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El método de Napier es un dispositivo de cálculo manual creado por John Napier de Merchiston , Escocia, para el cálculo de productos y cocientes de números. El método se basaba en la multiplicación reticular y también se denominaba rabdología , palabra inventada por Napier. Napier publicó su versión en 1617. [ 1 ] Fue impreso en Edimburgo y dedicado a su mecenas Alexander Seton .
Utilizando las tablas de multiplicar integradas en las varillas, la multiplicación se reduce a sumas y la división a restas . Un uso avanzado de las varillas permite extraer raíces cuadradas . Los huesos de Napier no son lo mismo que los logaritmos , con los que también se asocia el nombre de Napier, sino que se basan en tablas de multiplicar disecadas.
El dispositivo completo suele incluir una base con un borde; el usuario coloca las varillas de Napier y el borde para realizar multiplicaciones o divisiones. El borde izquierdo de la base está dividido en nueve cuadrados, que contienen los números del 1 al 9. En el diseño original de Napier, las varillas son de metal, madera o marfil y tienen una sección transversal cuadrada. Cada varilla tiene grabada una tabla de multiplicar en cada una de sus cuatro caras. En algunos diseños posteriores, las varillas son planas y tienen grabadas dos tablas o solo una, y están hechas de plástico o cartón grueso . Un juego de estas varillas puede guardarse en un estuche.
La cara de una varilla está marcada con nueve cuadrados. Cada cuadrado, excepto el superior, está dividido en dos mitades por una línea diagonal que va desde la esquina inferior izquierda hasta la superior derecha. Los cuadrados contienen una tabla de multiplicar simple . El primero contiene un dígito , al que Napier llamó el «singular». Los demás contienen los múltiplos del simple, es decir, el doble del simple, el triple del simple, y así sucesivamente hasta el noveno cuadrado, que contiene nueve veces el número del cuadrado superior. Los números de un dígito se escriben en el triángulo inferior derecho, dejando el otro triángulo en blanco, mientras que los números de dos dígitos se escriben con un dígito a cada lado de la diagonal.
Si las tablas se sostienen en varillas de una sola cara, se necesitan 40 varillas para multiplicar números de cuatro dígitos; dado que los números pueden tener dígitos repetidos, se necesitan cuatro copias de la tabla de multiplicar para cada uno de los dígitos del 0 al 9. Si se utilizan varillas cuadradas, las 40 tablas de multiplicar se pueden inscribir en 10 varillas. Napier detalló un esquema para organizar las tablas de manera que ninguna varilla tenga dos copias de la misma tabla, lo que permite que cada posible número de cuatro dígitos esté representado por 4 de las 10 varillas. Un conjunto de 20 varillas, que consta de dos copias idénticas de las 10 varillas de Napier, permite realizar cálculos con números de hasta ocho dígitos, y un conjunto de 30 varillas se puede utilizar para números de 12 dígitos.
Multiplicación
La multiplicación más sencilla , entre un número de varias cifras y un número de una sola cifra, se realiza colocando las varillas que representan el número de varias cifras en el recuadro, contra el borde izquierdo. El resultado se lee en la fila correspondiente al número de una sola cifra, que está marcada a la izquierda del recuadro, y se requiere una pequeña suma, como se explica en los ejemplos a continuación.
Al multiplicar un número de varias cifras por otro, el número mayor se coloca sobre las varillas del marco. El dispositivo genera un resultado intermedio al multiplicarlo por cada una de las cifras del número menor. Estos resultados se anotan y el resultado final se calcula con lápiz y papel.
Para demostrar cómo utilizar los huesos de Napier para la multiplicación, a continuación se explican tres ejemplos de dificultad creciente.
Multiplicación por un número pequeño de una sola cifra.
El primer ejemplo calcula 425 × 6 .
Los huesos de Napier para 4, 2 y 5 se colocan en el tablero, en secuencia . Estos huesos muestran la cifra mayor que se multiplicará. Los números inferiores en cada columna, o hueso, son los dígitos que se encuentran en las tablas de multiplicar ordinarias para el entero correspondiente, ubicados encima y debajo de una línea diagonal. (Por ejemplo, los dígitos que se muestran en la séptima fila del hueso 4 son 2/8 , que representan 7 × 4 = 28 ). En el ejemplo siguiente para 425 × 6 , los huesos se representan como rojo (4), amarillo (2) y azul (5).
