Curva de Peano

Dos iteraciones de una curva de Peano

En geometría , la curva de Peano es el primer ejemplo de una curva que llena el espacio , descubierto por Giuseppe Peano en 1890. ^{[ 1 ]} La curva de Peano es una función continua y sobreyectiva del intervalo unitario al cuadrado unitario , aunque no es inyectiva . Peano se inspiró en un resultado anterior de Georg Cantor que demostraba que estos dos conjuntos tienen la misma cardinalidad . Debido a este ejemplo, algunos autores utilizan la expresión "curva de Peano" para referirse de forma más general a cualquier curva que llene el espacio. ^{[ 2 ]}

La curva de Peano se puede construir mediante una secuencia de pasos, donde${\displaystyle i}$El paso th construye un conjunto${\displaystyle S_{i}}$de cuadrados y una secuencia${\displaystyle P_{i}}$de los centros de los cuadrados, a partir del conjunto y la secuencia construidos en el paso anterior. Como caso base,${\displaystyle S_{0}}$consta de un único cuadrado unitario, y${\displaystyle P_{0}}$es la secuencia de un solo elemento que consiste en su punto central.

Al paso${\displaystyle i}$, cada cuadrado${\displaystyle s}$de${\displaystyle S_{i-1}}$está dividida en nueve cuadrados iguales más pequeños, y su punto central${\displaystyle c}$se reemplaza por una subsecuencia contigua de los centros de estos nueve cuadrados más pequeños. Esta subsecuencia se forma agrupando los nueve cuadrados más pequeños en tres columnas, ordenando los centros de forma contigua dentro de cada columna y luego ordenando las columnas de un lado del cuadrado al otro, de tal manera que la distancia entre cada par de puntos consecutivos en la subsecuencia sea igual a la longitud del lado de los cuadrados pequeños. Hay cuatro ordenaciones posibles de este tipo:

• Los tres centros de la izquierda de abajo hacia arriba, los tres centros del medio de arriba hacia abajo y los tres centros de la derecha de abajo hacia arriba.
• Los tres centros de la derecha de abajo hacia arriba, los tres centros del medio de arriba hacia abajo y los tres centros de la izquierda de abajo hacia arriba.
• Los tres centros de la izquierda de arriba a abajo, los tres centros del medio de abajo a arriba y los tres centros de la derecha de arriba a abajo.
• Los tres centros de la derecha de arriba a abajo, los tres centros del medio de abajo a arriba y los tres centros de la izquierda de arriba a abajo.

Entre estos cuatro ordenamientos, el de${\displaystyle s}$se elige de tal manera que la distancia entre el primer punto del ordenamiento y su predecesor en${\displaystyle P_{i}}$también es igual a la longitud del lado de los cuadrados pequeños. Si${\displaystyle c}$fue el primer punto en su ordenación, luego se elige el primero de estas cuatro ordenaciones para los nueve centros que reemplazan${\displaystyle c}$. ^{[ 3 ]}

La curva de Peano en sí misma es el límite de las curvas que pasan por las secuencias de centros cuadrados, como${\displaystyle i}$va hasta el infinito.

La curva de Peano que se muestra en la introducción se puede construir utilizando un sistema de Lindenmayer . Este sistema L se puede describir de la siguiente manera:

donde " F " significa "avanzar", "+" significa "girar 90° en el sentido de las agujas del reloj" y " − " significa "girar 90° en sentido contrario a las agujas del reloj". La imagen de la introducción muestra las imágenes de las tres primeras iteraciones de las reglas.

La curva que se muestra en la sección de "construcción" se construirá de la siguiente manera:

donde " F " significa "avanzar", "+" significa "girar 90° en el sentido de las agujas del reloj" y " − " significa "girar 90° en sentido contrario a las agujas del reloj". La imagen superior muestra las dos primeras iteraciones de la regla.

En la definición de la curva de Peano, es posible realizar algunos o todos los pasos haciendo que los centros de cada fila de tres cuadrados sean contiguos, en lugar de los centros de cada columna de cuadrados. Estas elecciones dan lugar a muchas variantes diferentes de la curva de Peano. ^{[ 3 ]}

Una variante de "raíz múltiple" de esta curva, con diferentes números de subdivisiones en diferentes direcciones, puede utilizarse para rellenar rectángulos de formas arbitrarias. ^{[ 4 ]}

La curva de Hilbert es una variante más sencilla de la misma idea, basada en subdividir los cuadrados en cuatro cuadrados más pequeños e iguales en lugar de en nueve cuadrados más pequeños e iguales.