Distribución de Pareto multivariada

Mardia (1962) ^{[ 3 ]} definió una distribución bivariada con función de distribución acumulativa (FDA) dada por

${\displaystyle F(x_{1},x_{2})=1-\sum _{i=1}^{2}\left({\frac {x_{i}}{\theta _{i}}}\right)^{-a}+\left(\sum _{i=1}^{2}{\frac {x_{i}}{\theta _{i}}}-1\right)^{-a},\qquad x_{i}>\theta _{i}>0,i=1,2;a>0,}$

y función de densidad conjunta

${\displaystyle f(x_{1},x_{2})=(a+1)a(\theta _{1}\theta _{2})^{a+1}(\theta _{2}x_{1}+\theta _{1}x_{2}-\theta _{1}\theta _{2})^{-(a+2)},\qquad x_{i}\geq \theta _{i}>0,i=1,2;a>0.}$

Las distribuciones marginales son de tipo Pareto 1 con funciones de densidad

${\displaystyle f(x_{i})=a\theta _{i}^{a}x_{i}^{-(a+1)},\qquad x_{i}\geq \theta _{i}>0,i=1,2.}$

Las medias y varianzas de las distribuciones marginales son

${\displaystyle E[X_{i}]={\frac {a\theta _{i}}{a-1}},a>1;\quad Var(X_{i})={\frac {a\theta _{i}^{2}}{(a-1)^{2}(a-2)}},a>2;\quad i=1,2,}$

y para a > 2, X ₁ y X ₂ están correlacionados positivamente con

${\displaystyle \operatorname {cov} (X_{1},X_{2})={\frac {\theta _{1}\theta _{2}}{(a-1)^{2}(a-2)}},{\text{ y }}\operatorname {cor} (X_{1},X_{2})={\frac {1}{a}}.}$

Arnold ^{[ 4 ]} sugiere representar la función de distribución acumulada complementaria bivariada de tipo I de Pareto mediante

${\displaystyle {\overline {F}}(x_{1},x_{2})=\left(1+\sum _{i=1}^{2}{\frac {x_{i}-\theta _{i}}{\theta _{i}}}\right)^{-a},\qquad x_{i}>\theta _{i},i=1,2.}$

Si se permite que el parámetro de ubicación y escala difieran, la función de distribución acumulativa complementaria es

${\displaystyle {\overline {F}}(x_{1},x_{2})=\left(1+\sum _{i=1}^{2}{\frac {x_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{-a},\qquad x_{i}>\mu _{i},i=1,2,}$

que tiene distribuciones marginales univariadas de Pareto de tipo II. Arnold denomina a esta distribución distribución de Pareto multivariada de tipo II . ^{[ 4 ]} (Esta definición no es equivalente a la distribución de Pareto bivariada de segundo tipo de Mardia). ^{[ 3 ]}

Para a > 1, las medias marginales son

${\displaystyle E[X_{i}]=\mu _{i}+{\frac {\sigma _{i}}{a-1}},\qquad i=1,2,}$

mientras que para a > 2, las varianzas, covarianzas y correlaciones son las mismas que para el Pareto multivariado de primer tipo.

La distribución de Pareto multivariada de primer tipo de Mardia ^{[ 3 ]} tiene la función de densidad de probabilidad conjunta dada por

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{k})=a(a+1)\cdots (a+k-1)\left(\prod _{i=1}^{k}\theta _{i}\right)^{-1}\left(\sum _{i=1}^{k}{\frac {x_{i}}{\theta _{i}}}-k+1\right)^{-(a+k)},\qquad x_{i}>\theta _{i}>0,a>0,\qquad (1)}$

Las distribuciones marginales tienen la misma forma que (1), y las distribuciones marginales unidimensionales tienen una distribución de Pareto de tipo I. La función de distribución acumulada complementaria es

${\displaystyle {\overline {F}}(x_{1},\dots ,x_{k})=\left(\sum _{i=1}^{k}{\frac {x_{i}}{\theta _{i}}}-k+1\right)^{-a},\qquad x_{i}>\theta _{i}>0,i=1,\dots ,k;a>0.\quad (2)}$

Las medias y varianzas marginales vienen dadas por

${\displaystyle E[X_{i}]={\frac {a\theta _{i}}{a-1}},{\text{ para }}a>1,{\text{ y }}Var(X_{i})={\frac {a\theta _{i}^{2}}{(a-1)^{2}(a-2)}},{\text{ para }}a>2.}$

Si a > 2 las covarianzas y correlaciones son positivas con

${\displaystyle \operatorname {cov} (X_{i},X_{j})={\frac {\theta _{i}\theta _{j}}{(a-1)^{2}(a-2)}},\qquad \operatorname {cor} (X_{i},X_{j})={\frac {1}{a}},\qquad i\neq j.}$

Arnold ^{[ 4 ]} sugiere representar la función de distribución acumulativa complementaria multivariada de tipo I de Pareto mediante

${\displaystyle {\overline {F}}(x_{1},\dots ,x_{k})=\left(1+\sum _{i=1}^{k}{\frac {x_{i}-\theta _{i}}{\theta _{i}}}\right)^{-a},\qquad x_{i}>\theta _{i}>0,\quad i=1,\dots ,k.}$

Si se permite que el parámetro de ubicación y escala difieran, la función de distribución acumulativa complementaria es

${\displaystyle {\overline {F}}(x_{1},\dots ,x_{k})=\left(1+\sum _{i=1}^{k}{\frac {x_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{-a},\qquad x_{i}>\mu _{i},\quad i=1,\dots ,k,\qquad (3)}$

que tiene distribuciones marginales del mismo tipo (3) y distribuciones marginales univariadas de Pareto de tipo II . Arnold denomina a esta distribución distribución de Pareto multivariada de tipo II . ^{[ 4 ]}

Para a > 1, las medias marginales son

${\displaystyle E[X_{i}]=\mu _{i}+{\frac {\sigma _{i}}{a-1}},\qquad i=1,\dots ,k,}$

mientras que para a > 2, las varianzas, covarianzas y correlaciones son las mismas que para el Pareto multivariado de primer tipo.

Un vector aleatorio X tiene una distribución de Pareto multivariada k -dimensional de cuarto tipo ^{[ 4 ]} si su función de supervivencia conjunta es

${\displaystyle {\overline {F}}(x_{1},\dots ,x_{k})=\left(1+\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {x_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{1/\gamma _{i}}\right)^{-a},\qquad x_{i}>\mu _{i},\sigma _{i}>0,i=1,\dots ,k;a>0.\qquad (4)}$

Las distribuciones marginales k _{1 dimensionales (} k ₁ < k ) son del mismo tipo que (4), y las distribuciones marginales unidimensionales son de tipo Pareto IV.

Un vector aleatorio X tiene una distribución de Feller-Pareto k -dimensional si

${\displaystyle X_{i}=\mu _{i}+(W_{i}/Z)^{\gamma _{i}},\qquad i=1,\dots ,k,\qquad (5)}$

dónde

${\displaystyle W_{i}\sim \Gamma (\beta _{i},1),\quad i=1,\dots ,k,\qquad Z\sim \Gamma (\alpha ,1),}$

son variables gamma independientes. ^{[ 4 ]} Las distribuciones marginales y las distribuciones condicionales son del mismo tipo (5); es decir, son distribuciones multivariadas de Feller-Pareto. Las distribuciones marginales unidimensionales son de tipo Feller-Pareto .