Interpolación de vecinos naturales

La interpolación de vecinos naturales o interpolación de Sibson es un método de interpolación espacial desarrollado por Robin Sibson . ^{[ 1 ]} El método se basa en la teselación de Voronoi de un conjunto discreto de puntos espaciales. Esto presenta ventajas sobre métodos de interpolación más simples, como la interpolación de vecinos más cercanos , ya que proporciona una aproximación más suave a la función "verdadera" subyacente.

La ecuación básica es:

${\displaystyle G(x)=\sum _{i=1}^{n}{w_{i}(x)f(x_{i})}}$

dónde${\displaystyle G(x)}$es la estimación en${\displaystyle x}$,${\displaystyle w_{i}}$son los pesos y${\displaystyle f(x_{i})}$son los datos conocidos en${\displaystyle (x_{i})}$. Los pesos,${\displaystyle w_{i}}$, se calculan encontrando cuánto de cada una de las áreas circundantes es "robado" al insertar${\displaystyle x}$en la teselación.

Pesos Sibson

${\displaystyle w_{i}(\mathbf {x} )={\frac {A(\mathbf {x} _{i})}{A(\mathbf {x} )}}}$

donde A(x) es el volumen de la nueva celda centrada en x , y A(x _i ) es el volumen de la intersección entre la nueva celda centrada en x y la celda antigua centrada en x _i .

Pesos de Laplace ^{[ 2 ] [ 3 ]}

${\displaystyle w_{i}(\mathbf {x} )={\frac {\frac {l(\mathbf {x} _{i})}{d(\mathbf {x} _{i})}}{\sum _ {k=1}^{n}{\frac {l(\mathbf {x} _{k})}{d(\mathbf {x} _{k})}}}}}$

donde l(x _i ) es la medida de la interfaz entre las celdas vinculadas a x y x _i en el diagrama de Voronoi (longitud en 2D, superficie en 3D) y d(x _i ) , la distancia entre x y x _i .

Existen varias propiedades útiles de la interpolación de vecinos naturales: ^{[ 4 ]}

1. Este método es un interpolador exacto, ya que conserva los valores de los datos originales en los puntos de datos de referencia.
2. Este método crea una superficie lisa, libre de cualquier discontinuidad.
3. El método es totalmente local, ya que se basa en un subconjunto mínimo de ubicaciones de datos que excluye aquellas que, si bien están cerca, se encuentran más distantes que otra ubicación en una dirección similar.
4. El método es espacialmente adaptativo, adaptándose automáticamente a las variaciones locales en la densidad de datos o la disposición espacial.
5. No es necesario realizar suposiciones estadísticas.
6. Este método puede aplicarse a conjuntos de datos muy pequeños, ya que no se basa en principios estadísticos.
7. Este método no requiere parámetros, por lo que no es necesario especificar ningún parámetro de entrada que pueda afectar al éxito de la interpolación.

La interpolación de vecinos naturales también se ha implementado de forma discreta, lo que ha demostrado ser computacionalmente más eficiente en al menos algunas circunstancias. ^{[ 5 ]} Asimismo, se ha desarrollado una forma de interpolación discreta de vecinos naturales que proporciona una medida de la incertidumbre de la interpolación. ^{[ 4 ]}

• ponderación de distancia inversa
• Interpolación multivariante

• Interpolación de vecinos naturales
• Notas de implementación para el método del vecino natural y comparación con otros métodos de interpolación.
• Visualización interactiva del diagrama de Voronoi y la interpolación de vecinos naturales.
• Interpolación rápida y discreta de vecinos naturales en 3D en la CPU
• Interpolación de funciones de superficie y 2D , un capítulo de CGAL , la Biblioteca de algoritmos de geometría computacional.