Regla del producto

En combinatoria , la regla del producto o principio de multiplicación es un principio básico de conteo (también conocido como principio fundamental del conteo ). Dicho de forma sencilla, es la idea intuitiva de que si hay a maneras de hacer algo y b maneras de hacer otra cosa, entonces hay a  · b  maneras de realizar ambas acciones. ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\begin{matrix}&\underbrace {\left\{A,B,C\right\}} &&\underbrace {\left\{X,Y\right\}} \\\mathrm {Para} \ \mathrm {elegir} \ \mathrm {uno} \ \mathrm {de} &\mathrm {estos} &\mathrm {Y} \ \mathrm {uno} \ \mathrm {de} &\mathrm {estos} \end{matrix}}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathrm {es} \ \mathrm {a} \ \mathrm {elegir} \ \mathrm {uno} \ \mathrm {de} &\mathrm {estos}.\\&\overbrace {\left\{AX,AY,BX,BY,CX,CY\right\}} \end{matrix}}}$

En este ejemplo, la regla dice: multiplica 3 por 2, obteniendo 6.

En este ejemplo, los conjuntos { A , B , C } y { X , Y } son disjuntos , pero eso no es necesario. El número de maneras de elegir un elemento de { A , B , C } y luego hacerlo de nuevo, eligiendo efectivamente un par ordenado cuyos componentes están en { A , B , C }, es 3 × 3 = 9.    

Como otro ejemplo, cuando decides pedir una pizza, primero debes elegir el tipo de masa: fina o gruesa (2 opciones). Luego, eliges un ingrediente: queso, pepperoni o salchicha (3  opciones).

Utilizando la regla del producto, sabes que hay 2 × 3 = 6 combinaciones posibles para pedir una pizza.    

En teoría de conjuntos , este principio de multiplicación se suele tomar como la definición del producto de números cardinales . ^{[ 1 ]} Tenemos

${\displaystyle |S_{1}|\cdot |S_{2}|\cdots |S_{n}|=|S_{1}\times S_{2}\times \cdots \times S_{n}|}$

dónde${\displaystyle \times }$es el operador de producto cartesiano . Estos conjuntos no tienen por qué ser finitos, ni es necesario que el producto tenga solo un número finito de factores.

Una extensión de la regla del producto considera que existen n tipos diferentes de objetos, por ejemplo, dulces, que se asocian con k objetos, por ejemplo, personas. ¿De cuántas maneras diferentes pueden las personas recibir sus dulces?

Cada persona puede recibir cualquiera de los n dulces disponibles, y hay k personas, por lo que hay${\displaystyle \overbrace {n\cdots \cdot n} ^{k}=n^{k}}$formas de hacerlo.

La regla de la suma es otro principio básico de conteo . En pocas palabras, es la idea de que si tenemos a maneras de hacer algo y b maneras de hacer otra cosa y no podemos hacer ambas al mismo tiempo, entonces hay a + b maneras de elegir una de las acciones. ^{[ 2 ]}

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