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Articulo de referencia

Teorema de Oseledets

En matemáticas , el teorema ergódico multiplicativo , o teorema de Oseledets, proporciona el fundamento teórico para el cálculo de los exponentes de Lyapunov de un sistema dinám...

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En matemáticas , el teorema ergódico multiplicativo , o teorema de Oseledets, proporciona el fundamento teórico para el cálculo de los exponentes de Lyapunov de un sistema dinámico no lineal . Fue demostrado por Valery Oseledets (también escrito "Oseledec") en 1965 y presentado en el Congreso Internacional de Matemáticas de Moscú en 1966. MS Raghunathan halló una demostración conceptualmente diferente del teorema ergódico multiplicativo . [ 1 ] El teorema ha sido extendido a grupos de Lie semisimples por VA Kaimanovich y generalizado posteriormente en los trabajos de David Ruelle , Grigory Margulis , Anders Karlsson y François Ledrappier .

Cociclos

El teorema ergódico multiplicativo se enuncia en términos de cociclos matriciales de un sistema dinámico. El teorema establece las condiciones para la existencia de los límites definitorios y describe los exponentes de Lyapunov. No aborda la tasa de convergencia.

Un cociclo de un sistema dinámico autónomo X es una aplicación C  : X × T → R n × n que satisface

do(incógnita,0)=Inorte For all incógnita∈incógnita{\displaystyle C(x,0)=I_{n}{\rm {~para~todo~}}x\in X}
do(incógnita,t+s)=do(incógnita(t),s)do(incógnita,t) For all incógnita∈incógnita anorted t,s∈T{\displaystyle C(x,t+s)=C(x(t),s)\,C(x,t){\rm {~para~todo~}}x\in X{\rm {~y~}}t,s\in T}

donde X y T (con T = Z⁺ o T = R⁺ ) son el espacio de fase y el rango de tiempo, respectivamente, del sistema dinámico, e I n es la matriz identidad n -dimensional. La dimensión n de las matrices C no está relacionada con el espacio de fase X.

Ejemplos

  • Un ejemplo destacado de cociclo lo proporciona la matriz J t en la teoría de exponentes de Lyapunov. En este caso especial, la dimensión n de las matrices es la misma que la dimensión de la variedad X.
  • Para cualquier cociclo C , el determinante det C ( x , t ) es un cociclo unidimensional.  

Enunciado del teorema

Sea μ una medida invariante ergódica en X y C un cociclo del sistema dinámico tal que para cada t  ∈ T , las aplicaciones incógnita→registro⁡‖do(incógnita,t)‖{\displaystyle x\rightarrow \log \|C(x,t)\|}yincógnita→registro⁡‖do(incógnita,t)−1‖{\displaystyle x\rightarrow \log \|C(x,t)^{-1}\|}son L 1 -integrables con respecto a μ . Entonces , para casi todo x y cada vector no nulo u ∈ R n el límite   

λ=límitet→∞1tregistro⁡‖do(incógnita,t)tú‖‖tú‖{\displaystyle \lambda =\lim _{t\to \infty }{1 \over t}\log {\|C(x,t)u\| \over \|u\|}}

Existe y asume, dependiendo de u pero no de x , hasta n valores diferentes. Estos son los exponentes de Lyapunov.

Además, si λ 1 > ... > λ m son los diferentes límites, entonces existen subespacios R n = R 1 ⊃ ... ⊃ R m ⊃ R m +1 =  {0}, dependiendo de x , tales que el límite es λ i para u  ∈ R i \ R i +1 e i = 1, ..., m .        

Los valores de los exponentes de Lyapunov son invariantes con respecto a una amplia gama de transformaciones de coordenadas. Supongamos que g  : X → X es una aplicación biyectiva tal que∂gramo/∂incógnita{\displaystyle \partial g/\partial x}y su inversa existen; entonces los valores de los exponentes de Lyapunov no cambian.

Teoremas ergódicos aditivos versus multiplicativos

Verbalmente, la ergodicidad significa que los promedios de tiempo y espacio son iguales, formalmente:

límitet→∞1t∫0tF(incógnita(s))ds=1μ(incógnita)∫incógnitaF(incógnita)μ(dincógnita){\displaystyle \lim _{t\to \infty }{1 \over t}\int _{0}^{t}f(x(s))\,ds={1 \over \mu (X)}\int _{X}f(x)\,\mu (dx)}

donde existen las integrales y el límite. El promedio espacial (lado derecho, μ es una medida ergódica en X ) es la acumulación de valores f ( x ) ponderados por μ( dx ). Dado que la suma es conmutativa, la acumulación de los valores f ( x )μ( dx ) puede realizarse en cualquier orden. En cambio, el promedio temporal (lado izquierdo) sugiere un orden específico de los valores f ( x ( s )) a lo largo de la trayectoria.

Dado que la multiplicación de matrices no es, en general, conmutativa, la acumulación de valores de cociclos multiplicados (y sus límites) según C ( x ( t 0 ), t k ) = C ( x ( t k − 1 ), t k − t k − 1 ) ... C ( x ( t 0 ), t 1 − t 0 ) — para t k grande y los pasos t i − t i − 1 pequeños — solo tiene sentido para un ordenamiento prescrito. Por lo tanto, el promedio temporal puede existir (y el teorema afirma que existe), pero no hay un promedio espacial equivalente. En otras palabras, el teorema de Oseledets difiere de los teoremas ergódicos aditivos (como los de G. D. Birkhoff y J. von Neumann ) en que garantiza la existencia del promedio temporal, pero no afirma nada sobre el promedio espacial.      

Referencias

  1. ↑ "Teorema ergódico multiplicativo de Oseledets y exponentes de Lyapunov" (PDF) .
  • Oseledets, VI (1968). "Мультипликативная эргодическая teorеma. Характеристические показатели Ляпунова динамических систем" [ Teorema ergódico multiplicativo: exponentes característicos de Lyapunov de los sistemas dinámicos ] . Trudy MMO (en ruso). 19 : 179–210 .
  • Ruelle, D. (1979). "Teoría ergódica de sistemas dinámicos diferenciables" (PDF) . IHES Publ. Math . 50 (1): 27– 58. doi : 10.1007/BF02684768 . S2CID 56389695 .