subrectángulo disminuye. Se dice que la función f es integrable de Riemann si el límite

S=límiteδ→0∑k=1metroF(PAGk)metro⁡(dok){\displaystyle S=\lim _{\delta \to 0}\sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} (C_{k})}

existe, donde el límite se toma sobre todas las particiones posibles de T de diámetro como máximo δ . [ 3 ]

Si f es integrable de Riemann, S se llama la integral de Riemann de f sobre T y se denota

∫⋯∫TF(incógnita1,incógnita2,…,incógnitanorte)dincógnita1⋯dincógnitanorte{\displaystyle \int \cdots \int _{T}\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}}.

Con frecuencia esta notación se abrevia como

∫TF(incógnita)dnorteincógnita{\displaystyle \int _{T}\!f(\mathbf {x} )\,d^{n}\mathbf {x} }.

donde x representa la n- tupla ( x 1 , ..., x n ) y d n x es el diferencial de volumen n -dimensional .

La integral de Riemann de una función definida sobre un conjunto arbitrario acotado de n dimensiones se puede definir extendiendo dicha función a una función definida sobre un rectángulo semiabierto cuyos valores son cero fuera del dominio de la función original. Entonces, la integral de la función original sobre el dominio original se define como la integral de la función extendida sobre su dominio rectangular, si existe.

En lo que sigue, la integral de Riemann en n dimensiones se denominará integral múltiple .

Propiedades

Las integrales múltiples comparten muchas propiedades con las integrales de funciones de una variable (linealidad, conmutatividad, monotonicidad, etc.). Una propiedad importante de las integrales múltiples es que su valor es independiente del orden de los integrandos bajo ciertas condiciones. Esta propiedad se conoce popularmente como el teorema de Fubini . [ 4 ]

Casos particulares

En el caso deT⊆R2{\displaystyle T\subseteq \mathbb {R} ^{2}}, la integral

l=∬TF(incógnita,y)dincógnitady{\displaystyle l=\iint _ {T}f(x,y)\,dx\,dy}

es la integral doble de f en T , y siT⊆R3{\displaystyle T\subseteq \mathbb {R} ^{3}}la integral

l=∭TF(incógnita,y,z)dincógnitadydz{\displaystyle l=\iiint _ {T}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz}

es la integral triple de f en T .

Obsérvese que, por convención, la integral doble tiene dos signos de integral y la integral triple tiene tres; esta es una convención de notación que resulta conveniente al calcular una integral múltiple como una integral iterada, como se muestra más adelante en este artículo.

Métodos de integración

La resolución de problemas con integrales múltiples consiste, en la mayoría de los casos, en encontrar una manera de reducir la integral múltiple a una integral iterada , una serie de integrales de una variable, cada una de las cuales es directamente resoluble. Para funciones continuas, esto se justifica por el teorema de Fubini . En ocasiones, es posible obtener el resultado de la integración mediante examen directo, sin necesidad de cálculos.

Los siguientes son algunos métodos sencillos de integración: [ 1 ]

Integración de funciones constantes

Cuando el integrando es una función constante c , la integral es igual al producto de c y la medida del dominio de integración. Si c = 1 y el dominio es una subregión de R² , la integral proporciona el área de la región; si el dominio es una subregión de R³ , la integral proporciona el volumen de la región.

Ejemplo. Sea f ( x , y ) = 2 y

D={(incógnita,y)∈R2 : 2≤incógnita≤4 ; 3≤y≤6}{\displaystyle D=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ :\ 2\leq x\leq 4\  ;\ 3\leq y\leq 6\right\}} ,

en cuyo caso

∫36∫24 2 dincógnitady=2∫36∫24 1 dincógnitady=2⋅área⁡(D)=2⋅(2⋅3)=12{\displaystyle \int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 2\ dx\,dy=2\int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 1\ dx\,dy=2\cdot \operatorname {area} (D)=2\cdot (2\cdot 3)=12},

puesto que por definición tenemos:

∫36∫24 1 dincógnitady=área⁡(D){\displaystyle \int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 1\ dx\,dy=\operatorname {area} (D)}.

Uso de la simetría

Cuando el dominio de integración es simétrico respecto al origen con respecto a al menos una de las variables de integración y el integrando es impar con respecto a dicha variable, la integral es igual a cero, ya que las integrales sobre las dos mitades del dominio tienen el mismo valor absoluto pero signos opuestos. Cuando el integrando es par con respecto a dicha variable, la integral es igual al doble de la integral sobre una mitad del dominio, ya que las integrales sobre las dos mitades del dominio son iguales.

Ejemplo 1. Considere la función f ( x , y ) = 2 sin( x ) − 3 y 3 + 5 integrada sobre el dominio

T={(incógnita,y)∈R2 : incógnita2+y2≤1}{\displaystyle T=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ :\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}} ,

un disco de radio  1 centrado en el origen con el borde incluido.

Utilizando la propiedad de linealidad, la integral se puede descomponer en tres partes:

∬T(2pecado⁡incógnita−3y3+5)dincógnitady=∬T2pecado⁡incógnitadincógnitady−∬T3y3dincógnitady+∬T5dincógnitady{\displaystyle \iint _{T}\left(2\sin x-3y^{3}+5\right)\,dx\,dy=\iint _{T}2\sin x\,dx\,dy-\iint _{T}3y^{3}\,dx\,dy+\iint _{T}5\,dx\,dy}.

La función 2 sin( x ) es una función impar en la variable x y el disco T es simétrico con respecto al eje y , por lo que el valor de la primera integral es 0. De manera similar, la función 3 y 3 es una función impar de y , y T es simétrico con respecto al eje x , por lo que la única contribución al resultado final es la de la tercera integral. Por lo tanto, la integral original es igual al área del disco multiplicada por 5, o 5 π .