La columna de la izquierda, que precede a los huesos coloreados, puede representar el hueso 1. (Se debe entender que un espacio en blanco o un cero en la esquina superior izquierda de cada dígito, separado por una línea diagonal, significa que 1 × 1 = 01 , 1 × 2 = 02 , 1 × 3 = 03 , etc.). Se elige un número pequeño, generalmente del 2 al 9, para multiplicar el número grande. En este ejemplo, el número pequeño por el que se multiplica el mayor es 6. La fila horizontal donde se encuentra este número es la única necesaria para realizar los cálculos restantes y ahora puede considerarse de forma aislada.
Para el cálculo, los dígitos separados por líneas verticales (es decir, emparejados entre líneas diagonales, que pasan de un hueso al siguiente) se suman para formar los dígitos del producto. El último número (el de la derecha) de esa fila nunca requiere suma, ya que siempre está aislado por la última línea diagonal y siempre será el último dígito del producto. En este ejemplo, hay cuatro dígitos, puesto que hay cuatro grupos de valores óseos situados entre líneas diagonales. Los dígitos del producto se mostrarán en el orden calculado de izquierda a derecha. Excepto el primer y el último dígito, cada dígito del producto será la suma de dos valores tomados de dos huesos diferentes.
Los valores de los huesos se suman, como se describió anteriormente, para hallar los dígitos del producto. En este diagrama, el tercer dígito del producto de los huesos amarillo y azul tiene sus valores correspondientes en verde. Cada suma se escribe en el espacio inferior. La secuencia de sumas de izquierda a derecha produce la cifra de 2550. Por lo tanto, la solución de multiplicar 425 por 6 es 2550.
Multiplicación por un número de un solo dígito mayor
Al multiplicar por dígitos individuales grandes, es común que al agregar una columna diagonal, la suma de los números dé como resultado un número igual o mayor a 10.
El segundo ejemplo calcula 6785 × 8 .
Al igual que en el Ejemplo 1, los huesos correspondientes al número más grande se colocan en el tablero. En este ejemplo, los huesos 6, 7, 8 y 5 se colocaron en el orden correcto, como se muestra a continuación.
En la primera columna se encuentra el número por el cual se multiplica el número mayor. En este ejemplo, el número era 8. Solo se utilizará la fila 8 para los cálculos restantes, por lo que el resto del tablero se ha borrado para facilitar la explicación de los pasos siguientes.
Al igual que antes, se evalúa cada columna diagonal, comenzando por la derecha. Si la suma de una columna diagonal es igual o mayor a 10, la cifra de las decenas se traslada a la columna izquierda y se suma junto con los números de la columna adyacente, como se muestra a continuación.
Después de evaluar cada columna diagonal, los números calculados se leen de izquierda a derecha para obtener la respuesta final; en este ejemplo, se obtuvo 54280.
Por lo tanto: La solución para multiplicar 6785 por 8 es 54280.
Multiplicación por un número de varias cifras
El tercer ejemplo calcula 825 × 913 .
Los huesos que corresponden al número principal se colocan en el tablero. En este ejemplo, los huesos 8, 2 y 5 se colocaron en el orden correcto, como se muestra a continuación.
Para multiplicar por un número de varias cifras, se revisan varias filas. En este ejemplo, se han eliminado del tablero las filas correspondientes al 9, al 1 y al 3 para mayor claridad.
Cada fila se evalúa individualmente y cada columna diagonal se suma como se explicó en los ejemplos anteriores. Las sumas se leen de izquierda a derecha, lo que produce los números necesarios para los cálculos de suma a mano que siguen. En este ejemplo, las filas 9, 1 y 3 se evaluaron por separado para obtener los resultados que se muestran a continuación.
Comenzando con el dígito más a la derecha del segundo número, las sumas se colocan de las filas en orden secuencial, vistas de derecha a izquierda, una debajo de la otra, utilizando un 0 como marcador de posición.
2475 825 0 7425 00
Las filas y los marcadores de posición se suman para producir una respuesta final.
2475 8250 +742500 753225
En este ejemplo, el resultado final fue 753225. Por lo tanto: La solución para multiplicar 825 por 913 es 753225.
