expansión multipolar

Una expansión multipolar es una serie matemática que representa una función que depende de ángulos —generalmente los dos ángulos utilizados en el sistema de coordenadas esféricas (los ángulos polar y azimutal ) para el espacio euclidiano tridimensional— . $\mathbb {R} ^{3}$ Las expansiones multipolares son útiles porque, al igual que las series de Taylor , a menudo solo se necesitan los primeros términos para proporcionar una buena aproximación de la función original. La función que se expande puede tener valores reales o complejos y está definida en $\mathbb {R} ^{3}$ o con menos frecuencia en $\mathbb {R} ^{n}$ para algún otro $n$ .

Las expansiones multipolares se utilizan frecuentemente en el estudio de campos electromagnéticos y gravitatorios , donde los campos en puntos distantes se expresan en términos de fuentes en una región pequeña. La expansión multipolar con ángulos se combina a menudo con una expansión en radio . Dicha combinación proporciona una expansión que describe una función en todo el espacio tridimensional. ^[¹^]

La expansión multipolar se expresa como una suma de términos con características angulares ( momentos ) progresivamente más finas. El primer término (de orden cero) se llama momento monopolar , el segundo término (de primer orden) se llama momento dipolar , el tercero (de segundo orden) momento cuadrupolar , el cuarto término (de tercer orden) se llama momento octupolar, y así sucesivamente. Dada la limitación de los prefijos de los números griegos , los términos de orden superior se nombran convencionalmente añadiendo "-polo" al número de polos, por ejemplo, 32-polo (raramente dotriacontapolo o triacontadipolo) y 64-polo (raramente tetrahexacontapolo o hexacontatetrapolo). ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} Un momento multipolar generalmente involucra potencias (o potencias inversas) de la distancia al origen, así como cierta dependencia angular.

En principio, un desarrollo multipolar proporciona una descripción exacta del potencial y, por lo general, converge bajo dos condiciones: (1) si las fuentes (por ejemplo, cargas) están localizadas cerca del origen y el punto donde se observa el potencial está lejos del origen; o (2) lo contrario, es decir, si las fuentes están ubicadas lejos del origen y el potencial se observa cerca del origen. En el primer caso (el más común), los coeficientes del desarrollo en serie se denominan momentos multipolares exteriores o simplemente momentos multipolares, mientras que, en el segundo caso, se denominan momentos multipolares interiores .

Expansión en armónicos esféricos

Lo más común es que la serie se escriba como una suma de armónicos esféricos . Por lo tanto, podríamos escribir una función $f(\theta ,\varphi )$ como la suma $f(\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\,\sum _{m=-\ell }^{\ell }\,C_{\ell }^{m}\,Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )$ dónde $Y_{\ell }^{m}(\theta,\varphi)$ son los armónicos esféricos estándar, y $C_{\ell }^{m}$ son coeficientes constantes que dependen de la función. El término $C_{0}^{0}$ representa el monopolo; $C_{1}^{-1},C_{1}^{0},C_{1}^{1}$ representan el dipolo; y así sucesivamente. De forma equivalente, la serie también se escribe frecuentemente ^{[ 5 ]} como $f(\theta ,\varphi )=C+C_{i}n^{i}+C_{ij}n^{i}n^{j}+C_{ijk}n^{i}n^{j}n^{k}+C_{ijk\ell }n^{i}n^{j}n^{k}n^{\ell }+\cdots$ donde el $n^{i}$ representan las componentes de un vector unitario en la dirección dada por los ángulos $\theta$ y $\varphi$ y los índices se suman implícitamente . Aquí, el término $C$ es el monopolo; $C_{i}$ es un conjunto de tres números que representan el dipolo; y así sucesivamente.

En las expansiones anteriores, los coeficientes pueden ser reales o complejos . Sin embargo, si la función que se expresa como una expansión multipolar es real, los coeficientes deben satisfacer ciertas propiedades. En la expansión en armónicos esféricos, debemos tener $C_{\ell }^{-m}=(-1)^{m}C_{\ell }^{m\ast }\,.$ En el desarrollo multivectorial, cada coeficiente debe ser real: $C=C^{\ast };\ C_{i}=C_{i}^{\ast };\ C_{ij}=C_{ij}^{\ast };\ C_{ijk}=C_{ijk}^{\ast };\ \ldots$

Si bien las expansiones de funciones escalares son, con mucho, la aplicación más común de las expansiones multipolares, también pueden generalizarse para describir tensores de rango arbitrario. ^{[ 6 ]} Esto se utiliza en las expansiones multipolares del potencial vectorial en electromagnetismo o en la perturbación métrica en la descripción de las ondas gravitacionales .

