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Articulo de referencia

Atractor de desplazamiento múltiple

Un atractor de Chen de doble espiral a partir de una simulación. En las matemáticas de los sistemas dinámicos , el atractor de doble espiral (a veces conocido como atractor de C...

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Un atractor de Chen de doble espiral a partir de una simulación.

En las matemáticas de los sistemas dinámicos , el atractor de doble espiral (a veces conocido como atractor de Chua ) es un atractor extraño observado en un circuito electrónico caótico físico (generalmente, el circuito de Chua ) con una única resistencia no lineal (véase el diodo de Chua ). El sistema de doble espiral se describe a menudo mediante un sistema de tres ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales y una ecuación lineal a trozos de tres segmentos (véanse las ecuaciones de Chua ). Esto hace que el sistema sea fácilmente simulado numéricamente y fácilmente manifestado físicamente debido al diseño simple de los circuitos de Chua.

Mediante un circuito de Chua, esta forma se visualiza en un osciloscopio utilizando las señales de salida X, Y y Z del circuito. Este atractor caótico se conoce como doble espiral debido a su forma en el espacio tridimensional, similar a dos anillos tipo Saturno conectados por líneas sinuosas.

El atractor se observó por primera vez en simulaciones y luego se materializó físicamente después de que Leon Chua inventara el circuito caótico autónomo conocido como el circuito de Chua. [ 1 ] Se demostró rigurosamente que el atractor de doble espiral del circuito de Chua era caótico [ 2 ] mediante una serie de mapas de retorno de Poincaré del atractor, derivados explícitamente a través de composiciones de los autovectores del espacio de estados tridimensional. [ 3 ]

El análisis numérico del atractor de doble espiral ha demostrado que su estructura geométrica está compuesta por un número infinito de capas de tipo fractal. Cada sección transversal parece ser un fractal en todas las escalas. [ 4 ] Recientemente, también se ha informado del descubrimiento de atractores ocultos dentro de la doble espiral. [ 5 ]

En 1999, Guanrong Chen (陈关荣) y Ueta propusieron otro atractor caótico de doble espiral, llamado sistema de Chen o atractor de Chen. [ 6 ] [ 7 ]

Atractor de Chen

El sistema de Chen se define de la siguiente manera [ 7 ]

dincógnita(t)dt=a(y(t)−incógnita(t)){\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}=a(y(t)-x(t))}

dy(t)dt=(do−a)incógnita(t)−incógnita(t)z(t)+doy(t){\displaystyle {\frac {dy(t)}{dt}}=(ca)x(t)-x(t)z(t)+cy(t)}

dz(t)dt=incógnita(t)y(t)−bz(t){\displaystyle {\frac {dz(t)}{dt}}=x(t)y(t)-bz(t)}

Los gráficos del atractor de Chen se pueden obtener con el método de Runge-Kutta : [ 8 ]

Parámetros: a = 40, c = 28, b = 3

Condiciones iniciales: x(0) = -0,1, y(0) = 0,5, z(0) = -0,6

Otros atractores

Los atractores de múltiples desplazamientos, también llamados atractores de n desplazamientos, incluyen el atractor de Lu Chen, el atractor caótico de Chen modificado, el atractor de PWL Duffing, el atractor de Rabinovich Fabrikant y el atractor caótico de Chua modificado; es decir, múltiples desplazamientos en un solo atractor. [ 9 ]

Atractor de Lu Chen

Atractor de Lu Chen

Jinhu Lu (吕金虎) y Guanrong Chen propusieron un sistema Chen extendido con desplazamiento múltiple [ 9 ].

