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Anillo cercano

En matemáticas , un casi-anillo (también llamado anillo cercano o casi -anillo ) es una estructura algebraica similar a un anillo pero que satisface menos axiomas . Los casi-ani...

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En matemáticas , un casi-anillo (también llamado anillo cercano o casi -anillo ) es una estructura algebraica similar a un anillo pero que satisface menos axiomas . Los casi-anillos surgen naturalmente de funciones en grupos .

Definición

Un conjunto N junto con dos operaciones binarias + (llamada suma ) y ⋅ (llamada multiplicación ) se denomina casi anillo (derecho) si:

  • N es un grupo (no necesariamente abeliano ) bajo adición;
  • La multiplicación es asociativa (por lo que N es un semigrupo bajo la multiplicación); y
  • La multiplicación por la derecha se distribuye sobre la suma: para cualesquiera x , y , z en N , se cumple que ( x + y ) ⋅ z = ( x ⋅ z ) + ( y ⋅ z ). [ 1 ]

De manera similar, es posible definir un casi-anillo izquierdo reemplazando la ley distributiva derecha por la ley distributiva izquierda correspondiente. Tanto los casi-anillos derechos como los izquierdos aparecen en la literatura; por ejemplo, el libro de Pilz [ 2 ] utiliza casi-anillos derechos, mientras que el libro de Clay [ 3 ] utiliza casi-anillos izquierdos.

Una consecuencia inmediata de esta ley distributiva unilateral es que es cierto que 0⋅ x = 0, pero no necesariamente es cierto que x ⋅0 = 0 para cualquier x en N. Otra consecuencia inmediata es que ( − x )⋅ y = − ( x ⋅ y ) para cualquier x , y en N , pero no es necesario que x ⋅( − y ) = − ( x ⋅ y ). Un casi anillo es un rng si y solo si la suma es conmutativa y la multiplicación también es distributiva sobre la suma por la izquierda . Si el casi anillo tiene una identidad multiplicativa, entonces la distributividad en ambos lados es suficiente, y la conmutatividad de la suma se sigue automáticamente.

Mapeos de un grupo a sí mismo

Sea G un grupo, escrito aditivamente pero no necesariamente abeliano , y sea M ( G ) el conjunto { f | f  : G → G } de todas las funciones de G a G . Se puede definir una operación de suma en M ( G ): dados f , g en M ( G ), entonces la aplicación f + g de G a G viene dada por ( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x ) para todo x en G . Entonces ( M ( G ), +) también es un grupo, que es abeliano si y solo si G es abeliano. Tomando la composición de aplicaciones como el producto ⋅, M ( G ) se convierte en un casi anillo.   

El elemento 0 del casi-anillo M ( G ) es el mapeo cero , es decir, el mapeo que lleva cada elemento de G al elemento identidad de G . El inverso aditivo − f de f en M ( G ) coincide con la definición puntual natural , es decir, (− f )( x ) = −( f ( x )) para todo x en G . 

Si G tiene al menos dos elementos, entonces M ( G ) no es un anillo, incluso si G es abeliano. (Consideremos una aplicación constante g de G a un elemento fijo g ≠ 0 de G ; entonces g ⋅ 0 = g ≠ 0 ). Sin embargo, existe un subconjunto E ( G ) de M ( G ) que consta de todos los endomorfismos de grupo de G , es decir, todas las aplicaciones f  : G → G tales que f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) para todo x , y en G. Si ( G , +) es abeliano, ambas operaciones de casi anillo en M ( G ) son cerradas en E ( G ), y ( E ( G ), +, ⋅) es un anillo. Si ( G , +) no es abeliano, E ( G ) generalmente no es cerrado bajo las operaciones de casi anillo; pero el cierre de E ( G ) bajo las operaciones de casi anillo es un casi anillo. 

Muchos subconjuntos de M ( G ) forman casi-anillos interesantes y útiles. Por ejemplo: [ 1 ]

  • Las aplicaciones para las cuales f (0) = 0 .
  • Las asignaciones constantes, es decir, aquellas que asignan cada elemento del grupo a un elemento fijo.
  • El conjunto de aplicaciones generadas por la adición y la negación de los endomorfismos del grupo (el "cierre aditivo" del conjunto de endomorfismos). Si G es abeliano, entonces el conjunto de endomorfismos ya es aditivamente cerrado, de modo que el cierre aditivo es simplemente el conjunto de endomorfismos de G , y forma no solo un casi anillo, sino un anillo.

Se dan otros ejemplos si el grupo tiene una estructura más compleja, por ejemplo:

Todo casi-anillo es isomorfo a un subcasi-anillo de M ( G ) para algún G .

Aplicaciones

Muchas aplicaciones involucran la subclase de casi anillos conocida como campos cercanos ; para más información, consulte el artículo sobre campos cercanos.

Existen diversas aplicaciones de los casi-anillos adecuados, es decir, aquellos que no son ni anillos ni campos cercanos.

El método más conocido consiste en equilibrar diseños de bloques incompletos [ 2 ] utilizando casi-anillos planares. Estos son una forma de obtener familias de diferencias utilizando las órbitas de un grupo de automorfismos sin puntos fijos de un grupo. James R. Clay y otros han extendido estas ideas a construcciones geométricas más generales. [ 3 ]

Véase también

Referencias

  1. 1 2 G. Pilz, (1982), "Near-Rings: What They Are and What They Are Good For" en Contemp. Math. , 9, pp. 97–119. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1981.
  2. 1 2 G. Pilz, " Near-rings, the Theory and its Applications ", North-Holland, Ámsterdam, 2ª edición, (1983).
  3. 1 2 J. Clay, "Nearrings: Génesis y aplicaciones", Oxford, (1992).
  • Celestina Cotti Ferrero; Giovanni Ferrero (2002). Nearrings: Some Developments Linked to Semigroups and Groups . Kluwer Academic Publishers. ISBN 978-1-4613-0267-4.