Radiación multipolar

La radiación multipolar es un marco teórico para la descripción de la radiación electromagnética o gravitacional a partir de distribuciones dependientes del tiempo de fuentes distantes. Estas herramientas se aplican a fenómenos físicos que ocurren en una variedad de escalas de longitud, desde ondas gravitacionales debido a colisiones de galaxias hasta radiación gamma resultante de la desintegración nuclear . ^{[1] [2] [3]} La radiación multipolar se analiza utilizando técnicas de expansión multipolar similares que describen campos de fuentes estáticas, sin embargo, existen diferencias importantes en los detalles del análisis porque los campos de radiación multipolar se comportan de manera bastante diferente a los campos estáticos. Este artículo se ocupa principalmente de la radiación multipolar electromagnética, aunque el tratamiento de las ondas gravitacionales es similar.

La radiación electromagnética depende de detalles estructurales del sistema fuente de carga eléctrica y corriente eléctrica . El análisis directo puede resultar difícil si la estructura es desconocida o complicada. El análisis multipolar ofrece una forma de separar la radiación en momentos de complejidad creciente. Dado que el campo electromagnético depende en mayor medida de momentos de orden inferior que de momentos de orden superior, el campo electromagnético se puede aproximar sin conocer la estructura en detalle.

Como las ecuaciones de Maxwell son lineales, el campo eléctrico y el campo magnético dependen linealmente de las distribuciones de las fuentes. La linealidad permite calcular los campos de varios momentos multipolares de forma independiente y sumarlos para obtener el campo total del sistema. Este es el conocido principio de superposición .

Los momentos multipolares se calculan con respecto a un punto de expansión fijo que se toma como el origen de un sistema de coordenadas dado. Trasladar el origen cambia los momentos multipolares del sistema con la excepción del primer momento no nulo. ^{[4] [5]} Por ejemplo, el momento monopolar de la carga es simplemente la carga total en el sistema. Cambiar el origen nunca cambiará este momento. Si el momento monopolar es cero, entonces el momento dipolar del sistema será invariante a la traslación. Si tanto el momento monopolar como el dipolar son cero, entonces el momento cuadrupolar es invariante a la traslación, y así sucesivamente. Debido a que los momentos de orden superior dependen de la posición del origen, no pueden considerarse propiedades invariantes del sistema.

El campo de un momento multipolar depende tanto de la distancia desde el origen como de la orientación angular del punto de evaluación con respecto al sistema de coordenadas. ^[4] En particular, la dependencia radial del campo electromagnético de un polo estacionario escala como . ^[2] Es decir, el campo eléctrico del momento monopolar eléctrico escala como la distancia inversa al cuadrado. Del mismo modo, el momento dipolar eléctrico crea un campo que escala como la distancia inversa al cubo, y así sucesivamente. A medida que aumenta la distancia, la contribución de los momentos de orden superior se vuelve mucho menor que la contribución de los momentos de orden inferior, por lo que los momentos de orden superior se pueden ignorar para simplificar los cálculos. ${\displaystyle 2^{\ell }}$${\displaystyle 1/r^{\ell +2}}$

La dependencia radial de las ondas de radiación es diferente de los campos estáticos porque estas ondas llevan energía fuera del sistema. Dado que la energía debe conservarse, un análisis geométrico simple muestra que la densidad de energía de la radiación esférica, radio , debe escalar como . A medida que una onda esférica se expande, la energía fija de la onda debe extenderse sobre una esfera en expansión de área de superficie . En consecuencia, cada momento multipolar dependiente del tiempo debe contribuir con una densidad de energía radiante que escala como , independientemente del orden del momento. Por lo tanto, los momentos de alto orden no se pueden descartar tan fácilmente como en el caso estático. Aun así, los coeficientes multipolares de un sistema generalmente disminuyen con el aumento del orden, generalmente como , por lo que los campos de radiación aún se pueden aproximar truncando los momentos de alto orden. ^[5]${\estilo de visualización r}$${\estilo de visualización 1/r^{2}}$${\estilo de visualización 4\pi r^{2}}$${\estilo de visualización 1/r^{2}}$${\displaystyle 1/(2\ell +1)!!}$

