Pozo cuántico

El modelo más simple de un sistema de pozo cuántico es el modelo de pozo infinito. En este modelo, se supone que las paredes/barreras del pozo de potencial son infinitas. En realidad, los pozos cuánticos suelen ser del orden de unos pocos cientos de milielectronvoltios . Sin embargo, como primera aproximación, el modelo de pozo infinito sirve como un modelo simple y útil que proporciona cierta información sobre la física subyacente a los pozos cuánticos. ^{[ 4 ]}

Consideremos un pozo cuántico infinito orientado en la dirección z , de modo que los portadores en el pozo estén confinados en la dirección z pero libres para moverse en el plano x - y . Elegimos que el pozo cuántico se extienda desde${\displaystyle z=0}$a${\displaystyle z=d}$Suponemos que los portadores no experimentan ningún potencial dentro del pozo y que el potencial en la región de barrera es infinitamente alto.

La ecuación de Schrödinger para portadores en el modelo de pozo infinito es:

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{\text{w}}^{*}}}{\frac {\partial ^{2}\psi (z)}{\partial z^{2}}}=E\psi (z)}$

dónde${\displaystyle \hbar }$es la constante de Planck reducida y${\displaystyle m_{\text{w}}^{*}}$es la masa efectiva de los portadores dentro de la región del pozo. La masa efectiva de un portador es la masa que el electrón "siente" en su entorno cuántico y generalmente difiere entre diferentes semiconductores, ya que el valor de la masa efectiva depende en gran medida de la curvatura de la banda. Tenga en cuenta que${\displaystyle m_{\text{w}}^{*}}$ puede ser la masa efectiva de los electrones en un pozo en la banda de conducción o para los huecos en un pozo en la banda de valencia.

Soluciones y niveles de energía

Las funciones de onda de la solución no pueden existir en la región de barrera del pozo, debido al potencial infinitamente alto. Por lo tanto, al imponer las siguientes condiciones de contorno, se obtienen las funciones de onda permitidas:

${\displaystyle \psi (0)=\psi (d)=0.}$

Las funciones de onda de la solución adoptan la siguiente forma:

${\displaystyle \psi _{n}(z)={\sqrt {\frac {2}{d}}}\sin(k_{n}z)\qquad k_{n}={\frac {n\pi }{d}}.}$

El subíndice${\displaystyle n}$, (${\displaystyle n>0}$) denota el número cuántico entero y${\displaystyle k_{n}}$es el vector de onda asociado a cada estado, dado anteriormente. Las energías discretas asociadas vienen dadas por:

${\displaystyle E_{n}={\frac {\hbar ^{2}k_{n}^{2}}{2m_{\text{w}}^{*}}}={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{\text{w}}^{*}}}\left({\frac {n\pi }{d}}\right)^{2}.}$

El modelo simple de pozo infinito proporciona un buen punto de partida para analizar la física de los sistemas de pozos cuánticos y los efectos del confinamiento cuántico. El modelo predice correctamente que las energías en el pozo son inversamente proporcionales al cuadrado de su longitud. Esto significa que un control preciso sobre el ancho de las capas semiconductoras, es decir, la longitud del pozo, permitirá un control preciso de los niveles de energía permitidos para los portadores en los pozos. Esta es una propiedad increíblemente útil para la ingeniería de la banda prohibida . Además, el modelo muestra que los niveles de energía son proporcionales al inverso de la masa efectiva. En consecuencia, los huecos pesados ​​y los huecos ligeros tendrán diferentes estados de energía cuando estén atrapados en el pozo. Los huecos pesados ​​y ligeros surgen cuando coinciden los máximos de las bandas de valencia con diferente curvatura, lo que resulta en dos masas efectivas diferentes. ^{[ 4 ]}

Una desventaja del modelo de pozo infinito es que predice muchos más estados de energía de los que existen, ya que las paredes de los pozos cuánticos reales son finitas. El modelo también ignora que, en realidad, las funciones de onda no se anulan en el límite del pozo, sino que se extienden hacia la pared (debido al efecto túnel cuántico) y decaen exponencialmente hasta cero. Esta propiedad permite el diseño y la producción de superredes y otros dispositivos de pozos cuánticos innovadores, y se describe mejor mediante el modelo de pozo finito.