División
La división se realiza de manera similar. Para dividir 46785399 entre 96431, las barras del divisor (96431) se colocan en el tablero, como se muestra en el gráfico a continuación. Usando el ábaco , se encuentran todos los productos del divisor del 1 al 9 leyendo los números mostrados. Nótese que el dividendo tiene ocho dígitos, mientras que los productos parciales (excepto el primero) tienen seis. Por lo tanto, los dos últimos dígitos de 46785399, es decir, el '99', se ignoran temporalmente, dejando el número 467853. Luego, se encuentra el mayor producto parcial que sea menor que el dividendo truncado. En este caso, 385724. Se deben anotar dos cosas, como se ve en el diagrama: dado que 385724 está en la fila '4' del ábaco, se anota un '4' como el dígito más a la izquierda del cociente; el producto parcial, alineado a la izquierda, debajo del dividendo original, también se escribe. Se restan los dos términos, lo que da como resultado 8212999. Se repiten los mismos pasos: el número se trunca a seis dígitos, se elige el producto parcial inmediatamente menor que el número truncado, se escribe el número de fila como el siguiente dígito del cociente y se resta el producto parcial de la diferencia hallada en la primera repetición. El proceso se muestra en el diagrama. El ciclo se repite hasta que el resultado de la resta sea menor que el divisor. El número restante es el resto.
En este ejemplo, lo que queda es un cociente de 485 con un resto de 16364. El proceso suele terminar aquí y la respuesta utiliza la forma fraccionaria 485 + 16364 / 96431 .
Para mayor precisión, el ciclo se repite hasta encontrar la cantidad de decimales necesaria. Se coloca un punto decimal después del último dígito del cociente y se agrega un cero al resto, lo que resulta en 163640. El ciclo continúa, agregando un cero al resultado después de cada resta.
Extracción de raíces cuadradas
Para extraer la raíz cuadrada, se utiliza un hueso adicional que se diferencia de los demás porque tiene tres columnas. La primera columna contiene los primeros nueve números cuadrados, la segunda los primeros nueve números pares y la última los números del 1 al 9.
Para hallar la raíz cuadrada de 46785399, sus dígitos se agrupan de dos en dos comenzando desde la derecha, de manera que se ve así:
- 46 78 53 99
- Nota: Un número con una cantidad impar de dígitos, como 85399, se agruparía como 08 53 99.
Primero se elige el grupo de la izquierda, en este caso el 46. Se selecciona el cuadrado más grande del hueso de la raíz cuadrada menor que 46, que es el 36 de la sexta fila. El primer dígito de la solución es 6, ya que se eligió la sexta fila.
Luego, el número que se encuentra en la segunda columna de la sexta fila del hueso de la raíz cuadrada, el 12, se coloca en el tablero.
El valor de la primera columna de la sexta fila, 36, se resta de 46, lo que deja 10.
El siguiente grupo de dígitos, 78, se añade junto al 10; esto deja un resto de 1078.
En esta etapa, el tablero y los cálculos intermedios deberían verse así:
Los números de cada fila se "leen", ignorando la segunda y tercera columna del hueso de la raíz cuadrada; estas se registran. (Por ejemplo, la sexta fila se lee como: 0 ⁄ 6 1 ⁄ 2 3 ⁄ 6 → 756 ).
Como en la multiplicación mostrada anteriormente, los números se leen de derecha a izquierda y se suman los números diagonales de arriba a la derecha a abajo a la izquierda ( 6 + 0 = 6 ; 3 + 2 = 5 ; 1 + 6 = 7 ).
Se encuentra el número más grande menor que el resto actual, 1078 (de la octava fila).
Como antes, se agrega 8 para obtener el siguiente dígito de la raíz cuadrada y el valor de la octava fila, 1024, se resta del resto actual, 1078, para obtener 54. Se lee la segunda columna de la octava fila en el hueso de la raíz cuadrada, 16, y el número se coloca en el tablero de la siguiente manera.
El número actual en el tablero es 12. A 12 se le suma el primer dígito de 16, y al resultado se le añade el segundo dígito de 16. Por lo tanto, el tablero debe configurarse de la siguiente manera:
- 12 + 1 = 13 → agregar 6 → 136
- Nota: Si la segunda columna del hueso de raíz cuadrada tiene solo un dígito, este se añade al número actual en el tablero.
El tablero y los cálculos intermedios ahora se ven así.
Una vez más, se encuentra la fila con el mayor valor menor que el resto parcial actual, 5453. En esta ocasión, se trata de la tercera fila, con 4089.
El siguiente dígito de la raíz cuadrada es 3. Se repiten los mismos pasos y se resta 4089 del resto actual, 5453, para obtener 1364 como siguiente resto. Al reorganizar el tablero, la segunda columna de la raíz cuadrada es 6, un solo dígito. Por lo tanto, se añade 6 al número actual en el tablero, 136, para que quede 1366 en el tablero.