Las distribuciones de fuentes dependientes del tiempo se pueden expresar mediante el análisis de Fourier . Esto permite analizar frecuencias separadas de forma independiente. La densidad de carga está dada por y la densidad de corriente por ^[6] Por conveniencia, solo se considera una única frecuencia angular ω a partir de este punto en adelante; por lo tanto, el principio de superposición se puede aplicar para generalizar los resultados para múltiples frecuencias. ^[5] Las cantidades vectoriales aparecen en negrita. Se utiliza la convención estándar de tomar la parte real de las cantidades complejas para representar cantidades físicas. $${\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)=\int _{-\infty }^{\infty }d\omega \,{\hat {\rho }}(\mathbf {x} ,\omega )e^{-i\omega t}}$$ $${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)=\int _{-\infty }^{\infty }d\omega \,{\hat {\mathbf {J} }}(\mathbf {x} ,\omega )e^{-i\omega t}.}$$$${\displaystyle \rho(\mathbf{x},t)=\rho(\mathbf{x})e^{-i\omega t}}$$ $${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {J} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t}}$$

El momento angular intrínseco de las partículas elementales (véase Spin (física) ) también puede afectar a la radiación electromagnética de algunos materiales de origen. Para tener en cuenta estos efectos, habría que tener en cuenta la magnetización intrínseca del sistema . Sin embargo, para simplificar, estos efectos se dejarán para el análisis de la radiación multipolar generalizada. ${\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {x},t)}$

Las distribuciones de fuentes se pueden integrar para obtener el potencial eléctrico y el potencial magnético dependientes del tiempo φ y A respectivamente. Las fórmulas se expresan en el calibre de Lorenz en unidades del SI . ^{[5] [6]}

$${\displaystyle \phi (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int d^{3}\mathbf {x'} \int dt'{\frac {\rho (\mathbf {x'} ,t')}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}\delta \left(t'-\left(t-{\frac {\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}{c}}\right)\right)}$$ $${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int d^{3}\mathbf {x'} \int dt'{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {x'} ,t')}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}\delta \left(t'-\left(t-{\frac {\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}{c}}\right)\right)}$$

En estas fórmulas c es la velocidad de la luz en el vacío, es la función delta de Dirac y es la distancia euclidiana desde el punto de origen x′ hasta el punto de evaluación x . Al integrar las distribuciones de origen dependientes del tiempo anteriores se obtiene ${\estilo de visualización \delta}$${\textstyle \|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}$

$${\displaystyle \phi (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}e^{-i\omega t}\int d^{3}\ mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} ){\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}e^{-i\omega t}\int d^{3 }\mathbf {x'} \mathbf {J} (\mathbf {x'} ){\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}} {\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}}$$ donde k = ω / c . Estas fórmulas proporcionan la base para analizar la radiación multipolar.

El campo cercano es la región alrededor de una fuente donde el campo electromagnético puede evaluarse de forma cuasiestática. Si la distancia del objetivo desde el origen multipolar es mucho menor que la longitud de onda de la radiación , entonces . Como resultado, la exponencial puede aproximarse en esta región como: ${\displaystyle r=\|\mathbf {x} \|_{2}}$${\displaystyle \lambda =2\pi /k}$${\displaystyle kr\ll 1}$$${\displaystyle e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}=1+{\mathcal {O}}(kr)}$$

Véase expansión de Taylor . Al utilizar esta aproximación, la dependencia x ′ restante es la misma que para un sistema estático, se aplica el mismo análisis. ^{[4] [5]} Básicamente, los potenciales se pueden evaluar en el campo cercano en un instante dado simplemente tomando una instantánea del sistema y tratándolo como si fuera estático, por lo que se llama cuasiestático. ^[5] Véase expansión de campo cercano y lejano y multipolar . En particular, la distancia inversa se expande utilizando armónicos esféricos que se integran por separado para obtener coeficientes multipolares esféricos. ${\displaystyle 1/\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}$

