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Modelo de Nerón

En geometría algebraica , el modelo de Néron (o modelo mínimo de Néron , o modelo mínimo ) para una variedad abeliana A K definida sobre el cuerpo de fracciones K de un dominio ...

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En geometría algebraica , el modelo de Néron (o modelo mínimo de Néron , o modelo mínimo ) para una variedad abeliana A K definida sobre el cuerpo de fracciones K de un dominio de Dedekind R es el "empuje hacia adelante" de A K de Spec( K ) a Spec( R ), en otras palabras el "mejor posible" esquema de grupo A R definido sobre R correspondiente a A K .

Fueron introducidas por André Néron ( 1961 , 1964 ) para variedades abelianas sobre el cuerpo cociente de un dominio de Dedekind R con cuerpos de residuos perfectos , y Raynaud (1966) extendió esta construcción a variedades semiabelianas sobre todos los dominios de Dedekind. 

Definición

Supongamos que R es un dominio de Dedekind con cuerpo de fracciones K , y supongamos que A K es un esquema separado suave sobre K (como una variedad abeliana). Entonces, un modelo de Néron de A K se define como un esquema separado suave A R sobre R con fibra A K que es universal en el siguiente sentido.

Si X es un esquema separado suave sobre R , entonces cualquier K -morfismo de X K a A K puede extenderse a un R -morfismo único de X a A R (propiedad de mapeo de Néron) .

En particular, el mapa canónicoAR(R)→AK(K){\displaystyle A_{R}(R)\to A_{K}(K)}es un isomorfismo. Si existe un modelo de Néron, entonces es único salvo isomorfismo único.

En términos de haces, cualquier esquema A sobre Spec( K ) representa un haz en la categoría de esquemas suaves sobre Spec( K ) con la topología suave de Grothendieck , y este tiene un empuje hacia adelante por el mapa de inyección de Spec( K ) a Spec( R ), que es un haz sobre Spec( R ). Si este empuje hacia adelante es representable por un esquema, entonces este esquema es el modelo de Néron de A .

En general, el esquema A K no necesita tener ningún modelo de Néron. Para las variedades abelianas A K existen modelos de Néron que son únicos (salvo isomorfismo único) y son esquemas de grupo cuasiproyectivos conmutativos sobre R . La fibra de un modelo de Néron sobre un punto cerrado de Spec( R ) es un grupo algebraico conmutativo liso , pero no necesariamente es una variedad abeliana: por ejemplo, puede ser disconexo o un toro. Los modelos de Néron también existen para ciertos grupos conmutativos distintos de las variedades abelianas, como los toros, pero estos son solo localmente de tipo finito. Los modelos de Néron no existen para el grupo aditivo.

Propiedades

  • La formación de los modelos de Nerón conmuta con los productos.
  • La formación de los modelos Néron conmuta con el cambio de base étale .
  • Un esquema abeliano A R es el modelo de Nerón de su fibra genérica.

El modelo de Nerón de una curva elíptica

El modelo de Néron de una curva elíptica A K sobre K se puede construir de la siguiente manera. Primero, se forma el modelo mínimo sobre R en el sentido de superficies algebraicas (o aritméticas). Esta es una superficie propia regular sobre R , pero no es en general suave sobre R ni un esquema de grupo sobre R. Su subesquema de puntos suaves sobre R es el modelo de Néron, que es un esquema de grupo suave sobre R , pero no necesariamente propio sobre R. Las fibras en general pueden tener varias componentes irreducibles, y para formar el modelo de Néron se descartan todas las componentes múltiples, todos los puntos donde se intersecan dos componentes y todos los puntos singulares de las componentes.

El algoritmo de Tate calcula la fibra especial del modelo de Nerón de una curva elíptica, o más precisamente, las fibras de la superficie mínima que contiene el modelo de Nerón.

Véase también

Referencias