Ejemplo 2. Considere la función f ( x , y , z ) = x exp( y 2 + z 2 ) y como región de integración la bola de radio 2 centrada en el origen,

T={(incógnita,y,z)∈R3 : incógnita2+y2+z2≤4}{\displaystyle T=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 4\right\}} .

La "bola" es simétrica con respecto a los tres ejes, pero basta con integrar con respecto al eje x para demostrar que la integral es 0, porque la función es una función impar de esa variable.

Dominios normales en R 2

Este método es aplicable a cualquier dominio D para el cual:

  • La proyección de D sobre el eje x o sobre el eje y está delimitada por los dos valores, a y b.
  • Cualquier línea perpendicular a este eje que pase entre estos dos valores interseca el dominio en un intervalo cuyos extremos están dados por las gráficas de dos funciones, α y β.

Dicho dominio se denominará aquí dominio normal . En otras fuentes, los dominios normales se denominan a veces dominios de tipo I o tipo II, según el eje sobre el que se fibra el dominio. En todos los casos, la función que se va a integrar debe ser integrable en el sentido de Riemann en el dominio, lo cual se cumple (por ejemplo) si la función es continua.

eje x

Si el dominio D es normal con respecto al eje x , y f  : D → R es una función continua ; entonces α ( x ) y β ( x ) (ambas definidas en el intervalo [ a , b ] ) son las dos funciones que determinan D . Entonces, por el teorema de Fubini: [ 5 ]

∬DF(incógnita,y)dincógnitady=∫abdincógnita∫α(incógnita)β(incógnita)F(incógnita,y)dy{\displaystyle \iint _{D}f(x,y)\,dx\,dy=\int _{a}^{b}dx\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)\,dy}.

eje y

Si D es normal con respecto al eje y y f  : D → R es una función continua, entonces α ( y ) y β ( y ) (ambas definidas en el intervalo [ a , b ] ) son las dos funciones que determinan D . Nuevamente, por el teorema de Fubini:

∬DF(incógnita,y)dincógnitady=∫abdy∫α(y)β(y)F(incógnita,y)dincógnita{\displaystyle \iint _{D}f(x,y)\,dx\,dy=\int _{a}^{b}dy\int _{\alpha (y)}^{\beta (y)}f(x,y)\,dx}.

Dominios normales en R 3

Si T es un dominio normal al plano xy y determinado por las funciones α ( x , y ) y β ( x , y ) , entonces

∭TF(incógnita,y,z)dincógnitadydz=∬D∫α(incógnita,y)β(incógnita,y)F(incógnita,y,z)dzdincógnitady{\displaystyle \iiint _{T}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iint _{D}\int _{\alpha (x,y)}^{\beta (x,y)}f(x,y,z)\,dz\,dx\,dy}.

Esta definición es la misma para los otros cinco casos de normalidad en R 3 . Se puede generalizar de forma sencilla a dominios en R n .

Cambio de variables

Los límites de integración a menudo no son fácilmente intercambiables (sin normalidad o con fórmulas de integración complejas). Se realiza un cambio de variables para reescribir la integral en una región más "cómoda", que puede describirse con fórmulas más sencillas. Para ello, la función debe adaptarse a las nuevas coordenadas.

Ejemplo 1a. La función es f ( x , y ) = ( x − 1) 2 + √ y ; si se adopta la sustitución u = x − 1 , v = y por lo tanto x = u + 1 , y = v se obtiene la nueva función f 2 ( u , v ) = ( u ) 2 + √ v .

  • De forma similar ocurre con el dominio, ya que está delimitado por las variables originales que fueron transformadas previamente ( x e y en el ejemplo).
  • Los diferenciales dx y dy se transforman mediante el valor absoluto del determinante de la matriz jacobiana que contiene las derivadas parciales de las transformaciones con respecto a la nueva variable (consideremos, como ejemplo, la transformación diferencial en coordenadas polares).

Existen tres "tipos" principales de cambios de variable (uno en R 2 , dos en R 3 ); sin embargo, se pueden realizar sustituciones más generales utilizando el mismo principio.

Coordenadas polares

Transformación de coordenadas cartesianas a polares.

En R² , si el dominio posee simetría circular y la función tiene ciertas características particulares, se puede aplicar la transformación a coordenadas polares (véase el ejemplo en la imagen). Esto significa que los puntos genéricos P ( x , y ) en coordenadas cartesianas se transforman en sus respectivos puntos en coordenadas polares. De esta forma, se puede modificar la forma del dominio y simplificar las operaciones.

La relación fundamental para realizar la transformación es la siguiente:

F(incógnita,y)→F(ρporque⁡φ,ρpecado⁡φ){\displaystyle f(x,y)\rightarrow f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi )}.

Ejemplo 2a. La función es f ( x , y ) = x + y y al aplicar la transformación se obtiene

F(incógnita,y)=F(ρporque⁡φ,ρpecado⁡φ)=ρporque⁡φ+ρpecado⁡φ=ρ(porque⁡φ+pecado⁡φ){\displaystyle f(x,y)=f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi )=\rho \cos \varphi +\rho \sin \varphi =\rho (\cos \varphi +\sin \varphi )}.

Ejemplo 2b. La función es f ( x , y ) = x 2 + y 2 , en este caso se tiene:

F(incógnita,y)=ρ2(porque2⁡φ+pecado2⁡φ)=ρ2{\displaystyle f(x,y)=\rho ^{2}\left(\cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi \right)=\rho ^{2}}

utilizando la identidad trigonométrica pitagórica (puede ser útil para simplificar esta operación).

La transformación del dominio se realiza definiendo la longitud de la corona del radio y la amplitud del ángulo descrito para definir los intervalos ρ , φ que parten de x , y .

Ejemplo de transformación de dominio de cartesiano a polar.

Ejemplo 2c. El dominio es D = { x 2 + y 2 ≤ 4} , es decir, una circunferencia de radio 2; es evidente que el ángulo cubierto es el ángulo del círculo, por lo que φ varía de 0 a 2 π , mientras que el radio de la corona varía de 0 a 2 (la corona con radio interior nulo es simplemente un círculo).