Para describir funciones de tres dimensiones, lejos del origen de coordenadas, los coeficientes de la expansión multipolar se pueden escribir como funciones de la distancia al origen, $r$ —con mayor frecuencia, como una serie de Laurent en potencias de $r$ . Por ejemplo, para describir el potencial electromagnético , $V$ Desde una fuente en una pequeña región cercana al origen, los coeficientes se pueden escribir como: $V(r,\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\,\sum _{m=-\ell }^{\ell }C_{\ell }^{m}(r)\,Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=\sum _{j=1}^{\infty }\,\sum _{\ell =0}^{\infty }\,\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\frac {D_{\ell ,j}^{m}}{r^{j}}}\,Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ).$

Aplicaciones

Las expansiones multipolares se utilizan ampliamente en problemas que involucran campos gravitatorios de sistemas de masas , campos eléctricos y magnéticos de distribuciones de carga y corriente, y la propagación de ondas electromagnéticas . Un ejemplo clásico es el cálculo de los momentos multipolares externos de los núcleos atómicos a partir de sus energías de interacción con los multipolos internos de los orbitales electrónicos. Los momentos multipolares de los núcleos informan sobre la distribución de cargas dentro del núcleo y, por lo tanto, sobre su forma. La truncación de la expansión multipolar a su primer término no nulo suele ser útil para cálculos teóricos.

Las expansiones multipolares también son útiles en simulaciones numéricas y constituyen la base del método multipolar rápido de Greengard y Rokhlin , una técnica general para el cálculo eficiente de energías y fuerzas en sistemas de partículas interactuantes . La idea básica consiste en descomponer las partículas en grupos; las partículas dentro de un grupo interactúan normalmente (es decir, mediante el potencial completo), mientras que las energías y fuerzas entre grupos de partículas se calculan a partir de sus momentos multipolares. La eficiencia del método multipolar rápido es generalmente similar a la de la suma de Ewald , pero es superior si las partículas están agrupadas, es decir, si el sistema presenta grandes fluctuaciones de densidad.

Expansión multipolar de un potencial fuera de una distribución de carga electrostática

Consideremos una distribución de carga discreta que consta de $N$ cargas puntuales $q i$ con vectores de posición $r i$ . Suponemos que las cargas están agrupadas alrededor del origen, de modo que para todo i : $r i < r max$ , donde $r max$ tiene un valor finito. El potencial $V (R)$ , debido a la distribución de carga, en un punto $R$ fuera de la distribución de carga, es decir, $| R | > r max$ , puede expandirse en potencias de $1/ R$ . En la literatura se pueden encontrar dos formas de realizar esta expansión: la primera es una serie de Taylor en las coordenadas cartesianas $x$ , $y$ , y $z$ , mientras que la segunda es en términos de armónicos esféricos que dependen de coordenadas polares esféricas . El enfoque cartesiano tiene la ventaja de que no requiere conocimiento previo de funciones de Legendre, armónicos esféricos, etc. Su desventaja radica en que las derivaciones son bastante engorrosas (de hecho, gran parte de ellas consiste en la rederivación implícita del desarrollo de Legendre de $1 / | r - R |$ , que Legendre realizó de forma definitiva en la década de 1780). Además, resulta difícil proporcionar una expresión cerrada para un término general del desarrollo multipolar ; por lo general, solo se dan los primeros términos seguidos de puntos suspensivos.

