Integrador multisimpléctico

En matemáticas , un integrador multisimpléctico es un método numérico para la solución de una clase específica de ecuaciones diferenciales parciales , denominadas multisimplécticas. Los integradores multisimplécticos son integradores geométricos , lo que significa que preservan la geometría de los problemas; en particular, el método numérico conserva la energía y el momento en cierto sentido, de forma similar a la propia ecuación diferencial parcial. Ejemplos de integradores multisimplécticos incluyen el esquema de la caja de Euler y el esquema de la caja de Preissman.

Se dice que una ecuación diferencial parcial (EDP) es una ecuación multisimpléctica si se puede escribir en la forma $${\displaystyle Kz_{t}+Lz_{x}=\nabla S(z),}$$ dónde${\displaystyle z(t,x)}$es lo desconocido,${\displaystyle K}$y${\displaystyle L}$son matrices antisimétricas (constantes) y${\displaystyle \nabla S}$denota el gradiente de${\displaystyle S}$. ^{[ 1 ]} Esta es una generalización natural de${\displaystyle Jz_{t}=\nabla H(z)}$, la forma de una EDO hamiltoniana . ^{[ 2 ]}

Entre los ejemplos de EDP multisimplécticas se incluye la ecuación no lineal de Klein-Gordon.${\displaystyle u_{tt}-u_{xx}=V'(u)}$, o más generalmente la ecuación de onda no lineal${\displaystyle u_{tt}=\partial _{x}\sigma '(u_{x})-f'(u)}$, ^{[ 3 ]} y la ecuación de KdV${\displaystyle u_{t}+uu_{x}+u_{xxx}=0}$. ^{[ 4 ]}

Defina las 2-formas${\displaystyle \omega }$y${\displaystyle \kappa }$por $${\displaystyle \omega (u,v)=\langle Ku,v\rangle \quad {\text{y}}\quad \kappa (u,v)=\langle Lu,v\rangle }$$ dónde${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle }$denota el producto escalar . La ecuación diferencial conserva la simplécticidad en el sentido de que ^{[ 5 ] [ 6 ]}$${\displaystyle \partial _{t}\omega +\partial _{x}\kappa =0.}$$ Tomando el producto escalar de la EDP con${\displaystyle u_{t}}$produce la ley de conservación local para la energía: ^{[ 7 ]}$${\displaystyle \partial _{t}E(u)+\partial _{x}F(u)=0}$$ dónde $${\displaystyle {\begin{aligned}E(u)&=S(u)-{\tfrac {1}{2}}\kappa (u_{x},u),\\[1ex]F(u)&={\tfrac {1}{2}}\kappa (u_{t},u).\end{aligned}}}$$ La ley de conservación local para el momento se deriva de manera similar: ^{[ 7 ]}$${\displaystyle \partial _{t}I(u)+\partial _{x}G(u)=0}$$ dónde $${\displaystyle {\begin{aligned}I(u)&={\tfrac {1}{2}}\omega (u_{x},u),\\[1ex]G(u)&=S(u)-{\tfrac {1}{2}}\omega (u_{t},u).\end{aligned}}}$$

Un integrador multisimpléctico es un método numérico para resolver EDP multisimplécticas cuya solución numérica conserva una forma discreta de simplécticidad. ^{[ 8 ]} Un ejemplo es el esquema de la caja de Euler, que se deriva aplicando el método de Euler simpléctico a cada variable independiente. ^{[ 9 ]}

El esquema de la caja de Euler utiliza una división de las matrices antisimétricas.${\displaystyle K}$y${\displaystyle L}$del formulario: $${\displaystyle {\begin{aligned}K&=K_{+}+K_{-}&{\text{con}}&&K_{-}&=-K_{+}^{T},\\L&=L_{+}+L_{-}&{\text{con}}&&L_{-}&=-L_{+}^{T}.\end{aligned}}}$$ Por ejemplo, uno puede tomar${\displaystyle K_{+}}$y${\displaystyle L_{+}}$ser la parte triangular superior de${\displaystyle K}$y${\displaystyle L}$, respectivamente. ^{[ 10 ]}

