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Articulo de referencia

Nefroide

Nefroide: definición En geometría , un nefroide ( del griego antiguo νεφρός (nephrós) ' riñón ' ) es una curva plana específica . Es un tipo de epicicloide en la que el radio de...

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Nefroide: definición

En geometría , un nefroide ( del griego antiguo νεφρός (nephrós) ' riñón ' ) es una curva plana específica . Es un tipo de epicicloide en la que el radio del círculo menor difiere del mayor en un factor de un medio. 

Nombre

Aunque el término nefroide se utilizaba para describir otras curvas, Richard A. Proctor lo aplicó a la curva descrita en este artículo en 1878. [ 1 ] [ 2 ]

Definición estricta

Un nefroide es

Ecuaciones

generación de un nefroide por un círculo rodante

Paramétrico

Si el círculo pequeño tiene radioa{\displaystyle a}, el círculo fijo tiene punto medio(0,0){\displaystyle (0,0)}y radio2a{\displaystyle 2a}, el ángulo de rodadura del círculo pequeño es2φ{\displaystyle 2\varphi }y señalar(2a,0){\displaystyle (2a,0)}El punto de partida (ver diagrama) y luego se obtiene la representación paramétrica :

incógnita(φ)=3aporque⁡φ−aporque⁡3φ=6aporque⁡φ−4aporque3⁡φ ,{\displaystyle x(\varphi )=3a\cos \varphi -a\cos 3\varphi =6a\cos \varphi -4a\cos ^{3}\varphi \ ,}
y(φ)=3apecado⁡φ−apecado⁡3φ=4apecado3⁡φ ,0≤φ<2π{\displaystyle y(\varphi )=3a\sin \varphi -a\sin 3\varphi =4a\sin ^{3}\varphi \ ,\qquad 0\leq \varphi <2\pi }

El mapa complejoz→z3+3z{\displaystyle z\to z^{3}+3z}mapea el círculo unitario a un nefroide. [ 3 ]

Demostración de la representación paramétrica

La demostración de la representación paramétrica se realiza fácilmente utilizando números complejos y su representación en el plano complejo . El movimiento del círculo pequeño se puede dividir en dos rotaciones. En el plano complejo, una rotación de un puntoz{\displaystyle z}alrededor del punto0{\displaystyle 0}(origen) por un ánguloφ{\displaystyle \varphi }se puede realizar mediante la multiplicación de puntosz{\displaystyle z}( número complejo ) pormiiφ{\displaystyle e^{i\varphi }}. Por lo tanto, el

rotaciónΦ3{\displaystyle \Phi _{3}}alrededor del punto3a{\displaystyle 3a}por ángulo2φ{\displaystyle 2\varphi }es:z↦3a+(z−3a)mii2φ{\displaystyle :z\mapsto 3a+(z-3a)e^{i2\varphi }},
rotaciónΦ0{\displaystyle \Phi _{0}}alrededor del punto0{\displaystyle 0}por ánguloφ{\displaystyle \varphi }es:z↦zmiiφ{\displaystyle :\quad z\mapsto ze^{i\varphi }} .

Un puntopag(φ){\displaystyle p(\varphi )}del nefroide se genera por la rotación del punto2a{\displaystyle 2a}por Φ3{\displaystyle \Phi _{3}}y la posterior rotación conΦ0{\displaystyle \Phi _{0}}:

pag(φ)=Φ0(Φ3(2a))=Φ0(3a−amii2φ)=(3a−amii2φ)miiφ=3amiiφ−amii3φ{\displaystyle p(\varphi )=\Phi _{0}(\Phi _{3}(2a))=\Phi _{0}(3a-ae^{i2\varphi })=(3a-ae^{i2\varphi })e^{i\varphi }=3ae^{i\varphi }-ae^{i3\varphi }}.