El modelo de pozo finito proporciona un modelo más realista de pozos cuánticos. Aquí, las paredes del pozo en la heteroestructura se modelan utilizando un potencial finito.${\displaystyle V_{0}}$, que es la diferencia en las energías de la banda de conducción de los diferentes semiconductores. Dado que las paredes son finitas y los electrones pueden atravesar por efecto túnel la región de la barrera, las funciones de onda permitidas penetrarán la pared de la barrera. ^{[ 5 ]}

Consideremos un pozo cuántico finito orientado en la dirección z , de modo que los portadores en el pozo estén confinados en la dirección z pero libres para moverse en el plano x - y . Elegimos que el pozo cuántico se extienda desde${\displaystyle z=0}$a${\displaystyle z=d}$. Suponemos que los portadores no experimentan ningún potencial dentro del pozo y potencial de${\displaystyle V_{0}}$en las regiones barrera.

La ecuación de Schrödinger para los portadores dentro del pozo no cambia en comparación con el modelo de pozo infinito, excepto por las condiciones de contorno en las paredes, que ahora exigen que las funciones de onda y sus pendientes sean continuas en los límites.

Dentro de la región de barrera, la ecuación de Schrödinger para los portadores se lee así:

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{\text{b}}^{*}}}{\frac {\partial ^{2}\psi (z)}{\partial z^{2}}}+V_{0}\psi (z)=E\psi (z)}$

dónde${\displaystyle m_{\text{b}}^{*}}$es la masa efectiva del portador en la región de barrera, que generalmente diferirá de su masa efectiva dentro del pozo. ^{[ 4 ]}

Soluciones y niveles de energía

Utilizando las condiciones de contorno pertinentes y la condición de que la función de onda debe ser continua en el borde del pozo, obtenemos soluciones para el vector de onda.${\displaystyle k}$que satisfacen las siguientes ecuaciones trascendentales :

${\displaystyle \tan \left({\frac {k_{n}d}{2}}\right)={\frac {m_{\text{w}}^{*}\kappa }{m_{\text{b}}^{*}k_{n}}}\quad {\text{(par)}}}$

y

${\displaystyle \tan \left({\frac {k_{n}d}{2}}\right)=-{\frac {m_{\text{b}}^{*}k_{n}}{m_{\text{w}}^{*}\kappa }}\quad {\text{(impar)}},}$

dónde${\displaystyle \kappa }$es la constante de decaimiento exponencial en la región de barrera, que es una medida de cuán rápido la función de onda decae a cero en la región de barrera. Los autoestados de energía cuantizados dentro del pozo, que dependen del vector de onda y del número cuántico (${\displaystyle n}$) vienen dadas por:

${\displaystyle E_{n}={\frac {\hbar ^{2}k_{n}^{2}}{2m_{\text{w}}^{*}}}.}$

La constante de decaimiento exponencial${\displaystyle \kappa }$está dado por:

${\displaystyle \kappa ={\frac {\sqrt {2m_{\text{b}}^{*}(V_{0}-E_{n})}}{\hbar }}}$

Depende del autoestado de un portador ligado${\displaystyle E_{n}}$la profundidad del pozo${\displaystyle V_{0}}$y la masa efectiva del portador dentro de la región de barrera,${\displaystyle m_{\text{b}}^{*}}$.

Las soluciones a las ecuaciones trascendentales anteriores se pueden encontrar fácilmente mediante métodos numéricos o gráficos. Generalmente, solo existen unas pocas soluciones. Sin embargo, siempre habrá al menos una solución, es decir, un estado ligado en el pozo, independientemente de cuán pequeño sea el potencial. De forma similar al pozo infinito, las funciones de onda en el pozo son de tipo sinusoidal, pero decaen exponencialmente en la barrera del pozo. Esto tiene el efecto de reducir los estados de energía ligados del pozo cuántico en comparación con el pozo infinito. ^{[ 4 ]}