Ahora introduzca una cuadrícula uniforme y deje que${\displaystyle u_{n,i}}$denotamos la aproximación a${\displaystyle u(n\Delta {t},i\Delta {x})}$dónde${\displaystyle \Delta {t}}$y${\displaystyle \Delta {x}}$son el espaciado de la cuadrícula en la dirección del tiempo y del espacio. Entonces el esquema de la caja de Euler es $${\displaystyle K_{+}\partial _{t}^{+}u_{n,i}+K_{-}\partial _{t}^{-}u_{n,i}+L_{+}\partial _{x}^{+}u_{n,i}+L_{-}\partial _{x}^{-}u_{n,i}=\nabla {S}(u_{n,i})}$$ donde los operadores de diferencias finitas se definen en ^{[ 11 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{t}^{+}u_{n,i}&={\frac {u_{n+1,i}-u_{n,i}}{\Delta {t}}},&\partial _{x}^{+}u_{n,i}&={\frac {u_{n,i+1}-u_{n,i}}{\Delta {x}}},\\[1ex]\partial _{t}^{-}u_{n,i}&={\frac {u_{n,i}-u_{n-1,i}}{\Delta {t}}},&\partial _{x}^{-}u_{n,i}&={\frac {u_{n,i}-u_{n,i-1}}{\Delta {x}}}.\end{aligned}}}$$ El esquema de la caja de Euler es un método de primer orden, ^{[ 9 ]} que satisface la ley de conservación discreta ^{[ 12 ].}$${\displaystyle \partial _{t}^{+}\omega _{n,i}+\partial _{x}^{+}\kappa _{n,i}=0}$$ dónde $${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{n,i}&=\mathrm {d} u_{n,i-1}\wedge K_{+}\,\mathrm {d} u_{n,i}\\[1ex]\kappa _{n,i}&=\mathrm {d} u_{n-1,i}\wedge L_{+}\,\mathrm {d} u_{n,i}.\end{aligned}}}$$

Otro integrador multisimpléctico es el esquema de la caja de Preissman, introducido por Preissman en el contexto de las EDP hiperbólicas. ^{[ 13 ]} También se conoce como esquema de celda centrada. ^{[ 14 ]} El esquema de la caja de Preissman se puede derivar aplicando la regla del punto medio implícito , que es un integrador simpléctico, a cada una de las variables independientes. ^{[ 15 ]} Esto conduce al esquema $${\displaystyle K\partial _{t}^{+}u_{n,i+1/2}+L\partial _{x}^{+}u_{n+1/2,i}=\nabla {S}(u_{n+1/2,i+1/2}),}$$ donde los operadores de diferencias finitas${\displaystyle \partial _{t}^{+}}$y${\displaystyle \partial _{x}^{+}}$se definen como arriba y los valores en los semi-enteros se definen por ^{[ 15 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}u_{n,i+1/2}&={\frac {u_{n,i}+u_{n,i+1}}{2}},\\[1ex]u_{n+1/2,i}&={\frac {u_{n,i}+u_{n+1,i}}{2}},\\[1ex]u_{n+1/2,i+1/2}&={\frac {u_{n,i}+u_{n,i+1}+u_{n+1,i}+u_{n+1,i+1}}{4}}.\end{aligned}}}$$ El esquema de caja de Preissman es un integrador multisimpléctico de segundo orden que satisface la ley de conservación discreta ^{[ 16 ].}$${\displaystyle \partial _{t}^{+}\omega _{n,i}+\partial _{x}^{+}\kappa _{n,i}=0}$$ dónde $${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{n,i}&=\mathrm {d} u_{n,i+1/2}\wedge K\,\mathrm {d} u_{n,i+1/2}\\[1ex]\kappa _{n,i}&=\mathrm {d} u_{n+1/2,i}\wedge L\,\mathrm {d} u_{n+1/2,i}.\end{aligned}}}$$