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El teorema de Napoleón

Teorema de Napoleón: Si los triángulos centrados en L, M y N son equiláteros, entonces el triángulo verde también lo es. En geometría , el teorema de Napoleón establece que si s...

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Teorema de Napoleón: Si los triángulos centrados en L, M y N son equiláteros, entonces el triángulo verde también lo es.

En geometría , el teorema de Napoleón establece que si se construyen triángulos equiláteros sobre los lados de cualquier triángulo , ya sea todos hacia afuera o todos hacia adentro, las líneas que conectan los centros de esos triángulos equiláteros forman a su vez un triángulo equilátero.

El triángulo así formado se denomina triángulo de Napoleón interior o exterior . La diferencia entre las áreas de los triángulos de Napoleón exterior e interior es igual al área del triángulo original.

El teorema se atribuye a menudo a Napoleón Bonaparte (1769-1821). Según Howard Eves , el teorema y un problema de construcción que lleva el nombre de Napoleón fueron descubiertos por su amigo y consejero Lorenzo Mascheroni (1750-1800), quien permitió que el Emperador los reclamara para sí. [ 1 ] Algunos han sugerido que puede remontarse a la pregunta de W. Rutherford de 1825 publicada en The Ladies' Diary , cuatro años después de la muerte del emperador francés, [ 2 ] [ 3 ] pero el resultado está cubierto en tres preguntas de un examen para una medalla de oro en la Universidad de Dublín en octubre de 1820, mientras que Napoleón murió en mayo del año siguiente.

Pruebas

En la figura anterior, △ ABC es el triángulo original. △ AZB , △ BXC y △ CYA son triángulos equiláteros construidos sobre sus lados exteriores, y los puntos L, M y N son los centroides de dichos triángulos. El teorema para triángulos exteriores establece que el triángulo △ LMN ( en verde ) es equilátero.

Una forma rápida de ver que △ LMN es equilátero es observar que MN se convierte en CZ bajo una rotación en sentido horario de 30° alrededor de A y una homotecia de razón ⁠3{\displaystyle {\sqrt {3}}}con el mismo centro, y que LN también se convierte en CZ después de una rotación en sentido contrario a las agujas del reloj de 30° alrededor de B y una homotecia de razón3{\displaystyle {\sqrt {3}}}con el mismo centro. Las similitudes espirales respectivas [ 4 ] sonA(3,−30∘), B(3,30∘).{\displaystyle A({\sqrt {3}},-30^{\circ }),\ B({\sqrt {3}},30^{\circ }).}⁠ Eso implica que MN = LN y que el ángulo entre ellos debe ser de 60°. [ 5 ]

De hecho, existen muchas demostraciones del enunciado del teorema, incluyendo una sintética (sin coordenadas) , [ 6 ] una trigonométrica , [ 7 ] un enfoque basado en la simetría , [ 8 ] y demostraciones que utilizan números complejos . [ 7 ] [ 9 ]

Fondo

Extracto del Diario de Damas de 1826 que ofrece demostraciones geométricas y analíticas.

El teorema se ha atribuido con frecuencia a Napoleón, pero se han escrito varios artículos sobre este tema [ 10 ] [ 11 ] que ponen en duda esta afirmación (véase ( Grünbaum 2012 ) ).

La siguiente entrada apareció en la página 47 del Diario de las Damas de 1825 (a finales de 1824, aproximadamente un año después de la compilación de los exámenes de Dublín). Se trata de una de las primeras publicaciones impresas del teorema de Napoleón, y no se menciona su nombre.

VII. Quest.(1439); por el Sr. W. Rutherford, Woodburn.

"Describe triángulos equiláteros (con vértices orientados hacia afuera o hacia adentro) sobre los tres lados de cualquier triángulo ABC : entonces , las líneas que unen los centros de gravedad de esos tres triángulos equiláteros constituirán un triángulo equilátero. Se requiere una demostración."

Dado que William Rutherford era un matemático muy capaz , se desconoce su motivo para solicitar la demostración de un teorema que sin duda podría haber demostrado él mismo. Quizás planteó la pregunta como un reto para sus colegas, o tal vez esperaba que las respuestas arrojaran una solución más elegante. Sin embargo, al leer los sucesivos números del Ladies' Diary en la década de 1820, queda claro que el editor pretendía incluir cada año una variedad de preguntas, algunas adecuadas para principiantes.