Expansión en coordenadas cartesianas

Supongamos que $v (r) = v (- r)$ por conveniencia. El desarrollo de Taylor de $v (r - R)$ alrededor del origen $r = 0$ se puede escribir como ${\begin{aligned}v(\mathbf {r} -\mathbf {R} )&=v(\mathbf {-R} )+\sum _{\alpha =x,y,z}r_{\alpha }v_{\alpha }(\mathbf {-R} )+{\frac {1}{2}}\sum _{\alpha =x,y,z}\sum _{\beta =x,y,z}r_{\alpha }r_{\beta }v_{\alpha \beta }(\mathbf {-R} )+\cdots +\cdots \\&=v(\mathbf {R} )-\sum _{\alpha =x,y,z}r_{\alpha }v_{\alpha }(\mathbf {R} )+{\frac {1}{2}}\suma _{\alfa =x,y,z}\sum _{\beta =x,y,z}r_{\alpha }r_{\beta }v_{\alpha \beta }(\mathbf {R} )-\cdots +\cdots \end{aligned}}$ con coeficientes de Taylor $v_{\alpha }(\mathbf {R} )\equiv \left({\frac {\partial v(\mathbf {r} -\mathbf {R} )}{\partial r_{\alpha }}}\right)_{\mathbf {r} =\mathbf {0} }\quad {\text{y}}\quad v_{\alpha \beta }(\mathbf {R} )\equiv \left({\frac {\partial ^{2}v(\mathbf {r} -\mathbf {R} )}{\partial r_{\alpha }\partial r_{\beta }}}\right)_{\mathbf {r} =\mathbf {0} }.$ Si $v (r - R)$ satisface la ecuación de Laplace , entonces por la expansión anterior tenemos $\left(\nabla ^{2}v(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\right)_{\mathbf {r} =\mathbf {0} }=\sum _{\alpha =x,y,z}v_{\alpha \alpha }(\mathbf {R} )=0,$ y la expansión se puede reescribir en términos de los componentes de un tensor cartesiano de segundo rango sin traza : $\sum _{\alpha =x,y,z}\sum _{\beta =x,y,z}r_{\alpha }r_{\beta }v_{\alpha \beta }(\mathbf {R} )={\frac {1}{3}}\sum _{\alpha =x,y,z}\sum _{\beta =x,y,z}\left(3r_{\alpha }r_{\beta }-\delta _{\alpha \beta }r^{2}\right)v_{\alpha \beta }(\mathbf {R} ),$ donde $δ αβ$ es la delta de Kronecker y $r 2 \equiv | r | 2$ . Eliminar la traza es común, porque saca el $r 2$ invariante rotacionalmente del tensor de segundo rango.

Ejemplo

Consideremos ahora la siguiente forma de $v (r - R)$ : $v(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\equiv {\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {R} |}}.$ Entonces, por diferenciación directa, se deduce que $v(\mathbf {R} )={\frac {1}{R}},\quad v_{\alpha }(\mathbf {R} )=-{\frac {R_{\alpha }}{R^{3}}},\quad {\hbox{y}}\quad v_{\alpha \beta }(\mathbf {R} )={\frac {3R_{\alpha }R_{\beta }-\delta _{\alpha \beta }R^{2}}{R^{5}}}.$ Definimos un monopolo, un dipolo y un cuadrupolo (sin traza) respectivamente como: $q_{\mathrm {tot} }\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i},\quad P_{\alpha }\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}r_{i\alpha },\quad {\text{and}}\quad Q_{\alpha \beta }\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}(3r_{i\alpha }r_{i\beta }-\delta _{\alpha \beta }r_{i}^{2}),$ y finalmente obtenemos los primeros términos del desarrollo multipolar del potencial total, que es la suma de los potenciales de Coulomb de las cargas individuales: ^{[ 7 ]}^{: 137–138} ${\begin{aligned}4\pi \varepsilon _{0}V(\mathbf {R} )&\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}v(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\\&={\frac {q_{\mathrm {tot} }}{R}}+{\frac {1}{R^{3}}}\sum _{\alpha =x,y,z}P_{\alpha }R_{\alpha }+{\frac {1}{2R^{5}}}\sum _{\alpha ,\beta =x,y,z}Q_{\alpha \beta }R_{\alpha }R_{\beta }+\cdots \end{aligned}}$

Esta expansión del potencial de una distribución de carga discreta es muy similar a la de los armónicos sólidos reales que se muestra a continuación. La principal diferencia es que la presente se expresa en términos de cantidades linealmente dependientes, para $\sum _{\alpha }v_{\alpha \alpha }=0\quad {\hbox{and}}\quad \sum _{\alpha }Q_{\alpha \alpha }=0.$

Nota: Si la distribución de carga consiste en dos cargas de signo opuesto que están separadas por una distancia infinitesimal $d$ , de modo que $d / R ≫ (d / R) 2$ , se demuestra fácilmente que el término dominante en la expansión es $V(\mathbf {R} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}R^{3}}}(\mathbf {P} \cdot \mathbf {R} ),$ el campo de potencial dipolar eléctrico .