De aquí se obtiene

incógnita(φ)=3aporque⁡φ−aporque⁡3φ=6aporque⁡φ−4aporque3⁡φ ,y(φ)=3apecado⁡φ−apecado⁡3φ=4apecado3⁡φ.{\displaystyle {\begin{array}{cclcccc}x(\varphi )&=&3a\cos \varphi -a\cos 3\varphi &=&6a\cos \varphi -4a\cos ^{3}\varphi \ ,&&\\y(\varphi )&=&3a\sin \varphi -a\sin 3\varphi &=&4a\sin ^{3}\varphi &.&\end{matriz}}}

(Las fórmulasmiiφ=porque⁡φ+ipecado⁡φ, porque2⁡φ+pecado2⁡φ=1, porque⁡3φ=4porque3⁡φ−3porque⁡φ,pecado⁡3φ=3pecado⁡φ−4pecado3⁡φ{\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi ,\ \cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi =1,\ \cos 3\varphi =4\cos ^{3}\varphi -3\cos \varphi ,\;\sin 3\varphi =3\sin \varphi -4\sin ^{3}\varphi }Se utilizaron. Véase funciones trigonométricas .

Implícito

Insertarincógnita(φ){\displaystyle x(\varphi )}yy(φ){\displaystyle y(\varphi )}en la ecuación

  • (incógnita2+y2−4a2)3=108a4y2{\displaystyle (x^{2}+y^{2}-4a^{2})^{3}=108a^{4}y^{2}}

muestra que esta ecuación es una representación implícita de la curva.

Prueba de la representación implícita

Con

incógnita2+y2−4a2=(3aporque⁡φ−aporque⁡3φ)2+(3apecado⁡φ−apecado⁡3φ)2−4a2=⋯=6a2(1−porque⁡2φ)=12a2pecado2⁡φ{\displaystyle x^{2}+y^{2}-4a^{2}=(3a\cos \varphi -a\cos 3\varphi )^{2}+(3a\sin \varphi -a\sin 3\varphi )^{2}-4a^{2}=\cdots =6a^{2}(1-\cos 2\varphi )=12a^{2}\sin ^{2}\varphi}

uno consigue

(incógnita2+y2−4a2)3=(12a2)3pecado6⁡φ=108a4(4apecado3⁡φ)2=108a4y2 .{\displaystyle (x^{2}+y^{2}-4a^{2})^{3}=(12a^{2})^{3}\sin ^{6}\varphi =108a^{4}(4a\sin ^{3}\varphi )^{2}=108a^{4}y^{2}\ .}

Orientación

Si las cúspides están en el eje y, la representación paramétrica es

incógnita=3aporque⁡φ+aporque⁡3φ,y=3apecado⁡φ+apecado⁡3φ).{\displaystyle x=3a\cos \varphi +a\cos 3\varphi ,\quad y=3a\sin \varphi +a\sin 3\varphi ).}

y la implícita:

(incógnita2+y2−4a2)3=108a4incógnita2.{\displaystyle (x^{2}+y^{2}-4a^{2})^{3}=108a^{4}x^{2}.}

Propiedades métricas

Para el nefroide por encima del

Las demostraciones de estas afirmaciones utilizan fórmulas adecuadas sobre curvas ( longitud de arco , área y radio de curvatura ) y la representación paramétrica anterior.

incógnita(φ)=6aporque⁡φ−4aporque3⁡φ ,{\displaystyle x(\varphi )=6a\cos \varphi -4a\cos ^{3}\varphi \ ,}
y(φ)=4apecado3⁡φ{\displaystyle y(\varphi )=4a\sin ^{3}\varphi }

