convolución de Dirichlet

En matemáticas , la convolución de Dirichlet (o convolución de divisores ) es una operación binaria definida para funciones aritméticas ; es importante en la teoría de números . Fue desarrollada por Peter Gustav Lejeune Dirichlet .

Si${\displaystyle f,g:\mathbb {N} \to \mathbb {C} }$son dos funciones aritméticas , su convolución de Dirichlet${\displaystyle f*g}$es una nueva función aritmética definida por:

${\displaystyle (f*g)(n)\ =\ \sum _{d\,\mid \,n}f(d)\,g\!\left({\frac {n}{d}}\right)\ =\ \sum _{ab\,=\,n}\!f(a)\,g(b),}$

donde la suma se extiende sobre todos los divisores positivos${\displaystyle d}$de${\displaystyle n}$o, equivalentemente, sobre todos los pares distintos${\displaystyle (a,b)}$de enteros positivos cuyo producto es${\displaystyle n}$.

Este producto aparece de forma natural en el estudio de series de Dirichlet, como la función zeta de Riemann . Describe la multiplicación de dos series de Dirichlet en términos de sus coeficientes:

${\displaystyle \left(\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}\right)\left(\sum _{n\geq 1}{\frac {g(n)}{n^{s}}}\right)\ =\ \left(\sum _{n\geq 1}{\frac {(f*g)(n)}{n^{s}}}\right).}$

El conjunto de funciones aritméticas forma un anillo conmutativo , elAnillo de Dirichlet , con la suma dada porla suma punto a puntoy la multiplicación por la convolución de Dirichlet. La identidad multiplicativa es lafunción identidad.${\displaystyle \varepsilon }$definido por${\displaystyle \varepsilon (n)=1}$si${\displaystyle n=1}$y${\displaystyle 0}$De lo contrario, las unidades (elementos invertibles) de este anillo son las funciones aritméticas.${\displaystyle f}$con${\displaystyle f(1)\neq 0}$. Dado que los no-unidades son cerrados bajo la suma, este anillo es local .

Específicamente, la convolución de Dirichlet es asociativa , ^{[ 1 ]}

${\displaystyle (f*g)*h=f*(g*h),}$

Distributiva sobre la suma

${\displaystyle f*(g+h)=f*g+f*h}$,

conmutativo ,

${\displaystyle f*g=g*f}$,

y tiene un elemento de identidad,

${\displaystyle f*\varepsilon }$=${\displaystyle \varepsilon *f=f}$.

Además, para cada función${\displaystyle f}$teniendo${\displaystyle f(1)\neq 0}$, existe otra función aritmética${\displaystyle f^{-1}}$satisfactorio${\displaystyle f*f^{-1}=\varepsilon }$, llamado el inverso de Dirichlet de${\displaystyle f}$.

La convolución de Dirichlet de dos funciones multiplicativas es nuevamente multiplicativa, y toda función multiplicativa que no sea constantemente cero tiene una inversa de Dirichlet que también es multiplicativa. En otras palabras, las funciones multiplicativas forman un subgrupo del grupo de elementos invertibles del anillo de Dirichlet. Sin embargo, tenga cuidado de que la suma de dos funciones multiplicativas no es multiplicativa (ya que${\displaystyle (f+g)(1)=f(1)+g(1)=2\neq 1}$), por lo que el subconjunto de funciones multiplicativas no es un subanillo del anillo de Dirichlet. El artículo sobre funciones multiplicativas enumera varias relaciones de convolución entre funciones multiplicativas importantes.

Otra operación sobre funciones aritméticas es la multiplicación punto por punto: ${\displaystyle fg}$se define por${\displaystyle (fg)(n)=f(n)g(n)}$. Dada una función completamente multiplicativa${\displaystyle h}$, multiplicación punto por punto por${\displaystyle h}$se distribuye sobre la convolución de Dirichlet:${\displaystyle (f*g)h=(fh)*(gh)}$. ^{[ 2 ]} La convolución de dos funciones completamente multiplicativas es multiplicativa, pero no necesariamente completamente multiplicativa.

En estas fórmulas, utilizamos las siguientes funciones aritméticas :

• ${\displaystyle \varepsilon }$es la identidad multiplicativa:${\displaystyle \varepsilon (1)=1}$, de lo contrario 0 (${\displaystyle \varepsilon (n)=\lfloor {\tfrac {1}{n}}\rfloor }$).
• ${\displaystyle 1}$es la función constante con valor 1: ${\displaystyle 1(n)=1}$a pesar de${\displaystyle n}$. Ten en cuenta que${\displaystyle 1}$no es la identidad. (Algunos autores lo denotan como${\displaystyle \zeta }$porque la serie de Dirichlet asociada es la función zeta de Riemann .
• ${\displaystyle 1_{C}}$para${\displaystyle C\subset \mathbb {N} }$es una función indicadora de conjunto : ${\displaystyle 1_{C}(n)=1}$si y solo si${\displaystyle n\in C}$, de lo contrario 0.
• ${\displaystyle {\text{Id}}}$es la función identidad con valor n : ${\displaystyle {\text{Id}}(n)=n}$.
• ${\displaystyle {\text{Id}}_{k}}$es la función de potencia k :${\displaystyle {\text{Id}}_{k}(n)=n^{k}}$.