Claramente no hay ninguna referencia a Napoleón ni en la pregunta ni en las respuestas publicadas, que aparecieron un año después, en 1826, aunque el editor evidentemente omitió algunas contribuciones. Además, el propio Rutherford no aparece entre los autores de las soluciones impresas, aunque por el recuento de unas páginas anteriores es evidente que sí envió una solución, al igual que varios de sus alumnos y asociados en la Escuela Woodburn, incluyendo la primera de las soluciones publicadas. De hecho, el Grupo de Resolución de Problemas de Woodburn, como podría conocerse hoy, era suficientemente conocido para entonces como para aparecer en A Historical, Geographical, and Descriptive View of the County of Northumberland ... (2.ª ed., vol. II, págs.  123-124). Se creía que la primera referencia conocida a este resultado como el teorema de Napoleón aparece en la 17.ª edición de Elementi di Geometria de Faifofer , publicada en 1911, [ 12 ] aunque Faifofer sí menciona a Napoleón en ediciones algo anteriores. Pero esto es irrelevante, ya que encontramos a Napoleón mencionado por su nombre en este contexto en una enciclopedia de 1867. Lo que resulta de mayor interés histórico en lo que respecta a Faifofer es el problema que había estado utilizando en ediciones anteriores: un problema clásico sobre la circunscripción del triángulo equilátero más grande alrededor de un triángulo dado, que Thomas Moss había planteado en el Ladies Diary en 1754, en cuya solución, por William Bevil al año siguiente, podríamos reconocer fácilmente el germen del Teorema de Napoleón. Los dos resultados luego se entrelazan, de un lado a otro, durante al menos los siguientes cien años en las páginas de problemas de los almanaques populares: cuando Honsberger propuso en Mathematical Gems en 1973 lo que él creía que era una novedad propia, en realidad estaba recapitulando parte de esta vasta, aunque informal, literatura.

Conviene recordar que una variante popular del teorema de Pitágoras, donde se colocan cuadrados en los bordes de los triángulos, consistía en colocar triángulos equiláteros en los bordes de los triángulos: ¿se podría hacer con triángulos equiláteros lo mismo que con cuadrados? Por ejemplo, en el caso de los triángulos rectángulos, ¿se podría dividir el triángulo de la hipotenusa en los de los catetos? Así como los autores volvieron repetidamente a considerar otras propiedades del molino de viento de Euclides o de la silla de la novia, la figura equivalente con triángulos equiláteros en lugar de cuadrados atrajo —y recibió— atención. Quizás el esfuerzo más majestuoso en este sentido sea la pregunta del premio de William Mason en el Lady's and Gentleman's Diary de 1864, cuyas soluciones y comentarios, publicados al año siguiente, abarcan unas quince páginas. Para entonces, este venerable espacio —que comenzó a publicarse en 1704 con el Ladies' Diary y en 1741 con el Gentleman's Diary— estaba en sus últimas, pero problemas de este tipo continuaron en el Educational Times hasta principios del siglo XX.

Problemas de Dublín, octubre de 1820

En el examen de Geometría, que se realizó la segunda mañana de las pruebas para los candidatos a la medalla de oro en el Examen General de la Universidad de Dublín en octubre de 1820, aparecen los siguientes tres problemas.

Pregunta 10. Se construyen tres triángulos equiláteros sobre los lados de un triángulo dado, A, B, D , y las líneas que unen sus centros, C, C', C'', forman un triángulo equilátero. [El diagrama adjunto muestra los triángulos equiláteros colocados hacia afuera.]
Pregunta 11. Si los tres triángulos equiláteros se construyen como en la última figura, las líneas que unen sus centros también formarán un triángulo equilátero. [El diagrama adjunto muestra los triángulos equiláteros colocados hacia el interior.]
Pregunta 12. Investigar la relación entre el área del triángulo dado y las áreas de estos dos triángulos equiláteros.