Ejemplo 2d. El dominio es D = { x 2 + y 2 ≤ 9, x 2 + y 2 ≥ 4, y ≥ 0} , es decir, la corona circular en el semiplano y positivo (véase la imagen del ejemplo); φ describe un ángulo plano, mientras que ρ varía de 2 a 3. Por lo tanto, el dominio transformado será el siguiente rectángulo :

T={2≤ρ≤3, 0≤φ≤π}{\displaystyle T=\{2\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \varphi \leq \pi \}}.

El determinante jacobiano de esa transformación es el siguiente:

∂(incógnita,y)∂(ρ,φ)=|porque⁡φ−ρpecado⁡φpecado⁡φρporque⁡φ|=ρ{\displaystyle {\frac {\partial (x,y)}{\partial (\rho ,\varphi )}}={\begin{vmatrix}\cos \varphi &-\rho \sin \varphi \\\sin \varphi &\rho \cos \varphi \end{vmatrix}}=\rho },

que se ha obtenido insertando las derivadas parciales de x = ρ cos( φ ) , y = ρ sin( φ ) en la primera columna con respecto a ρ y en la segunda con respecto a φ , de modo que los diferenciales dx dy en esta transformación se convierten en ρ dρ dφ .

Una vez transformada la función y evaluado el dominio, es posible definir la fórmula para el cambio de variables en coordenadas polares:

∬DF(incógnita,y)dincógnitady=∬TF(ρporque⁡φ,ρpecado⁡φ)ρdρdφ{\displaystyle \iint _{D}f(x,y)\,dx\,dy=\iint _{T}f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi )\rho \,d\rho \,d\varphi }.

φ es válido en el intervalo [ 0, 2π ] mientras que ρ , que es una medida de longitud, solo puede tener valores positivos.

Ejemplo 2e. La función es f ( x , y ) = x y el dominio es el mismo que en el Ejemplo 2d. Del análisis previo de D conocemos los intervalos de ρ (de 2 a 3) y de φ (de 0 a π ). Ahora cambiamos la función:

F(incógnita,y)=incógnita⟶F(ρ,φ)=ρporque⁡φ{\displaystyle f(x,y)=x\longrightarrow f(\rho ,\varphi )=\rho \cos \varphi }.

Finalmente, apliquemos la fórmula de integración:

∬Dincógnitadincógnitady=∬Tρporque⁡φρdρdφ{\displaystyle \iint _{D}x\,dx\,dy=\iint _{T}\rho \cos \varphi \rho \,d\rho \,d\varphi }.

Una vez que se conocen los intervalos, tienes

∫0π∫23ρ2porque⁡φdρdφ=∫0πporque⁡φ dφ[ρ33]23=[pecado⁡φ]0π (9−83)=0{\displaystyle \int _{0}^{\pi }\int _{2}^{3}\rho ^{2}\cos \varphi \,d\rho \,d\varphi =\int _{0}^{\pi }\cos \varphi \ d\varphi \left[{\frac {\rho ^{3}}{3}}\right]_{2}^{3}={\Big [}\sin \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }\ \left(9-{\frac {8}{3}}\right)=0}.

Coordenadas cilíndricas

Coordenadas cilíndricas.

En R 3 la integración en dominios con base circular se puede realizar mediante el paso a coordenadas cilíndricas ; la transformación de la función se realiza mediante la siguiente relación:

F(incógnita,y,z)→F(ρporque⁡φ,ρpecado⁡φ,z){\displaystyle f(x,y,z)\rightarrow f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ,z)}

La transformación del dominio se puede lograr gráficamente, ya que solo varía la forma de la base, mientras que la altura sigue la forma de la región inicial.

Ejemplo 3a. La región es D = { x 2 + y 2 ≤ 9, x 2 + y 2 ≥ 4, 0 ≤ z ≤ 5} (es decir, el "tubo" cuya base es la corona circular del Ejemplo 2d y cuya altura es 5); si se aplica la transformación, se obtiene esta región:

T={2≤ρ≤3, 0≤φ≤2π, 0≤z≤5}{\displaystyle T=\{2\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ 0\leq z\leq 5\}}

(es decir, el paralelepípedo cuya base es similar al rectángulo del Ejemplo 2d y cuya altura es 5).

Debido a que el componente z no varía durante la transformación, los diferenciales dx dy dz varían como en el paso a coordenadas polares: por lo tanto, se convierten en ρ dρ dφ dz .

Finalmente, es posible aplicar la fórmula final a coordenadas cilíndricas:

∭DF(incógnita,y,z)dincógnitadydz=∭TF(ρporque⁡φ,ρpecado⁡φ,z)ρdρdφdz{\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ,z)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz}.

Este método resulta conveniente en el caso de dominios cilíndricos o cónicos, o en regiones donde es fácil delimitar el intervalo z e incluso transformar la base circular y la función.

Ejemplo 3b. La función es f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z y como dominio de integración este cilindro : D = { x 2 + y 2 ≤ 9, −5 ≤ z ≤ 5} . La transformación de D en coordenadas cilíndricas es la siguiente:

T={0≤ρ≤3, 0≤φ≤2π, −5≤z≤5}{\displaystyle T=\{0\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ -5\leq z\leq 5\}}.

mientras que la función se convierte en

F(ρporque⁡φ,ρpecado⁡φ,z)=ρ2+z{\displaystyle f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ,z)=\rho ^{2}+z}.