Se cumplen las siguientes relaciones:

• ${\displaystyle 1*\mu =\varepsilon }$,  la inversa de Dirichlet de la función constante${\displaystyle 1}$es la función de Möbius (véase la demostración ). Por lo tanto:
• ${\displaystyle g=f*1}$ si y solo si ${\displaystyle f=g*\mu }$, la fórmula de inversión de Möbius .
• ${\displaystyle \sigma _{k}={\text{Id}}_{k}*1}$, la función suma de la k-ésima potencia de divisores σ _k .
• ${\displaystyle \sigma ={\text{Id}}*1}$, la función de suma de divisores σ = σ ₁ .
• ${\displaystyle \tau =1*1}$, la función número de divisores τ ( n ) = σ ₀ .
• ${\displaystyle {\text{Id}}_{k}=\sigma _{k}*\mu }$, por inversión de Möbius de las fórmulas para σ _k , σ y τ .
• ${\displaystyle {\text{Id}}=\sigma *\mu }$
• ${\displaystyle 1=\tau *\mu }$
• ${\displaystyle \phi *1={\text{Id}}}$, demostrado bajo la función totiente de Euler .
• ${\displaystyle \phi ={\text{Id}}*\mu }$, por inversión de Möbius.
• ${\displaystyle \sigma =\phi *\tau }$ , de la convolución de 1 en ambos lados de${\displaystyle \phi *1={\text{Id}}}$.
• ${\displaystyle \lambda *|\mu |=\varepsilon }$ donde λ es la función de Liouville .
• ${\displaystyle {\text{Id}}*\phi =P}$, dónde${\displaystyle P}$es la función aritmética de Pillai , también conocida como la función mcd-suma.
• ${\displaystyle \lambda *1=1_{\text{Sq}}}$ donde Sq = {1, 4, 9, ...} es el conjunto de cuadrados.
• ${\displaystyle {\text{Id}}_{k}*({\text{Id}}_{k}\mu )=\varepsilon }$
• ${\displaystyle \tau ^{3}*1=(\tau *1)^{2}}$
• ${\displaystyle J_{k}*1={\text{Id}}_{k}}$, la función totiente de Jordan .
• ${\displaystyle ({\text{Id}}_{s}J_{r})*J_{s}=J_{s+r}}$
• ${\displaystyle \Lambda *1=\log }$, dónde${\displaystyle \Lambda }$es la función de von Mangoldt .
• ${\displaystyle |\mu |\ast 1=2^{\omega },}$dónde${\displaystyle \omega (n)}$es la función omega prima que cuenta los factores primos distintos de n .
• ${\displaystyle \Omega \ast \mu =1_{\mathcal {P}}}$, la función característica de las potencias primas.
• ${\displaystyle \omega \ast \mu =1_{\mathbb {P} }}$dónde${\displaystyle 1_{\mathbb {P} }(n)\mapsto \{0,1\}}$es la función característica de los números primos.

Esta última identidad muestra que la función de conteo de primos viene dada por la función sumatoria.

${\displaystyle \pi (x)=\sum _{n\leq x}(\omega \ast \mu )(n)=\sum _{d=1}^{x}\omega (d)M\left(\left\lfloor {\frac {x}{d}}\right\rfloor \right)}$

dónde${\displaystyle M(x)}$es la función de Mertens y${\displaystyle \omega }$es la función de conteo de factores primos distintos de arriba. Esta expansión se deduce de la identidad para las sumas sobre convoluciones de Dirichlet dada en la página de identidades de suma de divisores (un truco estándar para estas sumas). ^{[ 3 ]}

Si f es una función aritmética, la función generadora de la serie de Dirichlet se define por

${\displaystyle DG(f;s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}}$

para aquellos argumentos complejos s para los cuales la serie converge (si los hay). La multiplicación de series de Dirichlet es compatible con la convolución de Dirichlet en el siguiente sentido:

${\displaystyle DG(f;s)DG(g;s)=DG(f*g;s)\,}$

para todo s para el cual ambas series del lado izquierdo convergen, al menos una de ellas converge absolutamente (¡nótese que la simple convergencia de ambas series del lado izquierdo no implica la convergencia del lado derecho!). Esto es similar al teorema de convolución si se piensa en las series de Dirichlet como una transformada de Fourier .

La restricción de los divisores en la convolución a divisores unitarios , biunitarios o infinitos define operaciones conmutativas similares que comparten muchas características con la convolución de Dirichlet (existencia de una inversión de Möbius, persistencia de la multiplicatividad, definiciones de totientes, fórmulas de producto de tipo Euler sobre primos asociados, etc.).

La convolución de Dirichlet es un caso especial de la multiplicación por convolución para el álgebra de incidencia de un poset , en este caso el poset de enteros positivos ordenados por divisibilidad.

El método de la hipérbola de Dirichlet calcula la suma de una convolución en términos de sus funciones y sus funciones de suma.

• Función aritmética
• Identidades de suma de divisores
• Fórmula de inversión de Möbius

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• "Convolución de Dirichlet" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]