Estos problemas están registrados en

  • Problemas de Dublín: una colección de preguntas propuestas a los candidatos a la medalla de oro en los exámenes generales, desde 1816 hasta 1822 inclusive. A la que sigue un informe del examen de beca, en 1823 (G. y WB Whittaker, Londres, 1823) [ 13 ]

La pregunta 1249 del Diario del Caballero, o Repositorio Matemático de 1829 (publicada a finales de 1828), retoma el tema, con soluciones que aparecen en el número del año siguiente. Uno de los autores, T.S. Davies, generalizó el resultado en la pregunta 1265 de ese mismo año, presentando su propia solución al año siguiente, basándose en un artículo que ya había publicado en la Revista Filosófica en 1826. Este material no contiene referencias cruzadas al descrito anteriormente. Sin embargo, existen varios elementos de interés similar en las páginas de problemas de los almanaques populares, que se remontan al menos a mediados de la década de 1750 (Moss) y continúan hasta mediados de la década de 1860 (Mason), como ya se ha mencionado.

Da la casualidad de que el nombre de Napoleón se menciona en relación con este resultado en una obra de referencia tan importante como la Enciclopedia de Chambers ya en 1867 (Vol. IX, casi al final de la entrada sobre triángulos).

Otra propiedad notable de los triángulos, conocida como el problema de Napoleón, es la siguiente: si sobre cualquier triángulo se describen tres triángulos equiláteros y se unen los centros de gravedad de estos tres, el triángulo así formado es equilátero y su centro de gravedad coincide con el del triángulo original. [ 14 ]

Pero el resultado ya había aparecido, con pruebas, en un libro de texto al menos en 1834 ( Euclides de James Thomson , págs.  255-256 [ 15 ] ). En una nota al pie (pág.  372), Thomason añade:

No me he topado con esta curiosa proposición, salvo en los Problemas de Dublín, publicados en 1823, donde aparece insertada sin demostración.

En la segunda edición (1837), Thomson amplió la nota final proporcionando una prueba de un antiguo alumno de Belfast:

A continuación se presenta un resumen de una demostración muy sencilla y clara realizada por el Sr. Adam D. Glasgow de Belfast, un antiguo alumno mío con gran gusto y talento para las actividades matemáticas:

Así pues, Thomson no parece estar al tanto de la aparición del problema en el Ladies' Diary de 1825 ni en el Gentleman's Diary de 1829 (al igual que JS Mackay permaneció ajeno a esta última aparición, con su cita de Dublin Problems, mientras que sí mencionó la primera; los lectores del American Mathematical Monthly tienen una referencia a la Pregunta 1249 en el Gentleman's Diary de RC Archibald en el número de enero de 1920, pág.  41, nota 7, aunque la primera solución publicada en el Ladies' Diary de 1826 demuestra que ni siquiera Archibald era omnisciente en cuestiones de prioridad).

Centro común

Los centros de los triángulos de Napoleón, tanto el interior como el exterior, coinciden con el centroide del triángulo original. Esta coincidencia se observó en la Enciclopedia de Chambers en 1867, como se cita anteriormente. La entrada allí no está firmada. P. G. Tait , entonces profesor de Filosofía Natural en la Universidad de Edimburgo , figura entre los colaboradores, pero J. U. Hillhouse, tutor de matemáticas también en la Universidad de Edimburgo, aparece entre otros caballeros literarios vinculados durante periodos más o menos largos con el personal habitual de la Enciclopedia. Sin embargo, en la Sección 189(e) de Un tratado elemental sobre cuaterniones , [ 16 ] también en 1867, Tait trata el problema (haciéndose eco, en efecto, de las observaciones de Davies en el Diario del caballero en 1831 con respecto a la pregunta 1265, pero ahora en el contexto de los cuaterniones):

Si se trazan perpendiculares hacia afuera en los puntos medios de los lados de un triángulo, cada una proporcional al lado correspondiente, el punto medio de sus extremos coincide con el del triángulo original. Halla la razón entre cada perpendicular y la mitad del lado correspondiente del triángulo original para que el nuevo triángulo sea equilátero.

Tait concluye que los puntos medios de triángulos equiláteros erigidos hacia afuera sobre los lados de cualquier triángulo forman un triángulo equilátero. Esta discusión se mantiene en ediciones posteriores de 1873 y 1890, así como en su posterior Introducción a los cuaterniones [ 17 ], escrita conjuntamente con Philip Kelland en 1873.

Áreas y lados de los triángulos de Napoleón interior y exterior.