A grandes distancias de una fuente de alta frecuencia, se cumplen las siguientes aproximaciones: ${\displaystyle \lambda \ll r}$

$${\displaystyle {\frac {1}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}={\frac {1}{r}}+{\mathcal {O}}(1/r^{2})}$$ $${\displaystyle e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}=e^{ik(r-\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} + {\mathcal {O}}(1/r))}=e^{ikr-ik\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} }(1+{\mathcal {O}}(1/r) )}$$

Dado que solo el término de primer orden es significativo a grandes distancias, las expansiones se combinan para dar ${\estilo de visualización 1/r}$

$${\displaystyle {\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}={\frac {e^{ikr}}{r}}\left(1-ik(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )+{\frac {(-ik)^{2}}{2}}(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )^{2}+\cdots \right)+{\mathcal {O}}(1/r^{2})}$$

Cada potencia de corresponde a un momento multipolar diferente. Los primeros momentos se evalúan directamente a continuación. ${\displaystyle \mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} }$

El término de orden cero, , aplicado al potencial escalar da donde la carga total es el momento monopolar eléctrico que oscila a una frecuencia ω . La conservación de la carga requiere q = 0 ya que ${\displaystyle {\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}\rightarrow {\frac {e^{ikr}}{r}}}$$${\displaystyle \phi _{\text{Electric monopole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\int d^{3}\mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} )={\frac {e^{ikr-i\omega t}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}q}$$${\textstyle q=\int d^{3}\mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} )}$$${\displaystyle q(t)=\int d^{3}\mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} ,t)=\int d^{3}\mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} )e^{-i\omega t}=qe^{-i\omega t}.}$$

Si el sistema está cerrado, la carga total no puede fluctuar, lo que significa que la amplitud de oscilación q debe ser cero. Por lo tanto, . Los campos correspondientes y la potencia radiante también deben ser cero. ^[5]${\displaystyle \phi _{\text{Electric monopole}}(\mathbf {x} ,t)=0}$

La radiación dipolar eléctrica se puede derivar aplicando el término de orden cero al potencial vectorial. ^[5]

$${\displaystyle \mathbf {A} _{\text{Electric dipole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {J} (\mathbf {x'} )}$$

La integración por partes da como resultado ^[7]

$${\displaystyle \int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {J} (\mathbf {x'} )=-\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} ({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} )).}$$

y la ecuación de continuidad de carga muestra

$${\displaystyle {\frac {\partial \rho (\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)=\left(-i\omega \rho (\mathbf {x} )+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} )\right)e^{-i\omega t}=0.}$$

Resulta que

$${\displaystyle \mathbf {A} _{\text{Electric dipole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-i\omega \mu _{0}}{4\pi }}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} )}$$

Se pueden obtener resultados similares aplicando el término de primer orden, al potencial escalar. La amplitud del momento dipolar eléctrico del sistema es , lo que permite expresar los potenciales como ${\displaystyle {\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}\rightarrow {\frac {e^{ikr}}{r}}(-ik)(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )}$${\textstyle \mathbf {p} =\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} )}$

$${\displaystyle \phi _{\text{Electric dipole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-ik}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\mathbf {n} \cdot \mathbf {p} }$$ $${\displaystyle \mathbf {A} _{\text{Electric dipole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-i\omega \mu _{0}}{4\pi }}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\mathbf {p} }$$

Una vez que se comprenden los potenciales dependientes del tiempo, el campo eléctrico y el campo magnético dependientes del tiempo se pueden calcular de la manera habitual. Es decir,

$${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)=-{\boldsymbol {\nabla }}\phi (\mathbf {x} ,t)-{\frac {\partial \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {x} ,t)={\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t),}$$

o, en una región del espacio libre de fuentes, la relación entre el campo magnético y el campo eléctrico se puede utilizar para obtener

$${\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{\mu _{0}}}{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)}$$ $${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)={\frac {iZ_{0}}{k}}{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {H} (\mathbf {x} ,t)}$$

donde es la impedancia del espacio libre . Los campos eléctricos y magnéticos que corresponden a los potenciales anteriores son ${\textstyle Z_{0}={\sqrt {\mu _{0}/\varepsilon _{0}}}}$

$${\displaystyle \mathbf {H} _{\text{Electric dipole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {ck^{2}}{4\pi }}(\mathbf {n} \times \mathbf {p} ){\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {E} _{\text{Electric dipole}}(\mathbf {x} ,t)=Z_{0}(\mathbf {H} _{\text{Electric dipole}}\times \mathbf {n} )}$$

lo cual es consistente con las ondas de radiación esférica. ^[5]