Finalmente, se puede aplicar la fórmula de integración:

∭D(incógnita2+y2+z)dincógnitadydz=∭T(ρ2+z)ρdρdφdz{\displaystyle \iiint _{D}\left(x^{2}+y^{2}+z\right)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}\left(\rho ^{2}+z\right)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz};

desarrollando la fórmula que tienes

∫−55dz∫02πdφ∫03(ρ3+ρz)dρ=2π∫−55[ρ44+ρ2z2]03dz=2π∫−55(814+92z)dz=⋯=405π{\displaystyle \int _{-5}^{5}dz\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{3}\left(\rho ^{3}+\rho z\right)\,d\rho =2\pi \int _{-5}^{5}\left[{\frac {\rho ^{4}}{4}}+{\frac {\rho ^{2}z}{2}}\right]_{0}^{3}\,dz=2\pi \int _{-5}^{5}\left({\frac {81}{4}}+{\frac {9}{2}}z\right)\,dz=\cdots =405\pi }.

Coordenadas esféricas

Coordenadas esféricas.

En R 3 algunos dominios tienen simetría esférica, por lo que es posible especificar las coordenadas de cada punto de la región de integración mediante dos ángulos y una distancia. Por lo tanto, es posible utilizar el paso a coordenadas esféricas ; la función se transforma mediante esta relación:

F(incógnita,y,z)⟶F(ρporque⁡θpecado⁡φ,ρpecado⁡θpecado⁡φ,ρporque⁡φ){\displaystyle f(x,y,z)\longrightarrow f(\rho \cos \theta \sin \varphi ,\rho \sin \theta \sin \varphi ,\rho \cos \varphi )}.

Los puntos en el eje z no tienen una caracterización precisa en coordenadas esféricas, por lo que θ puede variar entre 0 y 2π .

El dominio de integración más adecuado para este pasaje es la esfera.

Ejemplo 4a. El dominio es D = x² + y² + z² ≤ 16 ( esfera con radio 4 y centro en el origen); al aplicar la transformación se obtiene la región

T={0≤ρ≤4, 0≤φ≤π, 0≤θ≤2π}{\displaystyle T=\{0\leq \rho \leq 4,\ 0\leq \varphi \leq \pi ,\ 0\leq \theta \leq 2\pi \}}.

El determinante jacobiano de esta transformación es el siguiente:

∂(incógnita,y,z)∂(ρ,φ,θ)=|porque⁡θpecado⁡φρporque⁡θporque⁡φ−ρpecado⁡θpecado⁡φpecado⁡θpecado⁡φρpecado⁡θporque⁡φρporque⁡θpecado⁡φporque⁡φ−ρpecado⁡φ0|=ρ2pecado⁡φ{\displaystyle {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\varphi ,\theta )}}={\begin{vmatrix}\cos \theta \sin \varphi &\rho \cos \theta \cos \varphi &-\rho \sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &\rho \sin \theta \cos \varphi &\rho \cos \theta \sin \varphi \\\cos \varphi &-\rho \sin \varphi &0\end{vmatrix}}=\rho ^{2}\sin \varphi }.

Por lo tanto, los diferenciales dx dy dz se transforman en ρ 2 sin( φ ) dρ dθ dφ .

Esto da como resultado la fórmula de integración final:

∭DF(incógnita,y,z)dincógnitadydz=∭TF(ρpecado⁡φporque⁡θ,ρpecado⁡φpecado⁡θ,ρporque⁡φ)ρ2pecado⁡φdρdθdφ{\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}f(\rho \sin \varphi \cos \theta ,\rho \sin \varphi \sin \theta ,\rho \cos \varphi )\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi }.

Es mejor utilizar este método en el caso de dominios esféricos y en el caso de funciones que se pueden simplificar fácilmente mediante la primera relación fundamental de la trigonometría extendida a R 3 (véase el Ejemplo 4b); en otros casos puede ser mejor utilizar coordenadas cilíndricas (véase el Ejemplo 4c).

∭TF(a,b,do)ρ2pecado⁡φdρdθdφ{\displaystyle \iiint _{T}f(a,b,c)\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi }.

El ρ 2 y el seno φ adicionales provienen del jacobiano.

En los siguientes ejemplos, los roles de φ y θ se han invertido.

Ejemplo 4b. D es la misma región que en el Ejemplo 4a y f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 es la función a integrar. Su transformación es muy sencilla:

F(ρpecado⁡φporque⁡θ,ρpecado⁡φpecado⁡θ,ρporque⁡φ)=ρ2{\displaystyle f(\rho \sin \varphi \cos \theta ,\rho \sin \varphi \sin \theta ,\rho \cos \varphi )=\rho ^{2}},

mientras conocemos los intervalos de la región transformada T a partir de D :

T={0≤ρ≤4, 0≤φ≤π, 0≤θ≤2π}{\displaystyle T=\{0\leq \rho \leq 4,\ 0\leq \varphi \leq \pi ,\ 0\leq \theta \leq 2\pi \}}.

Por lo tanto, aplicamos la fórmula de integración:

∭D(incógnita2+y2+z2)dincógnitadydz=∭Tρ2ρ2pecado⁡θdρdθdφ{\displaystyle \iiint _{D}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}\rho ^{2}\,\rho ^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi },

y, desarrollándonos, obtenemos

∭Tρ4pecado⁡θdρdθdφ=∫0πpecado⁡φdφ∫04ρ4dρ∫02πdθ=2π∫0πpecado⁡φ[ρ55]04dφ=2π[ρ55]04[−porque⁡φ]0π=4096π5{\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{4}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =\int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{4}\rho ^{4}d\rho \int _{0}^{2\pi }d\theta =2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \left[{\frac {\rho ^{5}}{5}}\right]_{0}^{4}\,d\varphi =2\pi \left[{\frac {\rho ^{5}}{5}}\right]_{0}^{4}{\Big [}-\cos \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }={\frac {4096\pi }{5}}}.

Ejemplo 4c. El dominio D es la bola con centro en el origen y radio 3a ,

D={incógnita2+y2+z2≤9a2}{\displaystyle D=\left\{x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 9a^{2}\right\}},

y f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 es la función a integrar.