El área del triángulo de Napoleón interior de un triángulo con área △ es

Área (interior)=−△2+324(a2+b2+do2)≥0,{\displaystyle {\text{Área(interior)}}=-{\frac {\triangle }{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{24}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 0,}

donde a, b, c son las longitudes de los lados del triángulo original, con igualdad solo en el caso en que el triángulo original sea equilátero, según la desigualdad de Weitzenböck . Sin embargo, desde un punto de vista algebraico [ 18 ] el triángulo interior es "retrógrado" y su área algebraica es el negativo de esta expresión. [ 19 ]

El área del triángulo exterior de Napoleón es [ 20 ]

Área (exterior)=△2+324(a2+b2+do2).{\displaystyle {\text{Área(exterior)}}={\frac {\triangle }{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{24}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).}

Analíticamente , se puede demostrar [ 7 ] que cada uno de los tres lados del triángulo exterior de Napoleón tiene una longitud de Lateral (exterior)=a2+b2+do26+(a+b+do)(a+b−do)(a−b+do)(−a+b+do)23.{\displaystyle {\text{Lado(exterior)}}={\sqrt {{a^{2}+b^{2}+c^{2} \over 6}+{{\sqrt {(a+b+c)(a+bc)(a-b+c)(-a+b+c)}} \over {2{\sqrt {3}}}}}}.}

La relación entre las dos últimas ecuaciones es que el área de un triángulo equilátero es igual al cuadrado del lado por3/4.{\displaystyle {\sqrt {3}}/4.}

Generalizaciones

Triángulos equiláteros en los lados de un hexágono arbitrario: Cuando A 1 = A 4 ​​, A 2 = A 5 , y A 3 = A 6 , este teorema se convierte en el teorema de Napoleón.

Teorema de Petr-Douglas-Neumann

Si triángulos isósceles con ángulos en el vértice ⁠2kπnorte{\displaystyle {\tfrac {2k\pi }{n}}}Se erigen triángulos en los lados de un n-gono arbitrario A 0 , y si este proceso se repite con el n -gono formado por los vértices libres de los triángulos, pero con un valor diferente de k , y así sucesivamente hasta que sehayan utilizado todos los valores 1 ≤ k ≤ n − 2 (en orden arbitrario), entonces se forma un n -gono regular A n −2 cuyo centroide coincide con el centroide de A 0 . [ 21 ]

Teorema de Napoleón-Barlotti

Teorema de Napoleon-Barlotti para un pentágono

Los centros de los n -gonos regulares construidos sobre los lados de un n -gono P forman un n -gono regular si y solo si P es una imagen afín de un n- gono regular. [ 22 ] [ 23 ]

Generalización de Jha-Savarn

Dado un hexágono A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 con triángulos equiláteros construidos en los lados, ya sea hacia adentro o hacia afuera, y los vértices de los triángulos equiláteros etiquetados como B i . Si G 1 , G 3 , G 5 son los respectivos centroides de △ B 6 B 1 B 2 , △ B 2 B 3 B 4 , △ B 4 B 5 B 6 , entonces G 1 , G 3 , G 5 forman un triángulo equilátero. [ 24 ]

La generalización de Dao Than Oai

Dado un hexágono ABCDEF con triángulos equiláteros ABG, DHC, IEF construidos en lados alternos AB, CD y EF, ya sea hacia adentro o hacia afuera. Sean A 1 , B 1 , C 1 los centroides de ∆FGC, ∆BHE y ∆DIA respectivamente, y sean A 2 , B 2 , C 2 los centroides de ∆DGE, ∆AHF y ∆BIC respectivamente. Entonces ∆A 1 B 1 C 1 y ∆A 2 B 2 C 2 son triángulos equiláteros. [ 25 ] (Si, por ejemplo, hacemos coincidir los puntos A y F, así como B y C, y D y E, entonces el resultado de Dao Than Oai se reduce al teorema de Napoleón).