La densidad de potencia, energía por unidad de área por unidad de tiempo, se expresa mediante el vector de Poynting . De ello se deduce que la densidad de potencia promediada en el tiempo por unidad de ángulo sólido viene dada por ${\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H} }$

$${\displaystyle {\frac {dP(\mathbf {x} )}{d\Omega }}={\frac {r^{2}}{2}}\Re (\mathbf {n} \cdot \mathbf {E} \times \mathbf {H} ).}$$

El producto escalar con extrae la magnitud de la emisión y el factor de 1/2 proviene del promedio en el tiempo. Como se explicó anteriormente, cancela la dependencia radial de la densidad de energía de radiación. La aplicación a un dipolo eléctrico puro da ${\displaystyle \mathbf {n} }$${\displaystyle r^{2}}$

$${\displaystyle {\frac {dP_{\text{Electric dipole}}(\mathbf {x} )}{d\Omega }}={\frac {c^{2}Z_{0}}{32\pi ^{2}}}k^{4}\|\mathbf {p} \|_{2}^{2}\sin ^{2}\theta }$$

donde θ se mide con respecto a . ^[5] La integración sobre una esfera produce la potencia total radiada: ${\displaystyle \mathbf {p} }$

$${\displaystyle P_{\text{Electric dipole}}={\frac {c^{2}Z_{0}}{12\pi }}k^{4}\|\mathbf {p} \|_{2}^{2}}$$

El término de primer orden, , aplicado al potencial vectorial da como resultado radiación dipolar magnética y radiación cuadrupolar eléctrica. ^[5]${\displaystyle {\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}\rightarrow {\frac {e^{ikr}}{r}}(-ik)(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )}$

$${\displaystyle \mathbf {A} _{\text{Magnetic dipole / Electric quadrupole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}(-ik)\int d^{3}\mathbf {x'} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\mathbf {J} (\mathbf {x'} )}$$

El integrando se puede separar en partes simétricas y antisimétricas en J y x ′

$${\displaystyle (\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\mathbf {J} (\mathbf {x'} )={\frac {1}{2}}\left((\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\mathbf {J} (\mathbf {x'} )+(\mathbf {n} \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))\mathbf {x'} \right)+{\frac {1}{2}}(\mathbf {x'} \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))\times \mathbf {n} }$$

El segundo término contiene la magnetización efectiva debida a la corriente y la integración da el momento dipolar magnético. ${\displaystyle \mathbf {M} _{\text{effective}}(\mathbf {x'} )=1/2(\mathbf {x'} \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))}$

$${\displaystyle \int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {M} _{\text{effective}}(\mathbf {x'} )=\mathbf {m} }$$ $${\displaystyle \mathbf {A} _{\text{Magnetic dipole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-ik\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\mathbf {m} \times \mathbf {n} }$$

Observe que tiene una forma similar a . Eso significa que el campo magnético de un dipolo magnético se comporta de manera similar al campo eléctrico de un dipolo eléctrico. Asimismo, el campo eléctrico de un dipolo magnético se comporta como el campo magnético de un dipolo eléctrico. Tomando las transformaciones ${\displaystyle \mathbf {A} _{\text{Magnetic dipole}}}$${\displaystyle \mathbf {H} _{\text{Electric dipole}}}$

$${\displaystyle \mathbf {E} _{\text{Electric dipole}}\rightarrow Z_{0}\mathbf {H} _{\text{Magnetic dipole}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {H} _{\text{Electric dipole}}\rightarrow {\frac {-1}{Z_{0}}}\mathbf {E} _{\text{Magnetic dipole}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {m} /c}$$

Con los resultados anteriores se obtienen resultados de dipolo magnético. ^[5]

$${\displaystyle \mathbf {E} _{\text{Magnetic dipole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-k^{2}Z_{0}}{4\pi }}(\mathbf {n} \times \mathbf {m} ){\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {H} _{\text{Magnetic dipole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-1}{Z_{0}}}(\mathbf {E} _{\text{Magnetic dipole}}\times \mathbf {n} )}$$^[5]