Forma esférica

El potencial $V (R)$ en un punto $R$ fuera de la distribución de carga, es decir $| R | > r max$ , puede expandirse mediante la expansión de Laplace : $V(\mathbf {R} )\equiv \sum _{i=1}^{N}{\frac {q_{i}}{4\pi \varepsilon _{0}|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} |}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }(-1)^{m}I_{\ell }^{-m}(\mathbf {R} )\sum _{i=1}^{N}q_{i}R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} _{i}),$ dónde $I_{\ell }^{-m}(\mathbf {R} )$ es un armónico sólido irregular (definido a continuación como una función armónica esférica dividida por $R^{\ell +1}$ ) y $R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )$ es un armónico sólido regular (un armónico esférico multiplicado $por r ℓ$ ). Definimos el momento multipolar esférico de la distribución de carga de la siguiente manera: $Q_{\ell }^{m}\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} _{i}),\quad \ -\ell \leq m\leq \ell .$ Cabe señalar que un momento multipolar está determinado únicamente por la distribución de carga (las posiciones y magnitudes de las N cargas).

Un armónico esférico depende del vector unitario. ${\hat {R}}$ . (Un vector unitario está determinado por dos ángulos polares esféricos.) Por lo tanto, por definición, los armónicos sólidos irregulares se pueden escribir como $I_{\ell }^{m}(\mathbf {R} )\equiv {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}{\frac {Y_{\ell }^{m}({\hat {R}})}{R^{\ell +1}}}$ de modo que la expansión multipolar del campo $V (R)$ en el punto $R$ fuera de la distribución de carga viene dada por

${\begin{aligned}V(\mathbf {R} )&={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }(-1)^{m}I_{\ell }^{-m}(\mathbf {R} )Q_{\ell }^{m}\\&={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\left[{\frac {4\pi }{2\ell +1}}\right]^{1/2}\;{\frac {1}{R^{\ell +1}}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }(-1)^{m}Y_{\ell }^{-m}({\hat {R}})Q_{\ell }^{m},\qquad R>r_{\mathrm {max} }\end{aligned}}$

Esta expansión es completamente general, ya que proporciona una forma cerrada para todos los términos, no solo para los primeros. Demuestra que los momentos multipolares esféricos aparecen como coeficientes en la expansión $1/ R$ del potencial.

Resulta interesante considerar los primeros términos en forma real, que son los únicos que se encuentran comúnmente en los libros de texto de pregrado. Dado que el sumando de la suma m es invariante bajo una transformación unitaria de ambos factores simultáneamente y dado que la transformación de armónicos esféricos complejos a forma real se realiza mediante una transformación unitaria , podemos simplemente sustituir armónicos sólidos irregulares reales y momentos multipolares reales. El término $ℓ = 0 se convierte en$ $V_{\ell =0}(\mathbf {R} )={\frac {q_{\mathrm {tot} }}{4\pi \varepsilon _{0}R}}\quad {\hbox{with}}\quad q_{\mathrm {tot} }\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}.$ De hecho, esta es de nuevo la ley de Coulomb . Para el término $ℓ = 1$ introducimos $\mathbf {R} =(R_{x},R_{y},R_{z}),\quad \mathbf {P} =(P_{x},P_{y},P_{z})\quad {\hbox{with}}\quad P_{\alpha }\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}r_{i\alpha },\quad \alpha =x,y,z.$ Entonces $V_{\ell =1}(\mathbf {R} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}R^{3}}}(R_{x}P_{x}+R_{y}P_{y}+R_{z}P_{z})={\frac {\mathbf {R} \cdot \mathbf {P} }{4\pi \varepsilon _{0}R^{3}}}={\frac {{\hat {\mathbf {R} }}\cdot \mathbf {P} }{4\pi \varepsilon _{0}R^{2}}}.$ Este término es idéntico al que se encuentra en forma cartesiana.

Para escribir el término $ℓ = 2$ , debemos introducir notaciones abreviadas para las cinco componentes reales del momento cuadrupolar y los armónicos esféricos reales. Notaciones del tipo $Q_{z^{2}}\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}\;{\frac {1}{2}}(3z_{i}^{2}-r_{i}^{2}),$ Se puede encontrar en la literatura. Claramente, la notación real se vuelve incómoda muy pronto, lo que demuestra la utilidad de la notación compleja.

