Multivector

_{Las propiedades de los} multivectores se pueden observar considerando el espacio vectorial bidimensional V = R² ^. Sean los vectores base e₁ y e₂ _, de modo que u y v vienen dados por

${\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2},\quad \mathbf {v} =v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2},}$

y el multivector u ∧ v , también llamado bivector, se calcula como

${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \ =\ {\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{2}&v_{2}\end{vmatrix}}\ (\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}).}$

Las barras verticales denotan el determinante de la matriz, que es el área del paralelogramo generado por los vectores u y v . La magnitud de u ∧ v es el área de este paralelogramo. Nótese que, dado que V tiene dimensión dos, el bivector base e 1 _∧ e 2 _es el único multivector en Λ V.

La relación entre la magnitud de un multivector y el área o volumen que abarca es una característica importante en todas las dimensiones. Además, la versión funcional lineal de un multivector que calcula este volumen se conoce como forma diferencial.

_{Se pueden observar más características de los} multivectores al considerar el espacio vectorial tridimensional V = R³ ^. En este caso, sean los vectores base e₁ , e₂ y e₃ _, de modo que _u , v y w vienen dados por

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} &=u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2}+u_{3}\mathbf {e} _{3},&\mathbf {v} &=v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2}+v_{3}\mathbf {e} _{3},&\mathbf {w} &=w_{1}\mathbf {e} _{1}+w_{2}\mathbf {e} _{2}+w_{3}\mathbf {e} _{3},\end{aligned}}}$

y el bivector u ∧ v se calcula como

${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \ =\ {\begin{vmatrix}u_{2}&v_{2}\\u_{3}&v_{3}\end{vmatrix}}\left(\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\right)+{\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{3}&v_{3}\end{vmatrix}}\left(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3}\right)+{\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{2}&v_{2}\end{vmatrix}}\left(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\right).}$

Los componentes de este bivector son los mismos que los componentes del producto vectorial. La magnitud de este bivector es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes.

Esto demuestra que la magnitud del bivector u ∧ v es el área del paralelogramo generado por los vectores u y v en el espacio tridimensional V. Las componentes del bivector son las áreas proyectadas del paralelogramo sobre cada uno de los tres planos coordenados.

Nótese que, como V tiene dimensión tres, hay un vector base tridimensional en Λ V . Calcule el vector base tridimensional.

${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \wedge \mathbf {w} \ =\ {\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}&w_{1}\\u_{2}&v_{2}&w_{2}\\u_{3}&v_{3}&w_{3}\end{vmatrix}}\left(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\right).}$

Esto demuestra que la magnitud del vector tridimensional u ∧ v ∧ w es el volumen del paralelepípedo generado por los tres vectores u , v y w .

En espacios de dimensiones superiores, los vectores tridimensionales componentes son proyecciones del volumen de un paralelepípedo sobre los tres espacios de coordenadas, y la magnitud del vector tridimensional es el volumen del paralelepípedo tal como se encuentra en el espacio de dimensiones superiores.

Los puntos en la componente afín E: z = 1 del plano proyectivo P ² tienen coordenadas x = ( x , y , 1) . Una combinación lineal de dos puntos p = ( p ₁ , p ₂ , 1) y q = ( q ₁ , q ₂ , 1) define un plano en R ³ que interseca a E en la línea que une p y q . El multivector p ∧ q define un paralelogramo en R ³ dado por

${\displaystyle \mathbf {p} \wedge \mathbf {q} \ =\ (p_{2}-q_{2})(\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})+(p_{1}-q_{1})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3})+(p_{1}q_{2}-q_{1}p_{2})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}).}$

Nótese que la sustitución de α p + β q por p multiplica este multivector por una constante. Por lo tanto, las componentes de p ∧ q son coordenadas homogéneas para el plano que pasa por el origen de R ³ .

El conjunto de puntos x = ( x , y , 1) en la línea que pasa por p y q es la intersección del plano definido por p ∧ q con el plano E: z = 1 . Estos puntos satisfacen x ∧ p ∧ q = 0 , es decir,

${\displaystyle \mathbf {x} \wedge \mathbf {p} \wedge \mathbf {q} \ =\ (x\mathbf {e} _{1}+y\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3})\wedge {\big (}(p_{2}-q_{2})(\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})+(p_{1}-q_{1})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3})+(p_{1}q_{2}-q_{1}p_{2})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}){\big )}=0,}$

que se simplifica a la ecuación de una línea

${\displaystyle \lambda :x(p_{2}-q_{2})+y(p_{1}-q_{1})+(p_{1}q_{2}-q_{1}p_{2})=0.}$

Esta ecuación se satisface en los puntos x = α p + β q para valores reales de α y β.

Las tres componentes de p ∧ q que definen la recta λ se denominan coordenadas de Grassmann de la recta. Dado que tres coordenadas homogéneas definen tanto un punto como una recta, se dice que la geometría de los puntos es dual a la geometría de las rectas en el plano proyectivo. Esto se conoce como el principio de dualidad .