La potencia media radiada por unidad de ángulo sólido por un dipolo magnético es

$${\displaystyle {\frac {dP_{\text{Magnetic dipole}}(\mathbf {x} )}{d\Omega }}={\frac {Z_{0}}{32\pi ^{2}}}k^{4}\|\mathbf {m} \|_{2}^{2}\sin ^{2}\theta }$$

donde θ se mide con respecto al dipolo magnético . La potencia total radiada es: ^[5]${\displaystyle \mathbf {m} }$

$${\displaystyle P_{\text{Magnetic dipole}}={\frac {Z_{0}}{12\pi }}k^{4}\|\mathbf {m} \|_{2}^{2}}$$

La porción simétrica del integrando de la sección anterior se puede resolver aplicando la integración por partes y la ecuación de continuidad de carga como se hizo para la radiación dipolar eléctrica.

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int d^{3}\mathbf {x} \left((\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\mathbf {J} (\mathbf {x'} )+(\mathbf {n} \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))\mathbf {x'} \right)={\frac {-i\omega }{2}}\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\rho (\mathbf {x'} )}$$

$${\displaystyle \mathbf {A} _{\text{Electric quadrupole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-k\omega \mu _{0}}{8\pi }}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\rho (\mathbf {x'} )}$$

Esto corresponde al tensor de momento cuadrupolo eléctrico sin trazas . Al contraer el segundo índice con el vector normal, el potencial vectorial se puede expresar como ^[5]${\textstyle Q_{\alpha \beta }=\int d^{3}\mathbf {x'} (3x'_{\alpha }x'_{\beta }-\|\mathbf {x'} \|^{2}\delta _{\alpha \beta })\rho (\mathbf {x'} )}$${\textstyle [Q(\mathbf {n} )]_{\alpha }=\sum _{\beta }Q_{\alpha \beta }n_{\beta }}$

$${\displaystyle \mathbf {A} _{\text{Electric quadrupole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-k\omega \mu _{0}}{8\pi }}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}{\frac {1}{3}}\mathbf {Q(n)} }$$

Los campos magnéticos y eléctricos resultantes son: ^[5]

$${\displaystyle \mathbf {H} _{\text{Electric quadrupole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-ick^{3}}{24\pi }}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\mathbf {n} \times \mathbf {Q(n)} }$$ $${\displaystyle \mathbf {E} _{\text{Electric quadrupole}}(\mathbf {x} ,t)=Z_{0}(\mathbf {H} _{\text{Electric quadrupole}}\times \mathbf {n} )}$$

La potencia media radiada por unidad de ángulo sólido por un cuadrupolo eléctrico es

$${\displaystyle {\frac {dP_{\text{Electric quadrupole}}(\mathbf {x} )}{d\Omega }}={\frac {c^{2}Z_{0}}{1152\pi ^{2}}}k^{6}\|(\mathbf {n} \times \mathbf {Q(n)} )\times \mathbf {n} \|^{2}}$$

donde θ se mide con respecto al dipolo magnético . La potencia total radiada es: ^[5]${\displaystyle \mathbf {m} }$

$${\displaystyle P_{\text{Electric quadrupole}}={\frac {c^{2}Z_{0}}{1440\pi }}k^{6}\sum _{\alpha ,\beta }Q_{\alpha \beta }^{2}}$$

A medida que aumenta el momento multipolar de una distribución de fuentes, los cálculos directos empleados hasta ahora se vuelven demasiado engorrosos para continuar. El análisis de momentos más altos requiere una maquinaria teórica más general. Al igual que antes, se considera una única frecuencia de fuente. Por lo tanto, las densidades de carga, corriente y magnetización intrínseca se dan por ${\displaystyle \omega }$

$${\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)=\rho (\mathbf {x} )e^{-i\omega t}}$$ $${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {J} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t}}$$ $${\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {M} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t}}$$

respectivamente. Los campos eléctricos y magnéticos resultantes comparten la misma dependencia temporal que las fuentes.

$${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {E} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t}}$$ $${\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {H} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t}}$$