Ecuación del sistema de Lu Chen

dincógnita(t)dt=a(y(t)−incógnita(t)){\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}=a(y(t)-x(t))}

dy(t)dt=incógnita(t)−incógnita(t)z(t)+doy(t)+tú{\displaystyle {\frac {dy(t)}{dt}}=x(t)-x(t)z(t)+cy(t)+u}

dz(t)dt=incógnita(t)y(t)−bz(t){\displaystyle {\frac {dz(t)}{dt}}=x(t)y(t)-bz(t)}

Parámetros: a = 36, c = 20, b = 3, u = -15.15

Condiciones iniciales: x(0) = 0.1, y(0) = 0.3, z(0) = -0.6

Atractor de Lu Chen modificado

Atractor de Lu Chen modificado

Ecuaciones del sistema: [ 9 ]

dincógnita(t)dt=a(y(t)−incógnita(t)),{\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}=a(y(t)-x(t)),}

dy(t)dt=(do−a)incógnita(t)−incógnita(t)F+doy(t),{\displaystyle {\frac {dy(t)}{dt}}=(ca)x(t)-x(t)f+cy(t),}

dz(t)dt=incógnita(t)y(t)−bz(t){\displaystyle {\frac {dz(t)}{dt}}=x(t)y(t)-bz(t)}

En el cual

F=d0z(t)+d1z(t−τ)−d2pecado⁡(z(t−τ)){\displaystyle f=d0z(t)+d1z(t-\tau )-d2\sin(z(t-\tau ))}

parámetros  := a = 35, c = 28, b = 3, d0 = 1, d1 = 1, d2 = -20..20, tau = .2

initv  := x(0) = 1, y(0) = 1, z(0) = 14

Atractor caótico de Chua modificado

Atractor de Chua

En 2001, Tang et al. propusieron un sistema caótico de Chua modificado [ 10 ].

dincógnita(t)dt=α(y(t)−h){\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}=\alpha (y(t)-h)}

dy(t)dt=incógnita(t)−y(t)+z(t){\displaystyle {\frac {dy(t)}{dt}}=x(t)-y(t)+z(t)}

dz(t)dt=−βy(t){\displaystyle {\frac {dz(t)}{dt}}=-\beta y(t)}

En el cual

h:=−bpecado⁡(πincógnita(t)2a+d){\displaystyle h:=-b\sin \left({\frac {\pi x(t)}{2a}}+d\right)}

parámetros  := alfa = 10.82, beta = 14.286, a = 1.3, b = .11, c = 7, d = 0

initv  := x(0) = 1, y(0) = 1, z(0) = 0

Atractor caótico de PWL Duffing

Atractor de Duffing PWL

Aziz Alaoui investigó la ecuación de Duffing de PWL en 2000: [ 11 ]

Sistema de Duffing PWL:

dincógnita(t)dt=y(t){\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}=y(t)}

dy(t)dt=−metro1incógnita(t)−(1/2(metro0−metro1))(|incógnita(t)+1|−|incógnita(t)−1|)−miy(t)+γporque⁡(ωt){\displaystyle {\frac {dy(t)}{dt}}=-m_{1}x(t)-(1/2(m_{0}-m_{1}))(|x(t)+1|-|x(t)-1|)-ey(t)+\gamma \cos(\omega t)}

params  := e = .25, gamma = .14+(1/20)i, m0 = -0.845e-1, m1 = .66, omega = 1; c  := (.14+(1/20)i)，i=-25...25;

initv  := x(0) = 0, y(0) = 0;

Sistema caótico de Lorenz modificado

Sistema Lorenz modificado

Miranda y Stone propusieron un sistema Lorenz modificado: [ 12 ]

dincógnita(t)dt=1/3∗(−(a+1)incógnita(t)+a−do+z(t)y(t))+((1−a)(incógnita(t)2−y(t)2)+(2(a+do−z(t)))incógnita(t)y(t)){\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}=1/3*(-(a+1)x(t)+a-c+z(t)y(t))+((1-a)(x(t)^{2}-y(t)^{2})+(2(a+cz(t)))x(t)y(t))}13incógnita(t)2+y(t)2{\displaystyle {\frac {1}{3{\sqrt {x(t)^{2}+y(t)^{2}}}}}}

dy(t)dt=1/3((do−a−z(t))incógnita(t)−(a+1)y(t))+((2(a−1))incógnita(t)y(t)+(a+do−z(t))(incógnita(t)2−y(t)2)){\displaystyle {\frac {dy(t)}{dt}}=1/3((caz(t))x(t)-(a+1)y(t))+((2(a-1))x(t)y(t)+(a+cz(t))(x(t)^{2}-y(t)^{2}))}13incógnita(t)2+y(t)2{\displaystyle {\frac {1}{3{\sqrt {x(t)^{2}+y(t)^{2}}}}}}

dz(t)dt=1/2(3incógnita(t)2y(t)−y(t)3)−bz(t){\displaystyle {\frac {dz(t)}{dt}}=1/2(3x(t)^{2}y(t)-y(t)^{3})-bz(t)}

parámetros: a = 10, b = 8/3, c = 137/5;