Observando el dominio, parece conveniente adoptar el paso a coordenadas esféricas; de hecho, los intervalos de las variables que delimitan la nueva región T son:

T={0≤ρ≤3a, 0≤φ≤2π, 0≤θ≤π}{\displaystyle T=\{0\leq \rho \leq 3a,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ 0\leq \theta \leq \pi \}}.

Sin embargo, al aplicar la transformación, obtenemos

F(incógnita,y,z)=incógnita2+y2⟶ρ2pecado2⁡θporque2⁡φ+ρ2pecado2⁡θpecado2⁡φ=ρ2pecado2⁡θ{\displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}\longrightarrow \rho ^{2}\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\varphi +\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\varphi =\rho ^{2}\sin ^{2}\theta }.

Aplicando la fórmula de integración obtenemos:

∭Tρ2pecado2⁡θρ2pecado⁡θdρdθdφ=∭Tρ4pecado3⁡θdρdθdφ{\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \rho ^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =\iiint _{T}\rho ^{4}\sin ^{3}\theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi },

que se puede resolver convirtiéndola en una integral iterada.∭Tρ4pecado3⁡θdρdθdφ=∫03aρ4dρ⏟I∫0πpecado3⁡θdθ⏟II∫02πdφ⏟III{\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{4}\sin ^{3}\theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =\underbrace {\int _{0}^{3a}\rho ^{4}d\rho } _{I}\,\underbrace {\int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\theta \,d\theta } _{II}\,\underbrace {\int _{0}^{2\pi }d\varphi } _{III}}.

I=∫03aρ4dρ=ρ55|03a=2435a5{\displaystyle I=\left.\int _{0}^{3a}\rho ^{4}d\rho ={\frac {\rho ^{5}}{5}}\right\vert _{0}^{3a}={\frac {243}{5}}a^{5}},

II=∫0πpecado3⁡θdθ=−∫0πpecado2⁡θd(porque⁡θ)=∫0π(porque2⁡θ−1)d(porque⁡θ)=porque3⁡θ3|0π−porque⁡θ|0π=43{\displaystyle II=\int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\theta \,d\theta =-\int _{0}^{\pi }\sin ^{2}\theta \,d(\cos \theta )=\int _{0}^{\pi }(\cos ^{2}\theta -1)\,d(\cos \theta )=\left.{\frac {\cos ^{3}\theta }{3}}\right|_{0}^{\pi }-\left.\cos \theta \right|_{0}^{\pi }={\frac {4}{3}}},

III=∫02πdφ=2π{\displaystyle III=\int _{0}^{2\pi }d\varphi =2\pi }.

Recopilando todas las piezas,

∭Tρ4pecado3⁡θdρdθdφ=I⋅II⋅III=2435a5⋅43⋅2π=6485πa5{\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{4}\sin ^{3}\theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =I\cdot II\cdot III={\frac {243}{5}}a^{5}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot 2\pi ={\frac {648}{5}}\pi a^{5}}.

Alternativamente, este problema puede resolverse utilizando el paso a coordenadas cilíndricas. Los nuevos intervalos T son

T={0≤ρ≤3a, 0≤φ≤2π, −9a2−ρ2≤z≤9a2−ρ2}{\displaystyle T=\left\{0\leq \rho \leq 3a,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ -{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\leq z\leq {\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\right\}};

El intervalo z se ha obtenido dividiendo la bola en dos hemisferios simplemente resolviendo la desigualdad de la fórmula de D (y luego transformando directamente x² + y² en ρ² ). La nueva función es simplemente ρ² . Aplicando la fórmula de integración

∭Tρ2ρdρdφdz{\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{2}\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz}.

Entonces obtenemos:

∫02πdφ∫03aρ3dρ∫−9a2−ρ29a2−ρ2dz=2π∫03a2ρ39a2−ρ2dρ=−2π∫9a20(9a2−t)tdtt=9a2−ρ2=2π∫09a2(9a2t−tt)dt=2π(∫09a29a2tdt−∫09a2ttdt)=2π[9a223t32−25t52]09a2=2⋅27πa5(6−185)=648π5a5{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{3a}\rho ^{3}d\rho \int _{-{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}}^{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\,dz&=2\pi \int _{0}^{3a}2\rho ^{3}{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\,d\rho \\&=-2\pi \int _{9a^{2}}^{0}(9a^{2}-t){\sqrt {t}}\,dt&&t=9a^{2}-\rho ^{2}\\&=2\pi \int _{0}^{9a^{2}}\left(9a^{2}{\sqrt {t}}-t{\sqrt {t}}\right)\,dt\\&=2\pi \left(\int _{0}^{9a^{2}}9a^{2}{\sqrt {t}}\,dt-\int _{0}^{9a^{2}}t{\sqrt {t}}\,dt\right)\\&=2\pi \left[9a^{2}{\frac {2}{3}}t^{\frac {3}{2}}-{\frac {2}{5}}t^{\frac {5}{2}}\right]_{0}^{9a^{2}}\\&=2\cdot 27\pi a^{5}\left(6-{\frac {18}{5}}\right)\\&={\frac {648\pi }{5}}a^{5}\end{aligned}}}

Gracias al paso a coordenadas cilíndricas fue posible reducir la integral triple a una integral de una variable más sencilla.

Véase también la entrada de volumen diferencial en nabla en coordenadas cilíndricas y esféricas .

Ejemplos

Integral doble sobre un rectángulo

Supongamos que deseamos integrar una función multivariable f sobre una región A :

A={(incógnita,y)∈R2 : 11≤incógnita≤14 ; 7≤y≤10} y F(incógnita,y)=incógnita2+4y{\displaystyle A=\left\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\ :\ 11\leq x\leq 14\  ;\ 7\leq y\leq 10\right\}{\mbox{ y }}f(x,y)=x^{2}+4y\,} .

A partir de esto formulamos la integral iterada.