Una superred es una heteroestructura periódica formada por materiales alternados con diferentes brechas de banda. El espesor de estas capas periódicas suele ser del orden de unos pocos nanómetros. La estructura de bandas resultante de dicha configuración es una serie periódica de pozos cuánticos. Es importante que estas barreras sean lo suficientemente delgadas como para que los portadores puedan atravesar por efecto túnel las regiones de barrera de los múltiples pozos. ^{[ 10 ]} Una propiedad definitoria de las superredes es que las barreras entre pozos son lo suficientemente delgadas como para que los pozos adyacentes se acoplen. Las estructuras periódicas formadas por pozos cuánticos repetidos cuyas barreras son demasiado gruesas para que las funciones de onda adyacentes se acoplen se denominan estructuras de pozos cuánticos múltiples (MQW). ^{[ 4 ]}

Dado que los portadores pueden atravesar por efecto túnel las regiones de barrera entre los pozos, las funciones de onda de los pozos vecinos se acoplan a través de la delgada barrera; por lo tanto, los estados electrónicos en las superredes forman minibandas deslocalizadas. ^{[ 4 ]} Las soluciones para los estados de energía permitidos en las superredes son similares a las de los pozos cuánticos finitos, con un cambio en las condiciones de contorno que surgen debido a la periodicidad de las estructuras. Dado que el potencial es periódico, el sistema puede describirse matemáticamente de forma similar a una red cristalina unidimensional.

Un pozo cuántico puede fabricarse como un absorbedor saturable utilizando su propiedad de absorción saturable . Los absorbedores saturables se utilizan ampliamente en láseres de bloqueo de modos pasivo . Los absorbedores saturables semiconductores (SESAM) se utilizaron para el bloqueo de modos láser ya en 1974, cuando se utilizó germanio de tipo p para bloquear los modos de un láser _de CO₂ que generaba pulsos de ~500 ps. Los SESAM modernos son pozos cuánticos simples (SQW) o pozos cuánticos múltiples (MQW) de semiconductores III-V cultivados en reflectores de Bragg distribuidos (DBR) de semiconductores. Inicialmente se utilizaron en un esquema de bloqueo de modos de pulso resonante (RPM) como mecanismos de inicio para láseres de Ti:zafiro que empleaban KLM como un absorbedor saturable rápido. RPM es otra técnica de bloqueo de modos de cavidad acoplada. A diferencia de los láseres APM que emplean la no linealidad de fase de tipo Kerr no resonante para acortar el pulso, los RPM emplean la no linealidad de amplitud proporcionada por los efectos de llenado de banda resonante de los semiconductores. Los SESAM se desarrollaron rápidamente como dispositivos absorbentes saturables intracavitarios debido a la mayor simplicidad inherente de esta estructura. Desde entonces, el uso de SESAM ha permitido mejorar en varios órdenes de magnitud la duración del pulso, la potencia promedio, la energía del pulso y las tasas de repetición de los láseres de estado sólido ultrarrápidos. Se obtuvieron una potencia promedio de 60 W y una tasa de repetición de hasta 160 GHz . Mediante el uso de KLM asistido por SESAM, se lograron pulsos sub-6 fs directamente desde un oscilador de Ti:zafiro. Una ventaja importante de los SESAM sobre otras técnicas de absorbente saturable es que los parámetros del absorbente se pueden controlar fácilmente en un amplio rango de valores. Por ejemplo, la fluencia de saturación se puede controlar variando la reflectividad del reflector superior, mientras que la profundidad de modulación y el tiempo de recuperación se pueden ajustar modificando las condiciones de crecimiento a baja temperatura de las capas absorbentes. Esta libertad de diseño ha ampliado aún más la aplicación de los SESAM en el bloqueo de modos de láseres de fibra, donde se necesita una profundidad de modulación relativamente alta para garantizar el autoarranque y la estabilidad operativa. Se demostraron con éxito láseres de fibra que funcionan a ~1 μm y 1,5 μm. ^{[ 11 ]}     

