Hispanopedia WikiEn matemáticas, el orden de Nambooripad [ 1 ] (también llamado orden parcial de Nambooripad ) es un cierto orden parcial natural en un semigrupo regular descubierto por KSS Nambooripad [ 2 ] a finales de los años setenta. Dado que el mismo orden parcial fue descubierto independientemente por Robert E Hartwig, [ 3 ] algunos autores se refieren a él como orden de Hartwig-Nambooripad . [ 4 ] Aquí, "natural" significa que el orden se define en términos de la operación sobre el semigrupo.
En general, el orden de Nambooripad en un semigrupo regular no es compatible con la multiplicación. Solo es compatible con la multiplicación si el semigrupo es pseudoinverso (localmente inverso).
Precursores
El orden parcial de Nambooripad es una generalización de un orden parcial conocido anteriormente en el conjunto de idempotentes en cualquier semigrupo . El orden parcial en el conjunto E de idempotentes en un semigrupo S se define de la siguiente manera: Para cualesquiera e y f en E , e ≤ f si y solo si e = ef = fe .
Vagner, en 1952, extendió esto a los semigrupos inversos de la siguiente manera: Para cualesquiera a y b en un semigrupo inverso S , a ≤ b si y solo si a = eb para algún idempotente e en S. En el semigrupo inverso simétrico , este orden coincide con la inclusión de transformaciones parciales consideradas como conjuntos. Este orden parcial es compatible con la multiplicación en ambos lados, es decir, si a ≤ b , entonces ac ≤ bc y ca ≤ cb para todo c en S.
Nambooripad extendió estas definiciones a los semigrupos regulares.
Definiciones (semigrupo regular)
El orden parcial en un semigrupo regular descubierto por Nambooripad puede definirse de varias maneras equivalentes. Tres de estas definiciones se presentan a continuación. Mitsch ha establecido la equivalencia de estas definiciones con otras. [ 5 ]
Definición (Nambooripad)
Sea S un semigrupo regular cualquiera y S 1 el semigrupo obtenido al adjuntar la identidad 1 a S . Para cualquier x en S sea R x la R-clase de Green de S que contiene a x . La relación R x ≤ R y definida por xS 1 ⊆ yS 1 es un orden parcial en la colección de R-clases de Green en S . Para a y b en S la relación ≤ definida por
- a ≤ b si y solo si R a ≤ R b y a = fb para alguna función idempotente f en R a
es un orden parcial en S. Este es un orden parcial natural en S.
Definición (Hartwig)
Para cualquier elemento a en un semigrupo regular S , sea V ( a ) el conjunto de inversos de a , es decir, el conjunto de todos los x en S tales que axa = a y xax = x . Para a y b en S, la relación ≤ definida por
- a ≤ b si y solo si a'a = a'b y aa' = ba' para algún a' en V ( a )
es un orden parcial en S. Este es un orden parcial natural en S.
Definición (Mitsch)
Para a y b en un semigrupo regular S, la relación ≤ definida por
- a ≤ b si y solo si a = xa = xb = by para algún elemento x e y en S
es un orden parcial en S. Este es un orden parcial natural en S.
Extensión a semigrupos arbitrarios (PR Jones)
Para a y b en un semigrupo arbitrario S , a ≤ J b si y solo si existen e , f idempotentes en S 1 tales que a = be = fb .
Esta es una relación reflexiva en cualquier semigrupo, y si S es regular, coincide con el orden de Nambooripad. [ 6 ]
Orden parcial natural de Mitsch
Mitsch generalizó aún más la definición del orden de Nambooripad a semigrupos arbitrarios. [ 7 ] [ 8 ]
La formulación más perspicaz del orden de Mitsch es la siguiente. Sean a y b dos elementos de un semigrupo arbitrario S. Entonces a ≤ M b si y solo si existen t y s en S 1 tales que tb = ta = a = as = bs .
En general, para un semigrupo arbitrario ≤ J es un subconjunto de ≤ M. Sin embargo, para los epigrupos , coinciden. Además, si b es un elemento regular de S (que no necesariamente tiene que ser todos regulares), entonces para cualquier a en S a ≤ J b si y solo si a ≤ M b. [ 6 ]
Véase también
Referencias
- ↑ Thomas Scott Blyth (2005). Retículos y estructuras algebraicas ordenadas . Springer. págs. 228–232 . ISBN 978-1-85233-905-0.
- ↑ KSS Nambooripad (1980). "El orden parcial natural en un semigrupo regular" . Actas de la Sociedad Matemática de Edimburgo . 23 (3): 249– 260. doi : 10.1017/s0013091500003801 .
- ↑ R. Hartwig (1980). "Cómo ordenar parcialmente elementos regulares". Mathematica Japonica . 25 (1): 1– 13.
- ↑ JB Hickey (2004). "Sobre la preservación de la regularidad en un semigrupo" . Boletín de la Sociedad Matemática Australiana . 69 : 69–86 . doi : 10.1017/s0004972700034274 .
- ↑ H. Mitsch (julio de 1986). "Un orden parcial natural para semigrupos" (PDF) . Actas de la Sociedad Matemática Americana . 97 (3): 384. doi : 10.1090/s0002-9939-1986-0840614-0 . Consultado el 11 de abril de 2011 .
- 1 2 Peter M. Higgins (1992). Técnicas de la teoría de semigrupos . Oxford University Press. págs. 46-48 . ISBN 978-0-19-853577-5.
- ↑ Peter M. Higgins (1994). "El orden de Mitsch en un semigrupo". Semigroup Forum . 49 (1): 261– 266. doi : 10.1007/BF02573488 .
- ↑ Mario Petrich (2001). "Ciertos órdenes parciales en semigrupos" (PDF) . Czechoslovak Mathematical Journal . 51 (2): 415– 432. doi : 10.1023/a:1013711417539 . hdl : 10338.dmlcz/127657 . Consultado el 11 de abril de 2011 .
- teoría de semigrupos