∫710∫1114(incógnita2+4y)dincógnitady{\displaystyle \int _{7}^{10}\int _{11}^{14}(x^{2}+4y)\,dx\,dy}.

Primero se realiza la integral interna, integrando con respecto a x y tomando y como constante, ya que no es la variable de integración . El resultado de esta integral, que es una función que depende únicamente de y , se integra luego con respecto a y .

∫1114(incógnita2+4y)dincógnita=[13incógnita3+4yincógnita]incógnita=11incógnita=14=13(14)3+4y(14)−13(11)3−4y(11)=471+12y{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{11}^{14}\left(x^{2}+4y\right)\,dx&=\left[{\frac {1}{3}}x^{3}+4yx\right]_{x=11}^{x=14}\\&={\frac {1}{3}}(14)^{3}+4y(14)-{\frac {1}{3}}(11)^{3}-4y(11)\\&=471+12y\end{aligned}}}

Luego integramos el resultado con respecto a y .

∫710(471+12y) dy=[471y+6y2]y=7y=10=471(10)+6(10)2−471(7)−6(7)2=1719{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{7}^{10}(471+12y)\ dy&={\Big [}471y+6y^{2}{\Big ]}_{y=7}^{y=10}\\&=471(10)+6(10)^{2}-471(7)-6(7)^{2}\\&=1719\end{aligned}}}

En los casos en que la integral doble del valor absoluto de la función es finita, el orden de integración es intercambiable; es decir, integrar primero con respecto a x e integrar primero con respecto a y produce el mismo resultado. Este es el teorema de Fubini . Por ejemplo, realizar el cálculo anterior con el orden invertido da el mismo resultado:

∫1114∫710(incógnita2+4y)dydincógnita=∫1114[incógnita2y+2y2]y=7y=10dincógnita=∫1114(3incógnita2+102)dincógnita=[incógnita3+102incógnita]incógnita=11incógnita=14=1719.{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{11}^{14}\int _{7}^{10}\,\left(x^{2}+4y\right)\,dy\,dx&=\int _{11}^{14}{\Big [}x^{2}y+2y^{2}{\Big ]}_{y=7}^{y=10}\,dx\\&=\int _{11}^{14}\,(3x^{2}+102)\,dx\\&={\Big [}x^{3}+102x{\Big ]}_{x=11}^{x=14}\\&=1719.\end{aligned}}}

Integral doble sobre un dominio normal

Ejemplo: integral doble sobre la región normal D

Considere la región (vea el gráfico en el ejemplo):

D={(incógnita,y)∈R2 : incógnita≥0,y≤1,y≥incógnita2}{\displaystyle D=\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\ :\ x\geq 0,y\leq 1,y\geq x^{2}\}} .

Calcular

∬D(incógnita+y)dincógnitady{\displaystyle \iint _{D}(x+y)\,dx\,dy}.

Este dominio es normal con respecto a los ejes x e y . Para aplicar las fórmulas, es necesario encontrar las funciones que determinan D y los intervalos sobre los cuales estas funciones están definidas. En este caso, las dos funciones son:

α(incógnita)=incógnita2 y β(incógnita)=1{\displaystyle \alpha (x)=x^{2}{\text{ and }}\beta (x)=1}

mientras que el intervalo viene dado por las intersecciones de las funciones con x  =  0, por lo que el intervalo es [ a , b ] = [0, 1] (se ha elegido la normalidad con respecto al eje x para una mejor comprensión visual).  

Ahora es posible aplicar la fórmula:

∬D(incógnita+y)dincógnitady=∫01dincógnita∫incógnita21(incógnita+y)dy=∫01dincógnita [incógnitay+y22]incógnita21{\displaystyle \iint _{D}(x+y)\,dx\,dy=\int _{0}^{1}dx\int _{x^{2}}^{1}(x+y)\,dy=\int _{0}^{1}dx\ \left[xy+{\frac {y^{2}}{2}}\right]_{x^{2}}^{1}}

(En primer lugar, la segunda integral se calcula considerando x como una constante). Las operaciones restantes consisten en aplicar las técnicas básicas de integración:

∫01[incógnitay+y22]incógnita21dincógnita=∫01(incógnita+12−incógnita3−incógnita42)dincógnita=⋯=1320{\displaystyle \int _{0}^{1}\left[xy+{\frac {y^{2}}{2}}\right]_{x^{2}}^{1}\,dx=\int _{0}^{1}\left(x+{\frac {1}{2}}-x^{3}-{\frac {x^{4}}{2}}\right)dx=\cdots ={\frac {13}{20}}}.

Si elegimos la normalidad con respecto al eje y podríamos calcular

∫01dy∫0y(incógnita+y)dincógnita{\displaystyle \int _{0}^{1}dy\int _{0}^{\sqrt {y}}(x+y)\,dx}.

y obtener el mismo valor.

Ejemplo de dominio en R 3 que es normal con respecto al plano xy .

Cálculo del volumen

Utilizando los métodos descritos anteriormente, es posible calcular los volúmenes de algunos sólidos comunes.

  • Cilindro : El volumen de un cilindro con altura h y base circular de radio R se puede calcular integrando la función constante h sobre la base circular, utilizando coordenadas polares.
Voltúmetromi=∫02πdφ∫0Rhρdρ=2πh[ρ22]0R=πR2h{\displaystyle \mathrm {Volume} =\int _{0}^{2\pi }d\varphi \,\int _{0}^{R}h\rho \,d\rho =2\pi h\left[{\frac {\rho ^{2}}{2}}\right]_{0}^{R}=\pi R^{2}h}

Esto concuerda con la fórmula para el volumen de un prisma.