y sus derivados

incógnita˙=−6apecado⁡φ(1−2porque2⁡φ) , incógnita¨=−6aporque⁡φ(5−6porque2⁡φ) ,{\displaystyle {\dot {x}}=-6a\sin \varphi (1-2\cos ^{2}\varphi )\ ,\quad \ {\ddot {x}}=-6a\cos \varphi (5-6\cos ^{2}\varphi )\ ,}
y˙=12apecado2⁡φporque⁡φ,y¨=12apecado⁡φ(3porque2⁡φ−1) .{\displaystyle {\dot {y}}=12a\sin ^{2}\varphi \cos \varphi \quad ,\quad \quad \quad \quad {\ddot {y}}=12a\sin \varphi (3\cos ^{2}\varphi -1)\ .}
Demostración de la longitud del arco
L=2∫0πincógnita˙2+y˙2dφ=⋯=12a∫0πpecado⁡φdφ=24a{\displaystyle L=2\int _{0}^{\pi }{\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}}\;d\varphi =\cdots =12a\int _{0}^{\pi }\sin \varphi \;d\varphi =24a}.
Prueba para la zona
A=2⋅12|∫0π[incógnitay˙−yincógnita˙]dφ|=⋯=24a2∫0πpecado2⁡φdφ=12πa2{\displaystyle A=2\cdot {\tfrac {1}{2}}|\int _{0}^{\pi }[x{\dot {y}}-y{\dot {x}}]\;d\varphi |=\cdots =24a^{2}\int _{0}^{\pi }\sin ^{2}\varphi \;d\varphi =12\pi a^{2}}.
Demostración del radio de curvatura
ρ=|(incógnita˙2+y˙2)32incógnita˙y¨−y˙incógnita¨|=⋯=|3apecado⁡φ|.{\displaystyle \rho =\left|{\frac {\left({{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}\right)^{\frac {3}{2}}}{{\dot {x}}{\ddot {y}}-{\dot {y}}{\ddot {x}}}}\right|=\cdots =|3a\sin \varphi |.}
Nefroide como envoltura de un lápiz de círculos

Construcción

  • Se puede generar haciendo rodar un círculo con radioa{\displaystyle a}en el exterior de un círculo fijo con radio2a{\displaystyle 2a}Por lo tanto, un nefroide es un epicicloide .

Nefroide como envoltura de un lápiz de círculos

  • Dejemos que seado0{\displaystyle c_{0}}un círculo yD1,D2{\displaystyle D_{1},D_{2}}puntos de un diámetrod12{\displaystyle d_{12}}, luego la envoltura del lápiz de círculos, que tienen puntos medios endo0{\displaystyle c_{0}}y se están tocandod12{\displaystyle d_{12}}es un nefroide con cúspidesD1,D2{\displaystyle D_{1},D_{2}}.

Prueba

Dejardo0{\displaystyle c_{0}}ser el círculo(2aporque⁡φ,2apecado⁡φ){\displaystyle (2a\cos \varphi ,2a\sin \varphi )}con punto medio(0,0){\displaystyle (0,0)}y radio2a{\displaystyle 2a}El diámetro puede estar sobre el eje x (ver diagrama). El haz de círculos tiene ecuaciones:

F(incógnita,y,φ)=(incógnita−2aporque⁡φ)2+(y−2apecado⁡φ)2−(2apecado⁡φ)2=0 .{\displaystyle f(x,y,\varphi )=(x-2a\cos \varphi )^{2}+(y-2a\sin \varphi )^{2}-(2a\sin \varphi )^{2}=0\ .}

La condición del sobre es

Fφ(incógnita,y,φ)=2a(incógnitapecado⁡φ−yporque⁡φ−2aporque⁡φpecado⁡φ)=0 .{\displaystyle f_{\varphi }(x,y,\varphi )=2a(x\sin \varphi -y\cos \varphi -2a\cos \varphi \sin \varphi )=0\ .}

Se puede comprobar fácilmente que el punto del nefroidepag(φ)=(6aporque⁡φ−4aporque3⁡φ,4apecado3⁡φ){\displaystyle p(\varphi )=(6a\cos \varphi -4a\cos ^{3}\varphi \;,\;4a\sin ^{3}\varphi )}es una solución del sistemaF(incógnita,y,φ)=0,Fφ(incógnita,y,φ)=0{\displaystyle f(x,y,\varphi )=0,\;f_{\varphi }(x,y,\varphi )=0}y por lo tanto un punto de la envoltura del lápiz de círculos.