El espacio proyectivo tridimensional P ³ consta de todas las líneas que pasan por el origen de R ⁴ . Sea el hiperplano tridimensional, H: w = 1 , la componente afín del espacio proyectivo definida por los puntos x = ( x , y , z , 1) . El multivector p ∧ q ∧ r define un paralelepípedo en R ⁴ dado por

${\displaystyle \mathbf {p} \wedge \mathbf {q} \wedge \mathbf {r} ={\begin{vmatrix}p_{2}&q_{2}&r_{2}\\p_{3}&q_{3}&r_{3}\\1&1&1\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}&r_{1}\\p_{3}&q_{3}&r_{3}\\1&1&1\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}&r_{1}\\p_{2}&q_{2}&r_{2}\\1&1&1\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}&r_{1}\\p_{2}&q_{2}&r_{2}\\p_{3}&q_{3}&r_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}.}$

Nótese que la sustitución de α p + β q + γ r por p multiplica este multivector por una constante. Por lo tanto, las componentes de p ∧ q ∧ r son coordenadas homogéneas para el espacio tridimensional que pasa por el origen de R ⁴ .

Un plano en la componente afín H: w = 1 es el conjunto de puntos x = ( x , y , z , 1) en la intersección de H con el espacio tridimensional definido por p ∧ q ∧ r . Estos puntos satisfacen x ∧ p ∧ q ∧ r = 0 , es decir,

${\displaystyle \mathbf {x} \wedge \mathbf {p} \wedge \mathbf {q} \wedge \mathbf {r} =(x\mathbf {e} _{1}+y\mathbf {e} _{2}+z\mathbf {e} _{3}+\mathbf {e} _{4})\wedge \mathbf {p} \wedge \mathbf {q} \wedge \mathbf {r} =0,}$

que se simplifica a la ecuación de un plano

${\displaystyle \lambda :x{\begin{vmatrix}p_{2}&q_{2}&r_{2}\\p_{3}&q_{3}&r_{3}\\1&1&1\end{vmatrix}}+y{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}&r_{1}\\p_{3}&q_{3}&r_{3}\\1&1&1\end{vmatrix}}+z{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}&r_{1}\\p_{2}&q_{2}&r_{2}\\1&1&1\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}&r_{1}\\p_{2}&q_{2}&r_{2}\\p_{3}&q_{3}&r_{3}\end{vmatrix}}=0.}$

Esta ecuación es satisfecha por los puntos x = α p + β q + γ r para valores reales de α , β y γ .

Las cuatro componentes de p ∧ q ∧ r que definen el plano λ se denominan coordenadas de Grassmann del plano. Dado que cuatro coordenadas homogéneas definen tanto un punto como un plano en el espacio proyectivo, la geometría de los puntos es dual a la geometría de los planos.

Una línea como unión de dos puntos: En el espacio proyectivo, la línea λ que pasa por dos puntos p y q puede verse como la intersección del espacio afín H: w = 1 con el plano x = α p + β q en R ⁴ . El multivector p ∧ q proporciona coordenadas homogéneas para la línea.

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda$ :\mathbf {p} \wedge \mathbf {q} &=(p_{1}\mathbf {e} _{1}+p_{2}\mathbf {e} _{2}+p_{3}\mathbf {e} _ {3}+\mathbf {e} _{4})\wedge (q_{1}\mathbf {e} _{1}+q_{2}\mathbf {e} _{2}+q_{3}\mathbf {e} _{3}+\mathbf {e} _{4}),\\&={\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}\\1&1\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}p_{2}&q_{2}\\1&1\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}p_{3}&q_{3}\\1&1\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}\\&+{\begin{vmatrix}p_{2}&q_{2}\\p_{3}&q_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}+{\begin{vmatrix}p_{3}&q_{3}\\p_{1}&q_{1}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{3}\cuña\mathbf {e} _{1}+{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}\\p_{2}&q_{2}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}.\end{aligned}}}

Estas se conocen como coordenadas de Plücker de la línea, aunque también son un ejemplo de coordenadas de Grassmann.

Una línea como intersección de dos planos: Una línea μ en el espacio proyectivo también puede definirse como el conjunto de puntos x que forman la intersección de dos planos π y ρ definidos por multivectores de grado tres, por lo que los puntos x son las soluciones de las ecuaciones lineales.