Voltúmetromi=área base×altura{\displaystyle \mathrm {Volume} ={\text{base area}}\times {\text{height}}}.
  • Esfera : El volumen de una esfera con radio R se puede calcular integrando la función constante 1 sobre la esfera, utilizando coordenadas esféricas.
Volumen=∭DF(incógnita,y,z)dincógnitadydz=∭D1dV=∭Sρ2pecado⁡φdρdθdφ=∫02πdθ∫0πpecado⁡φdφ∫0Rρ2dρ=2π∫0πpecado⁡φdφ∫0Rρ2dρ=2π∫0πpecado⁡φR33dφ=23πR3[−porque⁡φ]0π=43πR3{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Volume}}&=\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz\\&=\iiint _{D}1\,dV\\&=\iiint _{S}\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi \\&=\int _{0}^{2\pi }\,d\theta \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,d\rho \\&=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,d\rho \\&=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi {\frac {R^{3}}{3}}\,d\varphi \\&={\frac {2}{3}}\pi R^{3}{\Big [}-\cos \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }={\frac {4}{3}}\pi R^{3}\end{aligned}}}
  • Tetraedro ( pirámide triangular o 3- símplex ): El volumen de un tetraedro con su vértice en el origen y aristas de longitud ℓ a lo largo de los ejes x , y y z se puede calcular integrando la función constante 1 sobre el tetraedro.
Volumen=∫0ℓdincógnita∫0ℓ−incógnitady∫0ℓ−incógnita−ydz=∫0ℓdincógnita∫0ℓ−incógnita(ℓ−incógnita−y)dy=∫0ℓ(l2−2ℓincógnita+incógnita2−(ℓ−incógnita)22)dincógnita=ℓ3−ℓℓ2+ℓ33−[ℓ2incógnita2−ℓincógnita22+incógnita36]0ℓ=ℓ33−ℓ36=ℓ36{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Volume}}&=\int _{0}^{\ell }dx\int _{0}^{\ell -x}\,dy\int _{0}^{\ell -x-y}\,dz\\&=\int _{0}^{\ell }dx\int _{0}^{\ell -x}(\ell -x-y)\,dy\\&=\int _{0}^{\ell }\left(l^{2}-2\ell x+x^{2}-{\frac {(\ell -x)^{2}}{2}}\right)\,dx\\&=\ell ^{3}-\ell \ell ^{2}+{\frac {\ell ^{3}}{3}}-\left[{\frac {\ell ^{2}x}{2}}-{\frac {\ell x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}\right]_{0}^{\ell }\\&={\frac {\ell ^{3}}{3}}-{\frac {\ell ^{3}}{6}}={\frac {\ell ^{3}}{6}}\end{aligned}}}
Esto concuerda con la fórmula para el volumen de una pirámide .
Voltúmetromi=13×área base×altura=13×ℓ22×ℓ=ℓ36{\displaystyle \mathrm {Volume} ={\frac {1}{3}}\times {\text{base area}}\times {\text{height}}={\frac {1}{3}}\times {\frac {\ell ^{2}}{2}}\times \ell ={\frac {\ell ^{3}}{6}}}.
Ejemplo de un dominio impropio.

Integral impropia múltiple

En el caso de dominios no acotados o funciones no acotadas cerca del límite del dominio, tenemos que introducir la integral doblemente impropia o la integral triplemente impropia .

Integrales múltiples e integrales iteradas

El teorema de Fubini establece que si [ 4 ]

∬A×B|F(incógnita,y)|d(incógnita,y)<∞{\displaystyle \iint _{A\times B}\left|f(x,y)\right|\,d(x,y)<\infty },

Es decir, si la integral es absolutamente convergente, entonces la integral múltiple dará el mismo resultado que cualquiera de las dos integrales iteradas:

∬A×BF(incógnita,y)d(incógnita,y)=∫A(∫BF(incógnita,y)dy)dincógnita=∫B(∫AF(incógnita,y)dincógnita)dy{\displaystyle \iint _{A\times B}f(x,y)\,d(x,y)=\int _{A}\left(\int _{B}f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int _{B}\left(\int _{A}f(x,y)\,dx\right)\,dy}.

En particular, esto ocurrirá si | f ( x , y ) | es una función acotada y A y B son conjuntos acotados .

Si la integral no es absolutamente convergente, es necesario tener cuidado de no confundir los conceptos de integral múltiple e integral iterada , especialmente porque a menudo se usa la misma notación para ambos conceptos. La notación

∫01∫01F(incógnita,y)dydincógnita{\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy\,dx}

significa, en algunos casos, una integral iterada en lugar de una verdadera integral doble. En una integral iterada, la integral exterior

∫01⋯dincógnita{\displaystyle \int _{0}^{1}\cdots \,dx}

es la integral con respecto a x de la siguiente función de x :

gramo(incógnita)=∫01F(incógnita,y)dy{\displaystyle g(x)=\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy}.

Por otro lado, una integral doble se define con respecto al área en el plano xy . Si la integral doble existe, entonces es igual a cada una de las dos integrales iteradas (ya sea " dy/dx " o " dx/dy ") y a menudo se calcula calculando cualquiera de las integrales iteradas. Pero a veces las dos integrales iteradas existen cuando la integral doble no, y en algunos de esos casos las dos integrales iteradas son números diferentes, es decir, se tiene

∫01∫01F(incógnita,y)dydincógnita≠∫01∫01F(incógnita,y)dincógnitady{\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy\,dx\neq \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dx\,dy}.

Este es un ejemplo de reordenamiento de una integral condicionalmente convergente .

Por otro lado, algunas condiciones aseguran que las dos integrales iteradas sean iguales aunque la integral doble no tenga por qué existir. Según el teorema de Fichtenholz - Lichtenstein , si f está acotada en [0, 1] × [0, 1] y ambas integrales iteradas existen, entonces son iguales. Además, la existencia de las integrales internas asegura la existencia de las integrales externas. [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] La integral doble no tiene por qué existir en este caso, incluso como integral de Lebesgue , según Sierpiński . [ 9 ]

La notación

∫[0,1]×[0,1]F(incógnita,y)dincógnitady{\displaystyle \int _{[0,1]\times [0,1]}f(x,y)\,dx\,dy}

Puede utilizarse si se desea enfatizar que se trata de una integral doble en lugar de una integral iterada.