Interacción de dos distribuciones de carga que no se superponen.

Consideremos dos conjuntos de cargas puntuales, un conjunto ${q i}$ agrupado alrededor de un punto $A$ y un conjunto ${q j}$ agrupado alrededor de un punto $B.$ Pensemos, por ejemplo, en dos moléculas y recordemos que una molécula, por definición, consta de electrones (cargas puntuales negativas) y núcleos (cargas puntuales positivas). La energía total de interacción electrostática $U AB$ entre las dos distribuciones es $U_{AB}=\sum _{i\in A}\sum _{j\in B}{\frac {q_{i}q_{j}}{4\pi \varepsilon _{0}r_{ij}}}.$ Esta energía se puede expandir en una serie de potencias en la inversa de la distancia entre $A$ y $B.$ Esta expansión se conoce como la expansión multipolar de U _AB .

Para derivar esta expansión multipolar, escribimos $r XY = r Y - r X$ , que es un vector que apunta desde $X$ hacia $Y$ . Nótese que $\mathbf {R} _{AB}+\mathbf {r} _{Bj}+\mathbf {r} _{ji}+\mathbf {r} _{iA}=0\quad \iff \quad \mathbf {r} _{ij}=\mathbf {R} _{AB}-\mathbf {r} _{Ai}+\mathbf {r} _{Bj}.$ Suponemos que las dos distribuciones no se superponen: $|\mathbf {R} _{AB}|>|\mathbf {r} _{Bj}-\mathbf {r} _{Ai}|{\text{ for all }}i,j.$ Bajo esta condición podemos aplicar la expansión de Laplace de la siguiente forma ${\frac {1}{|\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i}|}}={\frac {1}{|\mathbf {R} _{AB}-(\mathbf {r} _{Ai}-\mathbf {r} _{Bj})|}}=\sum _{L=0}^{\infty }\sum _{M=-L}^{L}\,(-1)^{M}I_{L}^{-M}(\mathbf {R} _{AB})\;R_{L}^{M}(\mathbf {r} _{Ai}-\mathbf {r} _{Bj}),$ dónde $I_{L}^{M}$ y $R_{L}^{M}$ son armónicos sólidos irregulares y regulares , respectivamente. La traslación del armónico sólido regular da una expansión finita, $R_{L}^{M}(\mathbf {r} _{Ai}-\mathbf {r} _{Bj})=\sum _{\ell _{A}=0}^{L}(-1)^{L-\ell _{A}}{\binom {2L}{2\ell _{A}}}^{1/2}\times \sum _{m_{A}=-\ell _{A}}^{\ell _{A}}R_{\ell _{A}}^{m_{A}}(\mathbf {r} _{Ai})R_{L-\ell _{A}}^{M-m_{A}}(\mathbf {r} _{Bj})\;\langle \ell _{A},m_{A};L-\ell _{A},M-m_{A}\mid LM\rangle ,$ donde la cantidad entre corchetes angulares es un coeficiente de Clebsch-Gordan . Además, utilizamos $R_{\ell }^{m}(-\mathbf {r} )=(-1)^{\ell }R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} ).$ El uso de la definición de multipolos esféricos $Q m ℓ$ y la cobertura de los rangos de suma en un orden algo diferente (que solo está permitido para un rango infinito de $L$ ) da finalmente

${\begin{aligned}U_{AB}={}&{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\ell _{A}=0}^{\infty }\sum _{\ell _{B}=0}^{\infty }(-1)^{\ell _{B}}{\binom {2\ell _{A}+2\ell _{B}}{2\ell _{A}}}^{1/2}\\[5pt]&\times \sum _{m_{A}=-\ell _{A}}^{\ell _{A}}\sum _{m_{B}=-\ell _{B}}^{\ell _{B}}(-1)^{m_{A}+m_{B}}I_{\ell _{A}+\ell _{B}}^{-m_{A}-m_{B}}(\mathbf {R} _{AB})\;Q_{\ell _{A}}^{m_{A}}Q_{\ell _{B}}^{m_{B}}\;\langle \ell _{A},m_{A};\ell _{B},m_{B}\mid \ell _{A}+\ell _{B},m_{A}+m_{B}\rangle .\end{aligned}}$