${\displaystyle \mu$ :\mathbf {x} \wedge \pi =0,\mathbf {x} \wedge \rho =0.}

Para obtener las coordenadas de Plucker de la línea μ , mapee los multivectores π y ρ a sus coordenadas de punto duales usando el complemento derecho, denotado por una línea superior, como en ^{[ 9 ].}

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\overline {\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}}},\quad \mathbf {e} _{2}={\overline {\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{4}}},\quad \mathbf {e} _{3}={\overline {\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{4}}},\quad \mathbf {e} _{4}={\overline {\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}}},}$

entonces

${\displaystyle {\overline {\pi }}=\pi _{1}\mathbf {e} _{1}+\pi _{2}\mathbf {e} _{2}+\pi _{3}\mathbf {e} _{3}+\pi _{4}\mathbf {e} _{4},\quad {\overline {\rho }}=\rho _{1}\mathbf {e} _{1}+\rho _{2}\mathbf {e} _{2}+\rho _{3}\mathbf {e} _{3}+\rho _{4}\mathbf {e} _{4}.}$

Así pues, las coordenadas de Plücker de la línea μ vienen dadas por

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu$ :{\underline {{\overline {\pi }}\wedge {\overline {\rho }}}}&={\begin{vmatrix}\pi _{1}&\rho _{1}\\\pi _{4}&\rho _{4}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}+{\begin{vmatrix}\pi _{2}&\rho _{2}\\\pi _{4}&\rho _{4}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{1}+{\begin{vmatrix}\pi _{3}&\rho _{3}\\\pi _{4}&\rho _{4}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\\&+{\begin{vmatrix}\pi _{2}&\rho _{2}\\\pi _{3}&\rho _{3}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}\pi _{3}&\rho _{3}\\\pi _{1}&\rho _{1}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}\pi _{1}&\rho _{1}\\\pi _{2}&\rho _{2}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf{e} _{4},\end{aligned}}}

donde el subrayado denota el complemento izquierdo. El complemento izquierdo del producto exterior de los complementos derechos se llama producto anticuña, denotado por una cuña que apunta hacia abajo, lo que nos permite escribir${\displaystyle \mu =\pi \vee \rho .}$

Orientación definida por un conjunto ordenado de vectores.

La orientación invertida corresponde a negar el producto exterior.

Interpretación geométrica de elementos de grado n en un álgebra exterior real para n = 0 (punto con signo), 1 (segmento de línea dirigido o vector), 2 (elemento plano orientado), 3 (volumen orientado). El producto exterior de n vectores puede visualizarse como cualquier forma n- dimensional (p. ej. , n - paralelotopo , n - elipsoide ); con magnitud ( hipervolumen ) y orientación definida por la de su frontera ( n -1) -dimensional y en qué lado se encuentra el interior. ^{[ 20 ] [ 21 ]}

• Los vectores de orden 0 son escalares;
• Los vectores de orden 1 son vectores;
• Los 2-vectores son bivectores ;
• Los vectores ( n − 1) son pseudovectores ;
• Los n -vectores son pseudoescalares .

En presencia de una forma de volumen (como por ejemplo, un producto interno y una orientación), los pseudovectores y pseudoescalares pueden identificarse con vectores y escalares, lo cual es rutinario en el cálculo vectorial , pero sin una forma de volumen esto no se puede hacer sin realizar una elección arbitraria.

En el álgebra del espacio físico (el álgebra geométrica del espacio euclidiano tridimensional, utilizada como modelo del espaciotiempo (3+1)), la suma de un escalar y un vector se denomina paravector y representa un punto en el espaciotiempo (el vector el espacio, el escalar el tiempo).

Un bivector es un elemento del producto tensorial antisimétrico de un espacio tangente consigo mismo.

En álgebra geométrica , también, un bivector es un elemento de grado 2 (un 2-vector) resultante del producto exterior de dos vectores, y por lo tanto es geométricamente un área orientada , de la misma manera que un vector es un segmento de línea orientado. Si a y b son dos vectores, el bivector a ∧ b tiene

• una norma que es su área, dada por

  ${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \right\|=\left\|\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {b} \right\|\,\sin(\phi _{a,b})}$

• una dirección: el plano en el que se encuentra esa área, es decir, el plano determinado por a y b , siempre que sean linealmente independientes;
• una orientación (de dos), determinada por el orden en que se multiplican los vectores de origen.

Los bivectores están relacionados con los pseudovectores y se utilizan para representar rotaciones en álgebra geométrica.

Como los bivectores son elementos de un espacio vectorial Λ ² V (donde V es un espacio vectorial de dimensión finita con dim V = n ), tiene sentido definir un producto interno en este espacio vectorial de la siguiente manera. Primero, escribimos cualquier elemento F ∈ Λ ² V en términos de una base ( e _i ∧ e _j ) _{1 ≤ i < j ≤ n} de Λ ² V como

${\displaystyle F=F^{ab}\mathbf {e} _{a}\wedge \mathbf {e} _{b}\quad (1\leq a<b\leq n),}$

donde se utiliza la convención de suma de Einstein .

Ahora definamos una aplicación G  : Λ ² V × Λ ² V → R insistiendo en que

${\displaystyle G(F,H):=G_{abcd}F^{ab}H^{cd},}$

dónde${\displaystyle G_{abcd}}$son un conjunto de números.