Usando estas definiciones y la ecuación de continuidad, las ecuaciones de Maxwell se pueden escribir como

$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {x} )=-{\frac {iZ_{0}}{k}}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} )}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {H} (\mathbf {x} )=-{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {M} (\mathbf {x} )}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} (\mathbf {x} )=ikZ_{0}\left(\mathbf {H} (\mathbf {x} )+\mathbf {M} (\mathbf {x} )\right)}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {H} (\mathbf {x} )=-{\frac {ik}{Z_{0}}}\mathbf {E} (\mathbf {x} )+\mathbf {J} (\mathbf {x} )}$$

Estas ecuaciones se pueden combinar tomando el rotacional de las últimas ecuaciones y aplicando la identidad . Esto da las formas vectoriales de la ecuación de Helmholtz no homogénea. ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {V} )={\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {V} )-{\boldsymbol {\nabla }}^{2}\mathbf {V} }$

$${\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {E} (\mathbf {x} )=-\left[ikZ_{0}\mathbf {J} (\mathbf {x} )+ikZ_{0}{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {M} (\mathbf {x} )+{\frac {iZ_{0}}{k}}{\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} ))\right]}$$ $${\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {H} (\mathbf {x} )=-\left[k^{2}\mathbf {M} (\mathbf {x} )+{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {J} (\mathbf {x} )+{\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {M} (\mathbf {x} ))\right]}$$

Las ecuaciones de onda homogéneas que describen la radiación electromagnética con frecuencia en una región libre de fuentes tienen la forma. ${\displaystyle \omega }$

$${\displaystyle ({\boldsymbol {\nabla }}^{2}+k^{2}){\boldsymbol {\Psi }}(\mathbf {x} )=0}$$

La función de onda se puede expresar como una suma de armónicos esféricos vectoriales.${\displaystyle {\boldsymbol {\Psi }}(\mathbf {x} )}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\Psi }}(\mathbf {x} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell m}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )}$$ $${\displaystyle f_{\ell m}(kr)=A_{\ell m}^{(1)}h_{\ell }^{(1)}(kr)+A_{\ell m}^{(2)}h_{\ell }^{(2)}(kr)}$$

Donde son los armónicos esféricos vectoriales normalizados y y son funciones esféricas de Hankel. Véase funciones esféricas de Bessel . El operador diferencial es el operador de momento angular con la propiedad . Los coeficientes y corresponden a ondas en expansión y contracción respectivamente. Así que para la radiación. Para determinar los otros coeficientes, se aplica la función de Green para la ecuación de onda. Si la ecuación de la fuente es ${\textstyle \mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )=\mathbf {L} Y_{\ell m}(\theta ,\phi )/{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}$${\displaystyle h_{\ell }^{(1)}}$${\displaystyle h_{\ell }^{(2)}}$${\displaystyle \mathbf {L} =-i\mathbf {x} \times {\boldsymbol {\nabla }}}$${\displaystyle L^{2}Y_{\ell m}=\ell (\ell +1)Y_{\ell m}}$${\displaystyle A_{\ell m}^{(1)}}$${\displaystyle A_{\ell m}^{(2)}}$${\displaystyle A_{\ell m}^{(2)}=0}$

$${\displaystyle ({\boldsymbol {\nabla }}^{2}+k^{2}){\boldsymbol {\Psi }}(\mathbf {x} )=-\mathbf {V} (\mathbf {x} )}$$

entonces la solución es:

$${\displaystyle \Psi _{\alpha }(\mathbf {x} )=\sum _{\beta }\int d^{3}\mathbf {x'} G_{\alpha \beta }(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )V_{\beta }(\mathbf {x'} )}$$

La función Green se puede expresar en armónicos esféricos vectoriales.

$${\displaystyle G_{\alpha \beta }(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }ikh_{\ell }^{(1)}(kr)j_{\ell }(kr')X_{\ell m\alpha }(\theta ,\phi )X_{\ell m\beta }^{*}(\theta ',\phi ')}$$