Esta es la expansión multipolar de la energía de interacción de dos distribuciones de carga no superpuestas que están separadas por una distancia R _{AB . Dado que} $I_{\ell _{A}+\ell _{B}}^{-(m_{A}+m_{B})}(\mathbf {R} _{AB})\equiv \left[{\frac {4\pi }{2\ell _{A}+2\ell _{B}+1}}\right]^{1/2}\;{\frac {Y_{\ell _{A}+\ell _{B}}^{-(m_{A}+m_{B})}\left({\widehat {\mathbf {R} }}_{AB}\right)}{R_{AB}^{\ell _{A}+\ell _{B}+1}}},$ Esta expansión es manifiestamente en potencias de $1 / R AB$ . La función $Y m l$ es un armónico esférico normalizado .

Momentos moleculares

Todos los átomos y moléculas (excepto los átomos en estado S ) poseen uno o más momentos multipolares permanentes no nulos. Si bien existen diversas definiciones en la literatura, la siguiente, en forma esférica, tiene la ventaja de estar contenida en una ecuación general. Además, al estar en forma compleja, resulta más fácil de manipular en cálculos que su equivalente en el plano real.

Consideramos una molécula compuesta por N partículas (electrones y núcleos) con cargas eZ _i . (Los electrones tienen un valor Z de −1, mientras que para los núcleos es el número atómico ). La partícula i tiene coordenadas polares esféricas r _i , θ _i , y φ _i y coordenadas cartesianas x _i , y _i , y z _i . El operador multipolar electrostático (complejo) es $Q_{\ell }^{m}\equiv \sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} _{i}),$ dónde $R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} _{i})$ es una función armónica sólida regular en la normalización de Racah (también conocida como seminormalización de Schmidt). Si la molécula tiene una función de onda normalizada total Ψ (que depende de las coordenadas de los electrones y los núcleos), entonces el momento multipolar de orden $\ell$ La energía de la molécula viene dada por el valor esperado : $M_{\ell }^{m}\equiv \langle \Psi \mid Q_{\ell }^{m}\mid \Psi \rangle .$ Si la molécula tiene cierta simetría de grupo puntual , entonces esto se refleja en la función de onda: Ψ se transforma de acuerdo con una cierta representación irreducible λ del grupo ("Ψ tiene simetría de tipo λ"). Esto tiene como consecuencia que las reglas de selección se cumplen para el valor esperado del operador multipolar, o en otras palabras, que el valor esperado puede anularse debido a la simetría. Un ejemplo bien conocido de esto es el hecho de que las moléculas con un centro de inversión no llevan un dipolo (los valores esperados de $Q_{1}^{m}$ se desvanecen para $m = -1, 0, 1)$ . Para una molécula sin simetría, no operan reglas de selección y dicha molécula tendrá multipolos no nulos de cualquier orden (llevará un dipolo y simultáneamente un cuadrupolo, octupolo, hexadecapolo, etc.).

Las formas explícitas más bajas de los armónicos sólidos regulares (con la fase de Condon-Shortley ) dan como resultado: $M_{0}^{0}=\sum _{i=1}^{N}eZ_{i},$ (la carga total de la molécula). Los componentes del dipolo (complejo) son: $M_{1}^{1}=-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\langle \Psi |x_{i}+iy_{i}|\Psi \rangle \quad {\hbox{and}}\quad M_{1}^{-1}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\langle \Psi |x_{i}-iy_{i}|\Psi \rangle .$ $M_{1}^{0}=\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\langle \Psi |z_{i}|\Psi \rangle .$

Nótese que mediante una simple combinación lineal se pueden transformar los operadores multipolares complejos en reales. Los operadores multipolares reales son de tipo coseno. $C_{\ell }^{m}$ o tipo seno $S_{\ell }^{m}$ Algunos de los más bajos son: ${\begin{aligned}C_{1}^{0}&=\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;z_{i},\\C_{1}^{1}&=\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;x_{i},&S_{1}^{1}&=\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;y_{i},\\C_{2}^{0}&={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;\left(3z_{i}^{2}-r_{i}^{2}\right),\\C_{2}^{1}&={\sqrt {3}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;z_{i}x_{i},&S_{2}^{1}&={\sqrt {3}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;z_{i}y_{i},\\C_{2}^{2}&={\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;\left(x_{i}^{2}-y_{i}^{2}\right),&S_{2}^{2}&={\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;x_{i}y_{i},\end{aligned}}$