Nefroide como envoltura de un lápiz de líneas

nefroide: tangentes como cuerdas de un círculo, principio
nefroide: tangentes como cuerdas de un círculo

De forma similar a la generación de una cardioide como envolvente de un haz de líneas, se aplica el siguiente procedimiento:

  1. Dibuja un círculo, divide su perímetro en partes espaciadas iguales con3norte{\displaystyle 3N}puntos (ver diagrama) y numérelos consecutivamente.
  2. Dibuja las cuerdas:(1,3),(2,6),....,(norte,3norte),....,(norte,3norte),(norte+1,3),(norte+2,6),....,{\displaystyle (1,3),(2,6),....,(n,3n),....,(N,3N),(N+1,3),(N+2,6),....,}(Es decir: El segundo punto se mueve con una velocidad triple).
  3. La envoltura de estos acordes es un nefroide.

Prueba

La siguiente consideración utiliza fórmulas trigonométricas para porque⁡α+porque⁡β, pecado⁡α+pecado⁡β, porque⁡(α+β), porque⁡2α{\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta ,\ \sin \alpha +\sin \beta ,\ \cos(\alpha +\beta ),\ \cos 2\alpha }Para simplificar los cálculos, la demostración se presenta para el nefroide con cúspides en el eje y. Ecuación de la tangente : para el nefroide con representación paramétrica

incógnita=3porque⁡φ+porque⁡3φ,y=3pecado⁡φ+pecado⁡3φ{\displaystyle x=3\cos \varphi +\cos 3\varphi ,\;y=3\sin \varphi +\sin 3\varphi }:

A partir de aquí se determina el vector normal.norte→=(y˙,−incógnita˙)T{\displaystyle {\vec {n}}=({\dot {y}},-{\dot {x}})^{T}}, al principio. La ecuación de la tangentey˙(φ)⋅(incógnita−incógnita(φ))−incógnita˙(φ)⋅(y−y(φ))=0{\displaystyle {\dot {y}}(\varphi )\cdot (x-x(\varphi ))-{\dot {x}}(\varphi )\cdot (y-y(\varphi ))=0}es:

(porque⁡2φ⋅incógnita + pecado⁡2φ⋅y)porque⁡φ=4porque2⁡φ .{\displaystyle (\cos 2\varphi \cdot x\ +\ \sin 2\varphi \cdot y)\cos \varphi =4\cos ^{2}\varphi \ .}

Paraφ=π2,3π2{\displaystyle \varphi ={\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {3\pi }{2}}}Se obtienen las cúspides del nefroide, donde no hay tangente. Para φ≠π2,3π2{\displaystyle \varphi \neq {\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {3\pi }{2}}}uno puede dividir porporque⁡φ{\displaystyle \cos \varphi }para obtener

  • porque⁡2φ⋅incógnita+pecado⁡2φ⋅y=4porque⁡φ .{\displaystyle \cos 2\varphi \cdot x+\sin 2\varphi \cdot y=4\cos \varphi \ .}

Ecuación de la cuerda : a la circunferencia con punto medio(0,0){\displaystyle (0,0)}y radio4{\displaystyle 4}: La ecuación de la cuerda que contiene los dos puntos(4porque⁡θ,4pecado⁡θ), (4porque⁡3θ,4pecado⁡3θ)){\displaystyle (4\cos \theta ,4\sin \theta ),\ (4\cos {\color {red}3}\theta ,4\sin {\color {red}3}\theta ))}es:

(porque⁡2θ⋅incógnita+pecado⁡2θ⋅y)pecado⁡θ=4porque⁡θpecado⁡θ .{\displaystyle (\cos 2\theta \cdot x+\sin 2\theta \cdot y)\sin \theta =4\cos \theta \sin \theta \ .}