Los pozos cuánticos se han mostrado prometedores para la recolección de energía como dispositivos termoeléctricos . Se afirma que son más fáciles de fabricar y ofrecen el potencial de operar a temperatura ambiente. Los pozos conectan una cavidad central con dos depósitos electrónicos. La cavidad central se mantiene a una temperatura más alta que los depósitos. Los pozos actúan como filtros que permiten el paso de electrones de ciertas energías. En general, mayores diferencias de temperatura entre la cavidad y los depósitos aumentan el flujo de electrones y la potencia de salida. ^{[ 12 ] [ 13 ]}

Un dispositivo experimental proporcionó una potencia de salida de aproximadamente 0,18  W/cm² ^para una diferencia de temperatura de 1  K, casi el doble de la potencia de un recolector de energía de puntos cuánticos . Los grados de libertad adicionales permitieron corrientes mayores. Su eficiencia es ligeramente inferior a la de los recolectores de energía de puntos cuánticos. Los pozos cuánticos transmiten electrones de cualquier energía por encima de cierto nivel, mientras que los puntos cuánticos solo transmiten electrones de una energía específica. ^{[ 12 ]}

Una posible aplicación es convertir el calor residual de los circuitos eléctricos, por ejemplo, en chips de computadora, de nuevo en electricidad, reduciendo la necesidad de refrigeración y energía para alimentar el chip. ^{[ 12 ]}

Se han propuesto pozos cuánticos para aumentar la eficiencia de las células solares . La eficiencia máxima teórica de las células tradicionales de unión simple es de aproximadamente el 34%, debido en gran parte a su incapacidad para capturar muchas longitudes de onda diferentes de luz. Las células solares de unión múltiple , que consisten en múltiples uniones pn de diferentes brechas de banda conectadas en serie, aumentan la eficiencia teórica al ampliar el rango de longitudes de onda absorbidas, pero su complejidad y costo de fabricación limitan su uso a aplicaciones de nicho. Por otro lado, las células que consisten en una unión ap-i-n en la que la región intrínseca contiene uno o más pozos cuánticos, conducen a una mayor fotocorriente sobre la corriente oscura, lo que resulta en un aumento neto de la eficiencia sobre las células p-n convencionales. ^{[ 14 ]} Los fotones de energía dentro de la profundidad del pozo son absorbidos en los pozos y generan pares electrón-hueco. En condiciones de temperatura ambiente, estos portadores fotogenerados tienen suficiente energía térmica para escapar del pozo más rápido que la tasa de recombinación . ^{[ 15 ]} Se pueden fabricar células solares de pozos cuánticos de múltiples uniones mediante técnicas de deposición capa por capa, como la epitaxia de haces moleculares o la deposición química de vapor. También se ha demostrado que la adición de nanopartículas metálicas o dieléctricas sobre la célula produce un aumento adicional de la fotoabsorción al dispersar la luz incidente en trayectorias de propagación laterales confinadas dentro de la capa intrínseca de pozos cuánticos múltiples. ^{[ 16 ]}

Celdas solares multijunción

Hoy en día, entre las células solares que no son de pozos cuánticos (QW), las células solares multijunción III/V son las más eficientes, registrando una eficiencia máxima del 46% bajo altas concentraciones de luz solar. Las células solares multijunción se crean apilando múltiples uniones pin de diferentes brechas de banda. ^{[ 9 ]} La eficiencia de la célula solar aumenta con la inclusión de más radiación solar en el espectro de absorción mediante la introducción de más pozos cuánticos (QW) de diferentes brechas de banda. La relación directa entre la brecha de banda y la constante de red dificulta el avance de las células solares multijunción. A medida que se cultivan más pozos cuánticos (QW) juntos, el material crece con dislocaciones debido a las constantes de red variables. Las dislocaciones reducen la longitud de difusión y la vida útil de los portadores. ^{[ 9 ]} Por lo tanto, los pozos cuánticos (QW) proporcionan un enfoque alternativo para las células solares multijunción con una mínima dislocación cristalina.