- 136 → añadir 6 → 1366
El proceso se repite. Ahora, el valor más grande en el tablero menor que el resto actual, 136499, es 123021 de la novena fila.
A menudo, no es necesario encontrar el valor de cada fila para obtener la respuesta. La fila que contiene la respuesta se puede intuir observando el número de los primeros huesos y comparándolo con los primeros dígitos del resto. Sin embargo, los diagramas muestran el valor de todas las filas para facilitar la comprensión.
Se añade 9 al resultado y se resta 123021 del resto actual.
Si se han utilizado todos los dígitos y queda un resto, entonces la parte entera está resuelta, pero aún queda por encontrar un bit fraccionario.
Si se resuelve la parte entera, el resultado actual al cuadrado ( 6839² = 46771921 ) debe ser el cuadrado perfecto más grande menor que 46785899.
Esta idea se utiliza más adelante para comprender cómo funciona la técnica, pero se pueden generar más dígitos.
De forma similar a como se halla la parte fraccionaria en la división larga , se añaden dos ceros al resto para obtener el nuevo resto 1347800. La segunda columna de la novena fila de la raíz cuadrada es 18 y el número actual en el tablero es 1366.
- 1366 + 1 → 1367 → añadir 8 → 13678
se calcula para establecer 13678 en el tablero.
El tablero y los cálculos intermedios ahora se ven así.
La novena fila con 1231101 es el valor más grande menor que el resto, por lo que el primer dígito de la parte fraccionaria de la raíz cuadrada es 9.
El valor de la novena fila se resta del resto y se agregan algunos ceros más para obtener el nuevo resto 11669900. La segunda columna de la novena fila es 18 con 13678 en el tablero, por lo que
- 13678 + 1 → 13679 → agregar 8 → 136798
se calcula para establecer 136798 en el tablero.
Los pasos pueden repetirse hasta encontrar tantos dígitos como sean necesarios y hasta alcanzar la precisión requerida. Si el resto es cero, significa que se ha hallado la raíz cuadrada exacta.
Redondeando
Una vez hallado el número de dígitos deseado, es fácil determinar si es necesario redondear al alza; es decir, cambiar el último dígito. No es necesario hallar otro dígito para comprobar si es igual o mayor que 5. Se añade 25 a la raíz y se compara con el resto; si es menor o igual que el resto, entonces el siguiente dígito será al menos cinco y es necesario redondear al alza. En el ejemplo anterior, 6839925 es menor que 11669900, por lo que la raíz debe redondearse a 6840,0.
Para hallar la raíz cuadrada de un número que no es entero, por ejemplo 54782.917, todo es igual, excepto que los dígitos a la izquierda y a la derecha del punto decimal se agrupan de dos en dos.
Entonces 54782.917 se agruparía como
- 05 47 82.91 70
Luego, la raíz cuadrada se puede calcular utilizando el proceso mencionado anteriormente.
Modificación diagonal
Durante el siglo XIX, los huesos de Napier se modificaron para facilitar su lectura. Las varillas se fabricaron con un ángulo de aproximadamente 65° para que los triángulos que debían sumarse quedaran alineados. En este caso, en cada cuadrado de la varilla, la unidad se ubica a la derecha y la decena (o el cero) a la izquierda.
Las varillas se fabricaron de tal manera que las líneas verticales y horizontales fueran más visibles que la línea donde las varillas se tocaban, lo que facilita la lectura de los dos componentes de cada dígito del resultado. Por lo tanto, en la imagen se aprecia inmediatamente que:
- 987654321 × 5 = 4938271605
Gobernantes Genaille-Lucas
En 1891, Henri Genaille inventó una variante de los huesos de Napier que se conoció como reglas de Genaille-Lucas . Al representar gráficamente el acarreo , los resultados de problemas de multiplicación simples se pueden leer directamente, sin cálculos mentales intermedios. [ 2 ]
El siguiente ejemplo calcula 52749 × 4 = 210996 .
Véase también
Referencias
Enlaces externos
Contenido multimedia relacionado con los huesos de Napier en Wikimedia Commons.- Implementación de demostración de Wolfram de huesos de Napier en varios sistemas numéricos en Cut-the-Nut
- Napier y otros huesos y muchas calculadoras
- Calculadoras mecánicas
- Inventos escoceses
- Multiplicación