Paraθ=0,π{\displaystyle \theta =0,\pi }El acorde degenera hasta un punto.θ≠0,π{\displaystyle \theta \neq 0,\pi }uno puede dividir porpecado⁡θ{\displaystyle \sin \theta }y obtiene la ecuación de la cuerda:

  • porque⁡2θ⋅incógnita+pecado⁡2θ⋅y=4porque⁡θ .{\displaystyle \cos 2\theta \cdot x+\sin 2\theta \cdot y=4\cos \theta \ .}

Los dos ángulosφ,θ{\displaystyle \varphi ,\theta }se definen de manera diferente (φ{\displaystyle \varphi }es la mitad del ángulo de balanceo,θ{\displaystyle \theta }es el parámetro del círculo, cuyas cuerdas están determinadas), paraφ=θ{\displaystyle \varphi =\theta }se obtiene la misma línea. Por lo tanto, cualquier cuerda del círculo de arriba es tangente al nefroide y

  • El nefroide es la envoltura de las cuerdas del círculo.

Nefroide como cáustico de la mitad de un círculo

nefroide como cáustico de un círculo: principio
nefroide como cáustico de la mitad de un círculo

Las consideraciones realizadas en la sección anterior demuestran que la cáustica de la mitad de un círculo es un nefroide.

  • Si en el plano los rayos de luz paralelos inciden sobre la mitad reflectante de un círculo (véase el diagrama), entonces los rayos reflejados son tangentes a un nefroide.

Prueba

El círculo puede tener su origen en el punto medio (como en la sección anterior) y su radio es4{\displaystyle 4}El círculo tiene la representación paramétrica

k(φ)=4(porque⁡φ,pecado⁡φ) .{\displaystyle k(\varphi )=4(\cos \varphi ,\sin \varphi )\ .}

La tangente en el punto del círculoK: k(φ){\displaystyle K:\ k(\varphi )}tiene vector normal norte→t=(porque⁡φ,pecado⁡φ)T{\displaystyle {\vec {n}}_{t}=(\cos \varphi ,\sin \varphi )^{T}}El rayo reflejado tiene el vector normal (ver diagrama).norte→r=(porque⁡2φ,pecado⁡2φ)T{\displaystyle {\vec {n}}_{r}=(\cos {\color {red}2}\varphi ,\sin {\color {red}2}\varphi )^{T}}y que contiene un punto circularK: 4(porque⁡φ,pecado⁡φ){\displaystyle K:\ 4(\cos \varphi ,\sin \varphi )}Por lo tanto, el rayo reflejado es parte de la línea con ecuación

porque⁡2φ⋅incógnita + pecado⁡2φ⋅y=4porque⁡φ ,{\displaystyle \cos {\color {red}2}\varphi \cdot x\ +\ \sin {\color {red}2}\varphi \cdot y=4\cos \varphi \ ,}

que es tangente al nefroide de la sección anterior en el punto

PAG: (3porque⁡φ+porque⁡3φ,3pecado⁡φ+pecado⁡3φ){\displaystyle P:\ (3\cos \varphi +\cos 3\varphi ,3\sin \varphi +\sin 3\varphi )}(véase más arriba).
Cáustico nefroide en el fondo de la taza de té

La evolución e involución de un nefroide

nefroide y su evoluta magenta: punto con círculo osculador y centro de curvatura

Evolucionar

La evoluta de una curva es el lugar geométrico de los centros de curvatura . En detalle: Para una curvaincógnita→=do→(s){\displaystyle {\vec {x}}={\vec {c}}(s)}con radio de curvaturaρ(s){\displaystyle \rho (s)}el evolucionado tiene la representación

incógnita→=do→(s)+ρ(s)norte→(s).{\displaystyle {\vec {x}}={\vec {c}}(s)+\rho (s){\vec {n}}(s).}

connorte→(s){\displaystyle {\vec {n}}(s)}la unidad orientada adecuadamente normal.