Energía de banda prohibida

Los investigadores buscan utilizar pozos cuánticos (QW) para cultivar material de alta calidad con mínimas dislocaciones cristalinas y aumentar la eficiencia de absorción de luz y recolección de portadores para lograr células solares de QW de mayor eficiencia. La capacidad de ajuste de la banda prohibida ayuda a los investigadores en el diseño de sus células solares. Podemos estimar la banda prohibida efectiva como una función de la energía de la banda prohibida del QW y el desplazamiento de la energía de la banda prohibida debido a la tensión estérica: el efecto Stark de confinamiento cuántico (QCSE) y el efecto de tamaño cuántico (QSE). ^{[ 9 ]}

${\displaystyle E_{G,{\text{eff}}}=E_{G}^{\text{well,relaxed}}+\Delta E_{G}^{\text{strain}}+\Delta E_{G}^{\text{QSE}}+\Delta E_{G}^{\text{QCSE}}}$

La deformación del material provoca dos efectos en la energía de la banda prohibida. Primero es el cambio en la energía relativa de la banda de conducción y la banda de valencia. Este cambio de energía se ve afectado por la deformación,${\displaystyle \epsilon }$, coeficientes de rigidez elástica,${\displaystyle C_{11}}$y${\displaystyle C_{12}}$y potencial de deformación hidrostática,${\displaystyle a}$. ^{[ 9 ] [ 20 ]}

${\displaystyle \Delta E=-2a\left({\frac {C_{11}-C_{12}}{C_{11}}}\right)\epsilon }$

Segundo, debido a la tensión, hay una división de la degeneración de huecos pesados ​​y ligeros. En un material fuertemente comprimido, los huecos pesados ​​(hh) se mueven a un estado de energía más alto. En un material sometido a tracción, los huecos ligeros (lh) se mueven a un estado de energía más alto. ^{[ 9 ] [ 21 ]} Se puede calcular la diferencia de energía debido a la división de hh y lh a partir del potencial de deformación por cizallamiento,${\displaystyle b}$, cepa,${\displaystyle \epsilon }$y coeficientes de rigidez elástica,${\displaystyle C_{11}}$y${\displaystyle C_{12}}$. ^{[ 21 ]}

${\displaystyle \Delta E_{\text{hh}}=b\left({\frac {C_{11}+2C_{12}}{C_{11}}}\right)\epsilon }$

${\displaystyle \Delta E_{\text{lh}}=-b\left({\frac {C_{11}+2C_{12}}{C_{11}}}\right)\epsilon }$

El efecto Stark de confinamiento cuántico induce un desplazamiento en la banda prohibida que depende del espesor del pozo. Si${\displaystyle q}$es la carga elemental;${\displaystyle L_{\text{eff,CB}}}$y${\displaystyle L_{\text{eff,VB}}}$son el ancho efectivo de los pozos cuánticos en la banda de conducción y en la banda de valencia, respectivamente;${\displaystyle F}$es el campo eléctrico inducido debido a la polarización piezoeléctrica y espontánea; y${\displaystyle \hbar }$es la constante de Planck reducida, entonces el desplazamiento de energía es: ^{[ 9 ]}

${\displaystyle \Delta E_{G}^{\text{QCSE}}=\left({\frac {15-\pi ^{2}}{24\pi ^{2}}}\right)\left({\frac {m_{e}^{*}L_{\text{eff,CB}}^{4}+m_{\text{h}}^{*}L_{\text{eff,VB}}^{4}}{\hbar ^{2}}}\right)qF^{2}}$

El efecto de tamaño cuántico (QSE) es la discretización de la energía que experimenta un portador de carga debido al confinamiento cuando su radio de Bohr es mayor que el tamaño del pozo. A medida que aumenta el espesor del pozo cuántico, los QSE disminuyen. La disminución de los QSE provoca la${\displaystyle n=1}$estado para moverse hacia abajo y disminuir la banda prohibida efectiva. ^{[ 9 ]} El modelo de Kronig-Penney se utiliza para calcular los estados cuánticos, ^{[ 22 ]} y la regla de Anderson se aplica para estimar los desplazamientos de energía de la banda de conducción y la banda de valencia. ^{[ 23 ]}

Captura de portadora y de por vida

Mediante el uso eficaz de portadores en los pozos cuánticos (QW), los investigadores pueden aumentar la eficiencia de las células solares de pozos cuánticos (QWSC). Dentro de los QW en la región intrínseca de las células solares pin, los portadores generados ópticamente son recolectados por el campo interno o se pierden debido a la recombinación de portadores. ^{[ 9 ]} La recombinación de portadores es el proceso en el que un hueco y un electrón se recombinan para cancelar sus cargas. Los portadores pueden recolectarse por deriva del campo eléctrico. Se pueden usar pozos delgados y transportar portadores mediante emisión termoiónica o usar barreras delgadas y transportar portadores mediante efecto túnel.

