Independencia multiplicativa

En teoría de números , se dice que dos enteros positivos a y b son multiplicativamente independientes ^{[ 1 ]} si su única potencia entera común es  1. Es decir, para enteros n y m ,${\displaystyle a^{n}=b^{m}}$implica${\displaystyle n=m=0}$Dos números enteros que no son multiplicativamente independientes se denominan multiplicativamente dependientes.

Como ejemplos, 36 y 216 son multiplicativamente dependientes ya que${\displaystyle 36^{3}=(6^{2})^{3}=(6^{3})^{2}=216^{2}}$, mientras que 2 y 3 son multiplicativamente independientes.

Ser multiplicativamente independiente admite otras caracterizaciones. a y b son multiplicativamente independientes si y solo si${\displaystyle \log(a)/\log(b)}$es irracional. Esta propiedad se cumple independientemente de la base del logaritmo .

Dejar${\displaystyle a=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}}}$y${\displaystyle b=q_{1}^{\beta _{1}}q_{2}^{\beta _{2}}\cdots q_{l}^{\beta _{l}}}$sean las representaciones canónicas de a y b . Los enteros a y b son multiplicativamente dependientes si y solo si k  = l , ${\displaystyle p_{i}=q_{i}}$y${\displaystyle {\frac {\alpha _{i}}{\beta _{i}}}={\frac {\alpha _{j}}{\beta _{j}}}}$ para todos i y j . 

La aritmética de Büchi en base a y b define los mismos conjuntos si y solo si a y b son multiplicativamente dependientes.

Sean a y b enteros multiplicativamente dependientes, es decir, existe n,m>1 tal que${\displaystyle a^{n}=b^{m}}$Los enteros c tales que la longitud de su expansión en base a es como máximo m son precisamente los enteros tales que la longitud de su expansión en base b es como máximo n . Esto implica que calcular la expansión en base b de un número, dada su expansión en base a , se puede hacer transformando secuencias consecutivas de m dígitos en base a en secuencias consecutivas de n dígitos en base b .

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