Nota sobre las convenciones

La definición del momento multipolar molecular complejo dada anteriormente es el conjugado complejo de la definición dada en este artículo , que sigue la definición del libro de texto estándar sobre electrodinámica clásica de Jackson, ^{[ 7 ]}^{: 137} excepto por la normalización. Además, en la definición clásica de Jackson, el equivalente del valor esperado mecánico cuántico de N partículas es una integral sobre una distribución de carga de una partícula. Recordemos que en el caso de un sistema mecánico cuántico de una partícula, el valor esperado no es más que una integral sobre la distribución de carga (módulo de la función de onda al cuadrado), por lo que la definición de este artículo es una generalización mecánica cuántica de N partículas de la definición de Jackson.

La definición de este artículo coincide, entre otras, con la de Fano y Racah ^{[ 8 ]} y Brink y Satchler. ^{[ 9 ]}

Ejemplos

Existen muchos tipos de momentos multipolares, ya que hay muchos tipos de potenciales y muchas maneras de aproximar un potencial mediante un desarrollo en serie , dependiendo de las coordenadas y la simetría de la distribución de carga. Los desarrollos más comunes incluyen:

Momentos multipolares axiales de un potencial $1/ R ;$
Momentos multipolares esféricos de un potencial $1/ R$ ; y
Momentos multipolares cilíndricos de un potencial $ln R$

Ejemplos de potenciales $1/ R$ incluyen el potencial eléctrico , el potencial magnético y el potencial gravitatorio de fuentes puntuales. Un ejemplo de potencial $ln R$ es el potencial eléctrico de una carga lineal infinita.

Propiedades matemáticas generales

En matemáticas y física matemática, los momentos multipolares constituyen una base ortogonal para la descomposición de una función, basada en la respuesta de un campo a fuentes puntuales que se encuentran infinitamente próximas entre sí. Estas fuentes pueden considerarse dispuestas en diversas formas geométricas o, en el sentido de la teoría de la distribución , como derivadas direccionales .

Las expansiones multipolares están relacionadas con la simetría rotacional subyacente de las leyes físicas y sus ecuaciones diferenciales asociadas . Aunque los términos fuente (como las masas, las cargas o las corrientes) no sean simétricos, se pueden expandir en términos de representaciones irreducibles del grupo de simetría rotacional , lo que da lugar a armónicos esféricos y conjuntos relacionados de funciones ortogonales . Se utiliza la técnica de separación de variables para obtener las soluciones correspondientes a las dependencias radiales.

En la práctica, muchos campos pueden aproximarse bien con un número finito de momentos multipolares (aunque puede ser necesario un número infinito para reconstruir un campo con exactitud). Una aplicación típica consiste en aproximar el campo de una distribución de carga localizada mediante sus términos monopolares y dipolares . Los problemas resueltos una vez para un orden dado de momento multipolar pueden combinarse linealmente para obtener una solución aproximada final para una fuente dada.

Véase también

Referencias

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[4] Ikeda, Hiroaki; Suzuki, Michi-To; Arita, Ryotaro; Takimoto, Tetsuya; Shibauchi, Takasada; Matsuda, Yuji (3 de junio de 2012). "Orden nemático emergente de rango 5 en URu2Si2". Física de la Naturaleza . 8 (7): 528– 533. arXiv : 1204.4016 . Código Bib : 2012NatPh...8..528I . doi : 10.1038/nphys2330 . S2CID 119108102 .

[5] Thompson, William J. Momento angular . John Wiley & Sons, Inc.

[6] Thorne, Kip S. (abril de 1980). "Expansiones multipolares de la radiación gravitacional" (PDF) . Reviews of Modern Physics . 52 (2): 299– 339. Bibcode : 1980RvMP...52..299T . doi : 10.1103/RevModPhys.52.299 .

[Jackson75-7] 1 2 Jackson, John David (1975). Electrodinámica clásica (2.ª ed.). Nueva York: Wiley. ISBN 047143132X.

[8] U. Fano y G. Racah, Conjuntos tensoriales irreducibles , Academic Press, Nueva York (1959). pág. 31

[9] DM Brink y GR Satchler, Momento angular , 2.ª edición, Clarendon Press, Oxford, Reino Unido (1968). pág. 64. Véase también la nota a pie de página en la pág. 90.

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