La vida útil de los portadores para el escape está determinada por las vidas útiles de tunelización y emisión termoiónica. Ambas dependen de tener una altura de barrera efectiva baja. Se expresan mediante las siguientes ecuaciones: ^{[ 9 ] [ 24 ]}

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{\text{tun.}}}}={\frac {n\pi \hbar }{2t_{\text{w}}^{2}m_{\text{w}}^{*}}}e^{{\frac {-2}{\hbar }}\int _{0}^{t_{\text{b}}}{\sqrt {2m_{\text{b}}^{*}(E_{\text{b}}-E(z)z)}}\,dz}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{\text{therm.}}}}={\frac {1}{t_{\text{w}}}}{\sqrt {\frac {kT}{2\pi m_{\text{w}}^{*}}}}e^{-{\frac {E_{\text{b}}}{kT}}}}$,

dónde${\displaystyle m_{\text{b}}^{*}}$y${\displaystyle m_{\text{w}}^{*}}$son masas efectivas de portadores de carga en la barrera y el pozo,${\displaystyle E_{\text{b}}}$es la altura efectiva de la barrera, y${\displaystyle E(z)}$es el campo eléctrico.

Entonces se puede calcular el tiempo de vida de escape de la siguiente manera: ^{[ 9 ] [ 24 ]}

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{\text{esc.}}}}={\frac {1}{\tau _{\text{tun.}}}}+{\frac {1}{\tau _{\text{therm.}}}}}$

La probabilidad total de que los portadores minoritarios escapen de los pozos de agua es la suma de la probabilidad de cada pozo,

${\displaystyle P_{\text{tot}}=P_{i}^{N}}$. ^{[ 24 ]}

Aquí,${\displaystyle P_{i}={\frac {\frac {1}{\tau _{\text{esc.}}}}{{\frac {1}{\tau _{\text{esc.}}}}+{\frac {1}{\tau _{\text{rec.}}}}}}}$, ^{[ 24 ]} donde${\displaystyle \tau _{\text{rec.}}}$es el tiempo de vida de recombinación y${\displaystyle N}$es el número total de pozos cuánticos en la región intrínseca.

Para${\displaystyle \tau _{\text{esc.}}\ll \tau _{rec.}}$, existe una alta probabilidad de recuperación del portador. Las suposiciones hechas en este método de modelado son que cada portador cruza${\displaystyle N}$QW, mientras que, en realidad, atraviesan diferentes números de QW y la captura de portadores es del 100%, lo cual puede no ser cierto en condiciones de dopaje de fondo alto. ^{[ 9 ]}

Por ejemplo, tomando In _0.18 Ga _0.82 As (125${\displaystyle \mathrm {\AA} }$)/GaAs _0,36 P _0,64 (40${\displaystyle \mathrm {\AA} }$) teniendo en cuenta, los tiempos de vida de tunelización y emisión termoiónica son 0,89 y 1,84, respectivamente. Incluso si se asume un tiempo de recombinación de 50 ns, la probabilidad de escape de un pozo cuántico simple y de 100 pozos cuánticos es 0,984 y 0,1686, lo cual no es suficiente para una captura eficiente de portadores. ^{[ 9 ]} Reducir el espesor de la barrera a 20 ångstroms reduce${\displaystyle \tau _{\text{tun.}}}$a 4,1276 ps, aumentando la probabilidad de escape en 100 QW a 0,9918. Esto indica que el uso de barreras delgadas es esencial para una recolección de portadores más eficiente. ^{[ 9 ]}