Véase también

Notas

  1. ↑ Eves, Howard (2001). Mathematical Reminiscences . The Mathematical Association of America. p.  19. ISBN 978-0883855355.
  2. ↑ Grünbaum 2012
  3. ↑ "Teorema de Napoleón - de Wolfram MathWorld" . Mathworld.wolfram.com. 29 de agosto de 2013. Consultado el 6 de septiembre de 2013 .
  4. ↑ Weisstein, Eric W. "Similitud espiral" . MathWorld .
  5. ↑ Para una demostración visual, consulte el Teorema de Napoleón mediante dos rotaciones en Cut-the-Knot .
  6. ↑ Coxeter, HSM y Greitzer, Samuel L. 1967. Geometría revisitada , páginas 60-63.
  7. 1 2 3 "Teorema de Napoleón" . MathPages.com .
  8. ↑ Alexander Bogomolny . "Demostración n.° 2 (un argumento por simetrización)" . Cut-the-knot.org . Consultado el 6 de septiembre de 2013 .
  9. ↑ "Elegantes demostraciones del teorema de Napoleón" . Cut-The-Knot .
  10. ^ Cavallaro, VG (1949), "Per la storia dei teoremi attribuiti a Napoleone Buonaparte ea Frank Morley", Archimede , 1 : 286– 287
  11. ^ Scriba, Christoph J (1981). "¿Wie kommt 'Napoleons Satz' zu seinem namen?". Historia Matemática . 8 (4): 458– 459. doi : 10.1016/0315-0860(81)90054-9 .
  12. ^ Faifofer (1911), Elementi di Geometria (17ª ed.), Venecia, p. 186  {{citation}}: CS1 maint: falta el editor de la ubicación ( enlace ) , pero el registro histórico cita varias ediciones en diferentes años. Esta referencia es de ( Wetzel 1992 )
  13. ↑ Problemas de Dublín: una colección de preguntas propuestas a los candidatos a la medalla de oro en los exámenes generales, desde 1816 hasta 1822 inclusive. A la que sigue una descripción del examen de beca, en 1823. G. y W. B. Whittaker, Londres, 1823 ( en línea, 22,8 MB )
  14. ↑ Enciclopedia de Chambers . Londres, 1867, vol. IX, pág. 538
  15. ↑ Los seis primeros y los libros undécimo y duodécimo de los Elementos de Euclides; con notas e ilustraciones y un apéndice en cinco libros. Por James Thomson, LL.D. 1834.
  16. ↑ Clarendon Press, Oxford, 1867, págs. 133-135
  17. ↑ Macmillan, Londres, 1873, págs. 42-43
  18. ↑ Weisstein, Eric W. "Triángulo de Napoleón interior". De MathWorld, un recurso web de Wolfram. https://mathworld.wolfram.com/InnerNapoleonTriangle.html
  19. ↑ Coxeter, HSM y Greitzer, Samuel L. 1967. Geometría revisitada , página 64.
  20. ↑ Weisstein, Eric W. "Triángulo exterior de Napoleón". De MathWorld, un recurso web de Wolfram. https://mathworld.wolfram.com/OuterNapoleonTriangle.html
  21. ^ Grünbaum, Branko (1997). "Prismatoides isogonales" . Geometría discreta y computacional . 18 : 13– 52. doi : 10.1007/PL00009307 .
  22. ^ A. Barlotti, Intorno ad una generalizzazione di un noto teorema relativo al triangolo, Boll. Naciones Unidas. Estera. Italiano. 7 núm. 3 (1952) 182–185.
  23. ↑ Una proprietà degli n-agoni che si ottengono transformando in una affinità un n-agono regolare, Boll. Naciones Unidas. Estera. Italiano. 10 núm. 3 (1955) 96–98.
  24. ↑ M. de Villiers, H. Humenberger, B. Schuppar, Generalización del teorema de Napoleón por Jha y Savarn, Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, vol. 11, (2022), número 2, págs. 190-197. https://geometry-math-journal.ro/pdf/Volume11-Issue2/4.pdf
  25. ↑ H. Humenberger, B. Schuppar, M. de Villiers. Demostraciones geométricas y generalizaciones adicionales del teorema del hexágono de Napoleón de Dao Than Oai, Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, vol. 12, (2023), número 1, págs. 158-168. https://geometry-math-journal.ro/pdf/Volume12-Issue1/10.pdf

Referencias

  • El teorema de Napoleón y sus generalizaciones , en Cut-the-Knot
  • Para ver la construcción , en instrumenpoche
  • El teorema de Napoleón, por Jay Warendorff, The Wolfram Demonstrations Project .
  • Weisstein, Eric W. "El teorema de Napoleón" . MathWorld .
  • Teorema de Napoleón (actividad de aprendizaje y demostración guiada); Algunas generalizaciones, variaciones y recíprocos del teorema de Napoleón en Dynamic Geometry Sketches.
  • El teorema de Napoleón: dos demostraciones sencillas.
  • Secuencias hexagonales regulares infinitas en un triángulo (generalización del teorema de Napoleón) por Alvy Ray Smith .

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