Nótese que es un operador diferencial que actúa sobre la función fuente . Por lo tanto, la solución de la ecuación de onda es: ${\textstyle \mathbf {X} _{\ell m}^{*}=Y_{\ell m}^{*}\mathbf {L} /{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}$${\displaystyle \mathbf {V} }$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\Psi }}(\mathbf {x} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\frac {ik}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )\int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {L'} \cdot \mathbf {V} (\mathbf {x'} )}$$

Aplicando la solución anterior a la ecuación de onda multipolar eléctrica

$${\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {H} (\mathbf {x} )=-\left[k^{2}\mathbf {M} (\mathbf {x} )+{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {J} (\mathbf {x} )+{\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {M} (\mathbf {x} ))\right]}$$

da la solución para el campo magnético: ^[5]

$${\displaystyle \mathbf {H} ^{(E)}(\mathbf {x} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }a_{\ell m}^{(E)}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )}$$ $${\displaystyle a_{\ell m}^{(E)}={\frac {ik}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}\int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {L'} \cdot \left[k^{2}\mathbf {M} (\mathbf {x'} )+{\boldsymbol {\nabla '}}\times \mathbf {J} (\mathbf {x'} )+{\boldsymbol {\nabla '}}({\boldsymbol {\nabla '}}\cdot \mathbf {M} (\mathbf {x'} ))\right]}$$

El campo eléctrico es:

$${\displaystyle \mathbf {E} ^{(E)}(\mathbf {x} )={\frac {iZ_{0}}{k}}{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {H} ^{(E)}(\mathbf {x} )}$$

La fórmula se puede simplificar aplicando las identidades

$${\displaystyle \mathbf {L} \cdot \mathbf {V} (\mathbf {x} )=i{\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {x} \times \mathbf {V} (\mathbf {x} ))}$$ $${\displaystyle \mathbf {L} \cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {V} (\mathbf {x} ))=i\nabla ^{2}(\mathbf {x} \cdot \mathbf {V} (\mathbf {x} ))-{\frac {i\partial }{r\partial r}}(r^{2}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {V} (\mathbf {x} ))}$$ $${\displaystyle \mathbf {L} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}s(\mathbf {x} )=0}$$

al integrando, lo que resulta en ^[5]

$${\displaystyle a_{\ell m}^{(E)}={\frac {-ik^{2}}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}\int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\left[-ik{\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {x'} \times \mathbf {M} (\mathbf {x'} ))-{\frac {i}{k}}\nabla ^{2}(\mathbf {x'} \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))-{\frac {c\partial }{r'\partial r'}}(r'^{2}\rho (\mathbf {x'} ))\right]}$$

El teorema de Green y la integración por partes manipulan la fórmula en

$${\displaystyle a_{\ell m}^{(E)}={\frac {-ik^{2}}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}\int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\left[-ik{\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {x'} \times \mathbf {M} (\mathbf {x'} ))+ik\mathbf {x'} \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} )\right]+cY_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\rho (\mathbf {x'} ){\frac {\partial }{\partial r'}}(r'j_{\ell }(kr'))}$$

La función de Bessel esférica también se puede simplificar asumiendo que la escala de longitud de radiación es mucho mayor que la escala de longitud de la fuente, lo que es cierto para la mayoría de las antenas. ${\displaystyle j_{\ell }(kr')}$

$${\displaystyle j_{\ell }(kr')={\frac {(kr')^{\ell }}{(2\ell +1)!!}}+{\mathcal {O}}((kr')^{\ell +2})}$$

Si se conservan únicamente los términos de orden más bajo, se obtiene la forma simplificada de los coeficientes multipolares eléctricos: ^[5]

$${\displaystyle a_{\ell m}^{(E)}={\frac {-ick^{\ell +2}}{(2\ell +1)!!}}\left({\frac {\ell +1}{\ell }}\right)^{1/2}[Q_{\ell m}+Q_{\ell m}']}$$ $${\displaystyle Q_{\ell m}=\int d^{3}\mathbf {x'} r'^{\ell }Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\rho (\mathbf {x'} )}$$ $${\displaystyle Q_{\ell m}'=-{\frac {ik}{c(\ell +1)}}\int d^{3}\mathbf {x'} r'^{\ell }Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi '){\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {x'} \times \mathbf {M} (\mathbf {x'} ))}$$