Integral triple

La integral triple fue demostrada por el teorema de Fubini. [ 10 ] Teorema de Drichlet y teorema de extensión de Liouville sobre la integral triple.

Algunas aplicaciones prácticas

En términos generales, al igual que en una variable, se puede usar la integral múltiple para hallar el promedio de una función sobre un conjunto dado. Dado un conjunto D ⊆ R n y una función integrable f sobre D , el valor promedio de f sobre su dominio viene dado por

F¯=1metro(D)∫DF(incógnita)dincógnita{\displaystyle {\bar {f}}={\frac {1}{m(D)}}\int _{D}f(x)\,dx},

donde m ( D ) es la medida de D .

Además, las integrales múltiples se utilizan en numerosas aplicaciones de la física . Los ejemplos que se muestran a continuación también presentan algunas variaciones en la notación.

En cinemática , la posición con respecto al tiempo (incógnita(t){\displaystyle x(t)}) es la integral doble de la aceleración con respecto al tiempo (a(t){\displaystyle a(t)}).

incógnita(t)=∬a(t)d2t{\displaystyle x(t)=\iint a(t)\,d^{2}t}.

En mecánica , el momento de inercia se calcula como la integral de volumen (integral triple) de la densidad ponderada por el cuadrado de la distancia desde el eje:

Iz=∭Vρr2dV{\displaystyle I_{z}=\iiint _{V}\rho r^{2}\,dV}.

El potencial gravitatorio asociado a una distribución de masa dada por una medida de masa dm en el espacio euclidiano tridimensional R 3 es [ 11 ].

V(incógnita)=−∭R3GRAMO|incógnita−y|dmetro(y){\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\iiint _{\mathbf {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}}\,dm(\mathbf {y} )}.

Si existe una función continua ρ ( x ) que representa la densidad de la distribución en x , de modo que dm ( x ) = ρ ( x ) d 3 x , donde d 3 x es el elemento de volumen euclidiano , entonces el potencial gravitatorio es

V(incógnita)=−∭R3GRAMO|incógnita−y|ρ(y)d3y{\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\iiint _{\mathbf {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}}\,\rho (\mathbf {y} )\,d^{3}\mathbf {y} }.

En electromagnetismo , las ecuaciones de Maxwell se pueden escribir utilizando integrales múltiples para calcular los campos magnéticos y eléctricos totales. [ 12 ] En el siguiente ejemplo, el campo eléctrico producido por una distribución de cargas dada por la densidad de carga volumétrica ρ ( r → ) se obtiene mediante una integral triple de una función vectorial:

mi→=14πε0∭r→−r→′‖r→−r→′‖3ρ(r→′)d3r′{\displaystyle {\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint {\frac {{\vec {r}}-{\vec {r}}'}{\left\|{\vec {r}}-{\vec {r}}'\right\|^{3}}}\rho ({\vec {r}}')\,d^{3}r'}.

Esto también se puede escribir como una integral con respecto a una medida con signo que representa la distribución de la carga.

Véase también

Referencias

  1. 1 2 3 Stewart, James (2008). Cálculo: Primeros trascendentales (6.ª  ed.). Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-495-01166-8.
  2. ↑ Larson; Edwards (2014). Cálculo multivariable (10.ª ed.). Cengage Learning. ISBN  978-1-285-08575-3.
  3. ↑ Rudin, Walter (1976). Principios de análisis matemático . Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics (3.ª ed.). McGraw-Hill. ISBN  978-0-07-054235-8.
  4. 1 2 Jones, Frank (2001). Integración de Lebesgue en el espacio euclidiano . Jones and Bartlett. págs. 527–529 . ISBN  9780763717087.
  5. ↑ Stewart, James (2015-05-07). Cálculo, 8.ª edición . Cengage Learning. ISBN 978-1285740621.
  6. ↑ Lewin, Jonathan (2003). Una introducción interactiva al análisis matemático . Cambridge. Sección 16.6. ISBN 978-1107694040.
  7. ↑ Lewin, Jonathan (1987). "Algunas aplicaciones del teorema de convergencia acotada para un curso introductorio de análisis" . The American Mathematical Monthly . 94 (10). AMS: 988– 993. doi : 10.2307/2322609 . JSTOR 2322609 . 
  8. ↑ Sinclair, George Edward (1974). "Una generalización finitamente aditiva del teorema de Fichtenholz-Lichtenstein" . Transactions of the American Mathematical Society . 193. AMS: 359–374 . doi : 10.2307/1996919 . JSTOR 1996919 . 
  9. ↑ Bogachev, Vladimir I. (2006). Teoría de la medida . Vol. 1. Springer. Artículo 3.10.49. 
  10. ^ "5.4 Integrales triples - Cálculo Volumen 3 | OpenStax" . openstax.org . 30 de marzo de 2016 . Consultado el 25 de agosto de 2022 .
  11. ↑ Kibble, Tom WB; Berkshire, Frank H. (2004). Mecánica clásica (5.ª ed.). Imperial College Press . ISBN  978-1-86094-424-6.
  12. ↑ Jackson, John D. (1998). Electrodinámica clásica (3.ª ed.). Wiley. ISBN  0-471-30932-X.

Lecturas adicionales

  • Adams, Robert A. (2003). Cálculo: Un curso completo (5.ª  ed.). Addison-Wesley. ISBN 0-201-79131-5.
  • Jain, RK; Iyengar, SRK (2009). Matemáticas avanzadas para ingeniería (3.ª  ed.). Narosa Publishing House. ISBN 978-81-7319-730-7.
  • Herman, Edwin “Jed” y Strang, Gilbert (2016): Cálculo: Volumen 3  : OpenStax, Universidad Rice, Houston, Texas, EE. UU. ISBN 978-1-50669-805-2( PDF )