función de Nash

En geometría algebraica real , una función de Nash en un subconjunto semialgebraico abierto U ⊂ R ⁿ es una función analítica f : U → R que satisface una ecuación polinómica no trivial P ( x , f ( x )) = 0 para todo x en U (Un subconjunto semialgebraico de R ⁿ es un subconjunto obtenido a partir de subconjuntos de la forma { x en R ⁿ  : P ( x )=0} o { x en R ⁿ  : P ( x ) > 0}, donde P es un polinomio, tomando uniones finitas, intersecciones finitas y complementos). Algunos ejemplos de funciones de Nash:

• Las funciones polinómicas y racionales regulares son funciones de Nash.
• ${\displaystyle x\mapsto {\sqrt {1+x^{2}}}}$es Nash en R.
• La función que asocia a una matriz simétrica real su i -ésimo valor propio (en orden creciente) es una función de Nash en el subconjunto abierto de matrices simétricas sin valores propios múltiples.

Las funciones de Nash son aquellas funciones necesarias para que exista un teorema de función implícito en la geometría algebraica real.

Junto con las funciones de Nash, se definen las variedades de Nash , que son subvariedades analíticas semialgebraicas de algún R ⁿ . Una aplicación de Nash entre variedades de Nash es entonces una aplicación analítica con grafo semialgebraico. Las funciones y variedades de Nash reciben su nombre de John Forbes Nash, Jr. , quien demostró (1952) que cualquier variedad lisa compacta admite una estructura de variedad de Nash, es decir, es difeomorfa a alguna variedad de Nash. De forma más general, una variedad lisa admite una estructura de variedad de Nash si y solo si es difeomorfa al interior de alguna variedad lisa compacta, posiblemente con frontera. El resultado de Nash fue completado posteriormente (1973) por Alberto Tognoli, quien demostró que cualquier variedad lisa compacta es difeomorfa a alguna variedad algebraica real afín; de hecho, cualquier variedad de Nash es difeomorfa de Nash a una variedad algebraica real afín. Estos resultados ejemplifican el hecho de que la categoría de Nash es, en cierto modo, intermedia entre las categorías suaves y las algebraicas.

Las propiedades locales de las funciones de Nash se comprenden bien. El anillo de gérmenes de funciones de Nash en un punto de una variedad de Nash de dimensión n es isomorfo al anillo de series de potencias algebraicas en n variables (es decir, aquellas series que satisfacen una ecuación polinómica no trivial), que es la henselización del anillo de gérmenes de funciones racionales. En particular, es un anillo local regular de dimensión n .

Las propiedades globales son más difíciles de obtener. El hecho de que el anillo de funciones de Nash en una variedad de Nash (incluso no compacta) sea noetheriano fue demostrado independientemente (1973) por Jean-Jacques Risler y Gustave Efroymson. Las variedades de Nash tienen propiedades similares, pero más débiles, que los teoremas A y B de Cartan en variedades de Stein . Sea${\displaystyle {\mathcal {N}}}$denotamos el haz de gérmenes de funciones de Nash en una variedad de Nash M , y${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ser un haz coherente de${\displaystyle {\mathcal {N}}}$-ideales. Supongamos${\displaystyle {\mathcal {I}}}$es finito, es decir, existe un recubrimiento semialgebraico abierto finito${\displaystyle \{U_{i}\}}$de M tal que, para cada i ,${\displaystyle {\mathcal {I}}|_{U_{i}}}$es generado por funciones de Nash en${\displaystyle U_{i}}$. Entonces${\displaystyle {\mathcal {I}}}$es generado globalmente por funciones de Nash en M y el mapa natural

${\displaystyle H^{0}(M,{\mathcal {N}})\to H^{0}(M,{\mathcal {N}}/{\mathcal {I}})}$

es sobreyectiva. Sin embargo

${\displaystyle H^{1}(M,{\mathcal {N}})\neq 0,\ {\text{si}}\ \dim(M)>0,}$

a diferencia del caso de las variedades de Stein.

Las funciones y variedades de Nash pueden definirse sobre cualquier cuerpo real cerrado en lugar del cuerpo de los números reales, y las afirmaciones anteriores siguen siendo válidas. Las funciones de Nash abstractas también pueden definirse sobre el espectro real de cualquier anillo conmutativo.

1. J. Bochnak, M. Coste y M.F. Roy: Geometría algebraica real. Springer, 1998.
2. M. Coste, JM Ruiz y M. Shiota: Problemas globales sobre funciones de Nash. Revista Matemática Complutense 17 (2004), 83--115.
3. G. Efroymson: Un Nullstellensatz para los anillos de Nash. Pacífico J. Matemáticas. 54 (1974), 101-112.
4. JF Nash  : Variedades algebraicas reales. Annals of Mathematics 56 (1952), 405-421.
5. J.J. Risler: Sur l'anneau des fonctions de Nash globales. CR Acad. Ciencia. París Sér. AB 276 (1973), A1513--A1516.
6. M. Shiota: Variedades de Nash. Springer, 1987.
7. A. Tognoli: Su una congettura di Nash. Ana. Norma de la escuela. Sorber. Pisa 27 (1973), 167-185.