Condiciones iniciales: x(0) = -8, y(0) = 4, z(0) = 10

Referencias

  1. ↑ Matsumoto, Takashi (diciembre de 1984). "Un atractor caótico del circuito de Chua" (PDF) . IEEE Transactions on Circuits and Systems . CAS-31 (12). IEEE : 1055–1058 . doi : 10.1109/TCS.1984.1085459 .
  2. ↑ Chua, Leon; Motomasa Komoru; Takashi Matsumoto (noviembre de 1986). "La familia de doble desplazamiento" (PDF) . IEEE Transactions on Circuits and Systems . CAS-33 (11).
  3. ↑ Chua, Leon (2007). "Circuitos de Chua" . Scholarpedia . 2 (10): 1488. Bibcode : 2007SchpJ...2.1488C . doi : 10.4249/scholarpedia.1488 .
  4. ↑ Chua, Leon (2007). "Geometría fractal del atractor de doble espiral" . Scholarpedia . 2 (10): 1488. Bibcode : 2007SchpJ...2.1488C . doi : 10.4249/scholarpedia.1488 .
  5. ↑ Leonov GA; Vagaitsev VI; Kuznetsov NV (2011). "Localización de atractores ocultos de Chua" (PDF) . Physics Letters A. 375 ( 23): 2230– 2233. Bibcode : 2011PhLA..375.2230L . doi : 10.1016/j.physleta.2011.04.037 .
  6. ↑ Chen G., Ueta T. Otro atractor caótico. Journal of Bifurcation and Chaos, 1999 9:1465.
  7. 1 2 CHEN, GUANRONG; UETA, TETSUSHI (julio de 1999). "Otro atractor caótico más" . Revista Internacional de Bifurcación y Caos . 09 (7): 1465– 1466. Bibcode : 1999IJBC....9.1465C . doi : 10.1142/s0218127499001024 . ISSN 0218-1274 . 
  8. ↑阎振亚著 《复杂非线性波的构造性理论及其应用》第17页 SCIENCEP 2007年
  9. 1 2 3 Chen, Guanrong; Jinhu Lu (2006). "Generación de atractores caóticos de múltiples espirales: teorías, métodos y aplicaciones" (PDF) . Revista Internacional de Bifurcación y Caos . 16 (4): 775– 858. Bibcode : 2006IJBC...16..775L . doi : 10.1142/s0218127406015179 . Recuperado el 16 de febrero de 2012 .
  10. ↑ Chen, Guanrong; Jinhu Lu (2006). "Generación de atractores caóticos de múltiples espirales: teorías, métodos y aplicaciones" (PDF) . Revista Internacional de Bifurcación y Caos . 16 (4): 793– 794. Bibcode : 2006IJBC...16..775L . CiteSeerX 10.1.1.927.4478 . doi : 10.1142/s0218127406015179 . Recuperado el 16 de febrero de 2012 . 
  11. ↑ J. Lu, G. Chen pág. 837
  12. ↑ J. Liu y G. Chen pág. 834
  • El atractor de doble espiral y el circuito de Chua
  • Lozi, R.; Pchelintsev, AN (2015). "Un nuevo método numérico fiable para calcular soluciones caóticas de sistemas dinámicos: el caso del atractor de Chen" . International Journal of Bifurcation and Chaos . 25 (13): 1550187– 1550412. Bibcode : 2015IJBC...2550187L . doi : 10.1142/S0218127415501874 . S2CID 12339358 . 
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