Para un nefroide se obtiene:

  • La evoluta de un nefroide es otro nefroide de la mitad de tamaño y rotado 90 grados (véase el diagrama).

Prueba

El nefroide, como se muestra en la imagen, tiene la representación paramétrica.

incógnita=3porque⁡φ+porque⁡3φ,y=3pecado⁡φ+pecado⁡3φ ,{\displaystyle x=3\cos \varphi +\cos 3\varphi ,\quad y=3\sin \varphi +\sin 3\varphi \ ,}

el vector normal unitario que apunta al centro de curvatura

norte→(φ)=(−porque⁡2φ,−pecado⁡2φ)T{\displaystyle {\vec {n}}(\varphi )=(-\cos 2\varphi ,-\sin 2\varphi )^{T}}(véase la sección anterior)

y el radio de curvatura3porque⁡φ{\displaystyle 3\cos \varphi }(véase la sección sobre propiedades métricas). Por lo tanto, la evoluta tiene la siguiente representación:

incógnita=3porque⁡φ+porque⁡3φ−3porque⁡φ⋅porque⁡2φ=⋯=3porque⁡φ−2porque3⁡φ,{\displaystyle x=3\cos \varphi +\cos 3\varphi -3\cos \varphi \cdot \cos 2\varphi =\cdots =3\cos \varphi -2\cos ^{3}\varphi ,}
y=3pecado⁡φ+pecado⁡3φ−3porque⁡φ⋅pecado⁡2φ =⋯=2pecado3⁡φ ,{\displaystyle y=3\sin \varphi +\sin 3\varphi -3\cos \varphi \cdot \sin 2\varphi \ =\cdots =2\sin ^{3}\varphi \ ,}

que es un nefroide de la mitad de tamaño y rotado 90 grados (ver diagrama y sección §  Ecuaciones más arriba)

Evolvente

Dado que la evoluta de un nefroide es otro nefroide, la involuta del nefroide también es otro nefroide. El nefroide original en la imagen es la involuta del nefroide más pequeño.

Inversión (verde) de un nefroide (rojo) a través del círculo azul

Inversión de un nefroide

La inversión

incógnita↦4a2incógnitaincógnita2+y2,y↦4a2yincógnita2+y2{\displaystyle x\mapsto {\frac {4a^{2}x}{x^{2}+y^{2}}},\quad y\mapsto {\frac {4a^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}}

a través del círculo con punto medio(0,0){\displaystyle (0,0)}y radio2a{\displaystyle 2a}mapea el nefroide con ecuación

(incógnita2+y2−4a2)3=108a4y2{\displaystyle (x^{2}+y^{2}-4a^{2})^{3}=108a^{4}y^{2}}

sobre la curva de grado 6 con ecuación

(4a2−(incógnita2+y2))3=27a2(incógnita2+y2)y2{\displaystyle (4a^{2}-(x^{2}+y^{2}))^{3}=27a^{2}(x^{2}+y^{2})y^{2}}(ver diagrama) .
Un nefroide en la vida cotidiana: una cáustica producida por el reflejo de la luz en el interior de un cilindro.

Referencias

  1. ↑ Weisstein, Eric W. "Nephroid" . MathWorld .
  2. ↑ "Nefroid" . Historia de las matemáticas . Consultado el 12 de agosto de 2022 .
  3. ↑ Documentación matemática de los objetos realizados en el programa de visualización 3D-XplorMath
  • Arganbright, D., Manual práctico de curvas y construcciones geométricas en hojas de cálculo , CRC Press, 1939, ISBN 0-8493-8938-0, pág.  54.
  • Borceux, F., Un enfoque diferencial de la geometría: Trilogía geométrica III , Springer, 2014, ISBN 978-3-319-01735-8, pág.  148.
  • Lockwood, EH, Un libro de curvas, Cambridge University Press, 1961, ISBN 978-0-521-0-5585-7, pág.  7.
  • Mathworld: nefroide
  • Xahlee: nefroide