${\displaystyle Q_{\ell m}}$es lo mismo que el momento multipolar eléctrico en el caso estático si se aplicara a la distribución de carga estática, mientras que corresponde a un momento multipolar eléctrico inducido a partir de la magnetización intrínseca del material fuente. ${\displaystyle \rho (\mathbf {x} )}$${\displaystyle Q_{\ell m}'}$

Aplicando la solución anterior a la ecuación de onda multipolar magnética

$${\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {E} (\mathbf {x} )=-\left[ikZ_{0}\mathbf {J} (\mathbf {x} )+ikZ_{0}{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {M} (\mathbf {x} ))+{\frac {iZ_{0}}{k}}{\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} ))\right]}$$

da la solución para el campo eléctrico: ^[5]

$${\displaystyle \mathbf {E} ^{(M)}(\mathbf {x} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }a_{\ell m}^{(M)}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )}$$ $${\displaystyle a_{\ell m}^{(M)}={\frac {ik}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}\int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {L'} \cdot \left[ikZ_{0}\mathbf {J} (\mathbf {x} )+ikZ_{0}{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {M} (\mathbf {x} ))+{\frac {iZ_{0}}{k}}{\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} ))\right]}$$

El campo magnético es:

$${\displaystyle \mathbf {H} ^{(M)}(\mathbf {x} )=-{\frac {i}{kZ_{0}}}{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} ^{(M)}(\mathbf {x} )}$$

Como antes, la fórmula se simplifica a:

$${\displaystyle a_{\ell m}^{(M)}={\frac {-ik^{2}}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}\int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\left[{\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {x'} \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))-k^{2}\mathbf {x'} \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x'} )\right]+Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi '){\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {M} (\mathbf {x'} ){\frac {\partial }{\partial r'}}(r'j_{\ell }(kr'))}$$

Si se conservan únicamente los términos de orden más bajo, se obtiene la forma simplificada de los coeficientes multipolares magnéticos: ^[5]

$${\displaystyle a_{\ell m}^{(M)}={\frac {-ik^{\ell +2}}{(2\ell +1)!!}}\left({\frac {\ell +1}{\ell }}\right)^{1/2}[M_{\ell m}+M_{\ell m}']}$$ $${\displaystyle M_{\ell m}={\frac {1}{\ell +1}}\int d^{3}\mathbf {x'} r'^{\ell }Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi '){\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {x'} \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))}$$ $${\displaystyle M_{\ell m}'=\int d^{3}\mathbf {x'} r'^{\ell }Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi '){\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {M} (\mathbf {x'} )}$$

${\displaystyle M_{\ell m}}$es el momento multipolar magnético de la magnetización efectiva mientras que corresponde a la magnetización intrínseca . ${\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {J} (\mathbf {x} )/2}$${\displaystyle M_{\ell m}'}$${\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {x} )}$

Los campos multipolares eléctricos y magnéticos se combinan para dar los campos totales: ^[5] $${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)=\Re \left(\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left[a_{\ell m}^{(M)}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )+{\frac {iZ_{0}}{k}}a_{\ell m}^{(E)}{\boldsymbol {\nabla }}\times (h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi ))\right]e^{-i\omega t}\right)}$$ $${\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {x} ,t)=\Re \left(\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left[a_{\ell m}^{(E)}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )-{\frac {i}{kZ_{0}}}a_{\ell m}^{(M)}{\boldsymbol {\nabla }}\times (h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi ))\right]e^{-i\omega t}\right)}$$

Téngase en cuenta que la función radial se puede simplificar en el límite del campo lejano . ${\displaystyle h_{\ell }^{(1)}(kr)}$${\displaystyle 1/r\ll 1}$

$${\displaystyle h_{\ell }^{(1)}(kr)=(-i)^{\ell +1}{\frac {e^{ikr}}{kr}}+{\mathcal {O}}(1/r^{2})}$$

De esta forma se recupera la dependencia radial de la radiación.

• Expansión multipolar
• Armónicos esféricos
• Armónicos esféricos vectoriales
• Campo cercano y lejano
• Fórmula del cuadrupolo

^{[1] [2] [3] [4] [5] [6]}