Grupo de clase reducido

En la teoría de números algebraicos , el grupo de clases estrecho de un cuerpo de números K es un refinamiento del grupo de clases de K que tiene en cuenta cierta información sobre las incrustaciones de K en el cuerpo de números reales .

Supongamos que K es una extensión finita de Q. Recordemos que el grupo de clases ordinario de K se define como el cociente

${\displaystyle C_{K}=I_{K}/P_{K},\,\!}$

donde I _K es el grupo de ideales fraccionarios de K , y P _K es el subgrupo de ideales fraccionarios principales de K , es decir, ideales de la forma aO _K donde a es un elemento de K .

El grupo de clase estrecho se define como el cociente

${\displaystyle C_{K}^{+}=I_{K}/P_{K}^{+},}$

donde ahora P _K ⁺ es el grupo de ideales fraccionarios principales totalmente positivos de K ; es decir, ideales de la forma aO _K donde a es un elemento de K tal que σ( a ) es positivo para cada incrustación

${\displaystyle \sigma :K\to \mathbb {R} .}$

El grupo de clases estrechas ocupa un lugar destacado en la teoría de la representación de números enteros mediante formas cuadráticas . Un ejemplo es el siguiente resultado (Fröhlich y Taylor, Capítulo V, Teorema 1.25).

Teorema . Supóngase que donde d es un entero libre de cuadrados , y que el grupo de clases estrecho de K es trivial . Supóngase que ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}}\,),}$

${\displaystyle \{\omega _{1},\omega _{2}\}\,\!}$

es una base para el anillo de números enteros de K . Definir una forma cuadrática

${\displaystyle q_{K}(x,y)=N_{K/\mathbb {Q}}(\omega _{1}x+\omega _{2}y)}$,

donde N _{K / Q} es la norma . Entonces un número primo p tiene la forma

${\displaystyle p=q_{K}(x,y)\,\!}$

para algunos números enteros x e y si y solo si

${\displaystyle p\mid d_{K}\,\!,}$

o

${\displaystyle p=2\quad {\mbox{ y }}\quad d_{K}\equiv 1{\pmod {8}},}$

o

${\displaystyle p>2\quad {\mbox{ y}}\quad \left({\frac {d_{K}}{p}}\right)=1,}$

donde d _K es el discriminante de K , y

${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)}$

denota el símbolo de Legendre .

Por ejemplo, se puede demostrar que los cuerpos cuadráticos Q ( √ −1 ), Q ( √ 2 ), Q ( √ −3 ) tienen todos un grupo de clases estrecho y trivial. Luego, al elegir bases apropiadas para los números enteros de cada uno de estos cuerpos, el teorema anterior implica lo siguiente:

• Un primo p tiene la forma p = x ² + y ² para los números enteros x e y si y sólo si

${\displaystyle p=2\quad {\mbox{o}}\quad p\equiv 1{\pmod {4}}.}$

(Esto se conoce como el teorema de Fermat sobre las sumas de dos cuadrados ).

• Un primo p tiene la forma p = x ² − 2 y ² para los números enteros x e y si y solo si

${\displaystyle p=2\quad {\mbox{o}}\quad p\equiv 1,7{\pmod {8}}.}$

• Un primo p tiene la forma p = x ² − xy + y ² para los números enteros x e y si y solo si

${\displaystyle p=3\quad {\mbox{o}}\quad p\equiv 1{\pmod {3}}.}$(cf. primo de Eisenstein )

Un ejemplo que ilustra la diferencia entre el grupo de clases estrecho y el grupo de clases habitual es el caso de Q ( √ 6 ). Este tiene un grupo de clases trivial, pero su grupo de clases estrecho tiene orden 2. Como el grupo de clases es trivial, la siguiente afirmación es verdadera:

• Un primo p o su inverso − p tiene la forma ± p = x ² − 6 y ² para los números enteros x e y si y solo si

${\displaystyle p=2\quad {\mbox{o}}\quad p=3\quad {\mbox{o}}\quad \left({\frac {6}{p}}\right)=1.}$

Sin embargo, esta afirmación es falsa si nos centramos sólo en p y no en − p (y de hecho es incluso falsa para p = 2), porque el grupo de clases reducido no es trivial. La afirmación que clasifica a los p positivos es la siguiente:

• Un primo p tiene la forma p = x ² − 6 y ² para los números enteros x e y si y solo si p = 3 o

${\displaystyle \left({\frac {6}{p}}\right)=1\quad {\mbox{y}}\quad \left({\frac {-2}{p}}\right)=1.}$

(Mientras que la primera afirmación permite números primos , la segunda sólo permite números primos .) ${\displaystyle p\equiv 1,5,19,23{\pmod {24}}}$${\displaystyle p\equiv 1,19{\pmod {24}}}$

• Grupo de clase
• Forma cuadrática

• A. Fröhlich y MJ Taylor, Teoría algebraica de números (p. 180), Cambridge University Press, 1991.